第2章電磁學基本理論

1、一、場量的定義和計算,(一) 電場,(二) 電位,(三) 磁場,(四) 矢量磁位,二、麥克斯韋方程組的建立,(一) 安培環(huán)路定律,(二) 法拉第電磁感應定律,(三) 電場的高斯定律,(四) 磁場的高斯定律,(五) 電流連續(xù)性方程,第2章 電磁學基本理論,三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式,一、場量的定義和計算,(一) 電場,,,1. 庫侖定律,其中： 為真空中介電常數(shù)。,2. 什么是電場？,這種存在于電荷周圍，能對其他電荷產生作

2、用力的特殊的物質稱為電場?？梢婋姾墒钱a生電場的源。,3. 電場強度的定義,單位正電荷在電場中某點受到的作用力稱為該點的電場強度。,電場強度嚴格的數(shù)學表達式為：,在此要求實驗電荷足夠小，以使該電荷產生的電場不致使原電場發(fā)生畸變。,4. 電場強度的計算,其中： 是源電荷指向場點的方向。,(1) 點電荷周圍電場強度的計算公式：,例1：在直角坐標系中，設一點電荷q 位于點 ， 計算空間點

3、 的電場強度。,,,,,,解：如圖,點的坐標矢量為：,點的坐標矢量為：,點電荷電場強度的計算公式,其中：,所以:,,,結論：,在直角坐標系中，若源電荷 所在點的坐標為 ，場點P 的坐標為 ，則P 點的電場強度為：,?多個電荷產生的電場,如果有多個點電荷源,場域中某點的電場強度應該是所有點電荷在該場中產生的電場強度的矢量和。,(2) 連續(xù)分布的電荷源產生的電場,a.線電荷分布：電荷沿

4、某一曲線連續(xù)分布 。,線電荷密度定義：,單位長度上的電荷量。,,,,上所帶的電荷量：,,產生的電場強度為：,,該線電荷在空間產生的電場強度：,,,,,,,b.面電荷分布：電荷沿空間曲面連續(xù)分布。,面電荷密度定義：,單位面積上的電荷量。,上所帶的電荷量：,產生的電場強度為：,該面電荷在空間產生的電場強度：,c.體電荷分布: 電荷在某空間體積內連續(xù)分布 。,體電荷密度定義：,單位體積內的電荷量。,上所帶的電荷量：,產生的電場強度為：,,,該

5、體電荷在空間產生的電場強度:,,,,式中,于是,,,討論：,,解：根據(jù)題意，選取圓柱坐標系,,面元：,面元上的電荷量為：,從此電荷源到 z 軸上 P 點的距離矢量為：,距離大小為：,,根據(jù)面分布電荷在空間一點所產生的電場強度公式：,,例2：設有一無限大的均勻帶電平面，面電荷密度為 。 求：距平面h高處的電場強度 。,由于電荷分布的對稱性，對每一個面元 ，將有一個對稱面元 與之對應，這兩個面元上

6、的電荷在P點產生的電場強度的徑向分量相互抵消，因此P點的電場強度的徑向分量為零。,在直角坐標系下如何計算?,如何利用,思考,可見：無限大均勻帶電平面產生的電場是均勻的,與距離 h無關，方向為該平面的法線方向。,（二）電位,電荷 在電場中受力為：,,,,,,電荷在靜電場中由P點移動到A點，外力所做的功為：,電位差定義： 單位正電荷由P點移動到A點，外力所做的功稱為A點和P點之間的電位差。,,1. 電位差,,電荷

7、在電場中要保持靜止，需受外力作用為：,結論： 空間兩點的電位差只 與兩點所在位置有關， 而與積分路徑無關。,例3：計算原點處一點電荷q 產生的電場中AP之間的電位差。,解：選取求坐標系，點電荷q 產生的電場,所以：,（1）電位定義： 外力將單位正電荷是由無窮遠處移到A點，則A點和 無窮遠處的電位差稱為A點的電位。,2. 電位,以無窮遠處為零電位參考點。 為電

8、荷源到A點的距離。,（2）電位計算：,a.點電荷的電位計算：,多個點電荷的電位計算：,其中： 為第i個電荷源到A點的距離。,b.連續(xù)分布的電荷源的電位計算,線電荷分布：,面電荷分布：,體電荷分布：,,3. 電場強度 與電位 之間的關系,負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。,根據(jù)E與 的微分關系，試問靜電場中的某一點,( ),?,?,,思考,( ),電場強度的幅值由電位的變化率的最大

9、值決定。,電場的方向由與電位增加最快的方向相反。,例4: 有一對等量異號相距很近的電荷構成電偶極子，如圖， 求：P點的電位和電場強度 。,解：取球坐標系， P點的電位,因為：,則：,電場強度：,,,,,電偶極子的等位線和電力線,令：,(三) 磁場,產生磁場的源： a.永久磁鐵 b.變化的電場 c.電流周圍，即運動的電荷,1. 什么是磁場？,存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能

10、對運動電荷施力的特殊物質稱為磁場。,,,,可見： 磁場力 、運動速度 和磁感應強度 三者相互垂 直，且滿足右手螺旋法則。,2. 磁感應強度 的定義,,,,,電流元,,,,,,,,電流元 在空間所產生的磁感應強度為：,該式稱為畢奧—薩伐爾定律。,,安培力實驗定律：,3. 磁感應強度的計算,其中： 為真空磁導率。,,得到：,,比較,例5：求如圖所示的電流線 I 在O點產生的磁感應強度

11、。,,,解：取圓柱坐標系,將電流線分成 三段分別求這三段電流在O點產生的磁感應強度。,,a.閉合電流回路在空間所產生的磁感應強度：,特斯拉(T),（1） 段在O點產生的,,（2） 段在O點產生的,,（3） 段在O點產生的,,O點產生的磁感應強度:,,,,,,,,例6：求長為l ，載有電流 I 的細直導線在P點產生的磁感應強度。,解：如圖所示，選用圓柱坐標系,,式中：,,所以：,,式中：,于是得：,

12、有限長度電流線磁感應強度：,無限長載流直導線周圍磁感應強度：,即：,,,,,b. 面電流情況: 電流在某一曲面上流動。,,面電流密度：,定義為在與電流線垂直的方向上單位長度流過的電流。,,上流過的電流量：,產生的磁感應強度為：,整個面電流產生的磁場：,,(A/m),解：如圖，選用直角坐標系,,,上流過的電流為,,,,,,,,,例7：設一面電流密度為 的無限大均勻導流面，求：距該平 面h高處的磁感應強度？,,,,

13、與 對稱的取線元,其中：,,該面電流在P點產生的磁感應強度：,無限大均勻導流面兩側的磁感應強度：,c. 體電流情況: 電流在某一體積內流動。,體電流密度：,定義為在與電流線垂直的方向上平面內單位面積流過的電流。,,上流過的電流量：,產生的磁感應強度為：,整個體電流產生的磁場：,,,(A/m2),(四) 矢量磁位,1. 磁通量,磁感應強度對一個曲面的面積分稱為穿過該曲面的磁通量。,,若曲面閉合：,,磁感應強度：,根據(jù)梯度規(guī)則：,,則

14、有：,,根據(jù)高斯定律：,,,,,,,利用矢量恒等式：,,,,已知：,,和,,結論： 穿過空間任意閉合曲面的磁通量恒為零。這就是磁通連續(xù)性原理。它說明磁感線是連續(xù)的閉合矢線，磁場是無散場。,,,,,,,,2. 矢量磁位的引入,根據(jù)矢量恒等式：,引入矢量 ，令 則：,該矢量 稱為矢量磁位，單位為韋伯/米（Wb/m）。,3. 矢量磁位的計算,規(guī)范條件：,,對線電流的情況：,,,,已知：

15、,,,,,,a.線電流矢量磁位計算,,,利用矢量恒等式：,則：,,,矢量磁位：,該式為線電流產生的磁場中的矢量磁位計算公式。,,,,,,為零！,,b.面電流矢量磁位計算,,面電流密度：,(A/m),矢量磁位：,c.體電流矢量磁位計算,體電流密度：,矢量磁位：,(A/m2),例8：試求電流為I, 半徑為a 的小圓環(huán)在遠離圓環(huán)處的磁感應強度。,解：先求 再求 ，選用球坐標系，,,,,已知：,,,,,,,,,,,,,在直角坐標系

16、中,所以：,,,,如圖：,其中：,可得：,,,,當：,,將：,,,,得：,式中 為圓環(huán)的面積。,小電流環(huán)的磁矩：,因為 ，最后得：,二.麥克斯韋方程組的建立,(一)安培環(huán)路定律——麥克斯韋第一方程,1. 安培環(huán)路定律,已知：無限長載流直導線周圍的磁感應強度為：,,,,,,,,引入一個新矢量 ，令 則：,,矢量 稱為磁場強度，單位為安培/米（A/m）

17、。,若積分回路中包含多個電流則：,當電流與安培環(huán)路呈右手螺旋關系時，電流取正值，否則取負；,環(huán)路上的 B 僅與環(huán)路交鏈的電流有關嗎？,思考,圖中三條環(huán)路上的 H 相等嗎？環(huán)量相等嗎？,安培環(huán)路定律： 在真空中，磁場強度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。,例9: 如圖所示，一無限長同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I，外導體通有均勻的等量反向電流，求各區(qū)域的磁感應強度。,,,,解: 根據(jù)題意，取圓柱坐

18、標系。,（1） 區(qū)域,內導體的電流密度為:,取半徑為 r 的圓環(huán)為積分回路，根據(jù)安培環(huán)路定律:,,,,,磁感應強度為:,,,,同理取半徑為r 的圓為積分回路，則有:,（2） 區(qū)域,,,,該區(qū)域的磁感應強度為:,（3） 區(qū)域,,外導體的電流密度為:,,,同理，取半徑為r 的圓為積分回路，則有:,,可得：,,（4） 區(qū)域,,同軸電纜的磁場分布,應用安培環(huán)路定律求磁場強

19、度應注意：場強的方向與回路的方向相切或垂直，相切時回路上的場強大小相等；,2. 位移電流,傳導電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提。,,,位移電流的提出： 在電容器兩極板間，由于電場隨時間的變化而存在位移電流，其數(shù)值等于流向正極板的傳導電流。,,如圖：,穿過 的傳導電流為 ，則：,穿過 的傳導電流為 ，則：,矛盾？,,平板電容器極板上的電荷：,位移電流的計算,傳導電流：,位移電流：,位移電流密度：,,引入一個新矢

20、量 ，在真空中令 ，則位移電流密度表示為：,,,某曲面上的位移電流：,電位移矢量,,3. 全電流定律,引入位移電流之后，穿過 S 面的總電流為：,總電流密度為：,某曲面上全電流 I 為：,全電流定律：,,該方程稱為麥克斯韋第一方程。,該式的物理意義：它表明磁場不僅由傳導電流產生，也能由 隨時間變化的電場，即位移電流產生。,,例10：無限大平行導電板位于空

21、氣中，板上通有均勻電流，求場域內各點的磁感應強度。,解 如圖，當面電流分布均勻時，其周圍的磁感應強度是一個平行平面場，而且是一個均勻場，其方向為x方向。,在閉合回路abcd 上應用全電流定律（安培環(huán)路定律）：,由此得,則,(二) 法拉第電磁感應定律——麥克斯韋第二方程,1. 法拉第電磁感應定律,磁場中的一個閉合導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就產生了感應電流，表示回路中感應了電動勢，且感應電動勢的大小正比于磁通對時間的變化率 。,數(shù)

22、學表達式為：,E,,該閉合回路中的感應電動勢為：,閉合回路中的磁通量為：,可得：,引起磁通變化的原因：,(2) 閉合回路與恒定磁場之間存在相對運動,這時回路中的感 應電動勢稱為動生電動勢。,(3) 既存在時變磁場又存在回路的相對運動，則總的感應電動 勢為：,(1) 閉合回路是靜止的，但與之交鏈的磁場是隨時間變化的， 這時回路中產生的感應電動勢稱為感生電動勢。,例11: 如圖所示，一個矩形金屬框的寬度d 是常

23、數(shù)，其滑動的一邊以勻速v 向右移動，求：下列情況下線框里的感應電動勢。,（1） 恒定均勻；（2） 。,解：（1）已知,其中：,（2）已知,2. 法拉第電磁感應定律的推廣,當空間某曲面內的磁通隨時間變化時，意味著空間存在著感應電場，感應電場沿曲面邊界的積分為該曲線上的感應電動勢。,經(jīng)麥克斯韋推廣的電磁感應定律為：,該方程稱為麥克斯韋第二方程。,,該式說明：變化的磁場產生電場。即電場不僅由電荷源產

24、生， 也可由時變的磁場產生。,(三)電場的高斯定律——麥克斯韋第三方程,若以該點電荷為中心，做一半徑為R 的球面，則電場強度穿出該球面的通量為,,如果閉合曲面內包含n個點電荷，則：,如果閉合曲面內含有連續(xù)分布的電荷，則：,,,該方程稱為麥克斯韋第三方程。,,該式表明：穿過任何閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍 的凈電荷。,數(shù)學表達式為：,該式表明： 通過任何

25、閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的，它不會在閉合曲面內積累或中斷，故稱磁通連續(xù)性原理。,該方程稱為麥克斯韋第四方程。,,(四)磁場的高斯定律——麥克斯韋第四方程,高斯面的選擇：場強的方向與高斯面面元的方向相切或垂直，相切時高斯面上的場強大小相等；,對稱場源高斯面的選取,球對稱分布：如均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。,軸對稱分布：如無限長均勻帶電的細線，圓柱體，圓柱殼等。,無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平板有厚度的帶電平板

26、等。,例12：一均勻帶電球殼，電荷密度為 ，球殼內外半徑分別為a、b，求各區(qū)域中的電位移矢量 。,解：如圖，選球坐標系，由于球殼內均勻 帶電，所產生的電場具有中心對稱性。,（1） 區(qū)域,,取半徑為 R 的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:,可得：,（2） 區(qū)域,取半徑為 R 的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:,可得：,,（3） 區(qū)域,同理取半徑為 R 的球面為高斯面，

27、根據(jù)電高斯定律:,可得：,,(五)電流連續(xù)性方程——麥克斯韋第五方程,從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內正電荷的減少率：,,設流出封閉曲面的電流為：,,封閉曲面內的總電荷為：,,則：,該方程稱為麥克斯韋第五方程。,,該式表明： 從封閉曲面流出的電流，必然等于封閉曲面內正電荷的減少率，反之亦然。,,,有三種不同的情況：,(1) 電流密度的通量大于零，也就是在該點電荷密度的變化率為負，表明在給定時間內有凈電荷從該點

28、向外流出，如圖 (a)所示;,(2) 電流密度的通量小于零，也就是在該點電荷密度的變化率為正，表明在給定時間內有凈電荷流向該點，如圖 (b)所示；,圖（a）,圖（b）,圖（c）,(3) 電流密度的通量等于零，也就是在該點電荷密度的變化率為零，表明流向該點和流出該點的電荷量相等，如圖 (c)所示。,,（一）麥克斯韋方程組的積分形式：,,一般情況：,,三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式,麥克斯韋方程組的積分形式，描述的是空間某一

29、閉合曲線以及該曲線限定的曲面，或空間某一閉合曲面及該閉合曲面所包圍的體積內的場源與場量之間的關系，考慮的是整體效應。,電場高斯定理不是一個獨立方程，它可從全電流定律和電流連續(xù)性方程導出。,,,,又根據(jù)電流連續(xù)性方程,,,,,,磁場高斯定律并不是一個獨立方程，它可由法拉第電磁感應定律導出。,,,,,,,麥克斯韋第一方程和第二方程，以及電流連續(xù)性方程是三個獨立方程，而電場和磁場的高斯定律不是獨立的。,無源的情況：,,,恒定電磁場(存在直流

30、電流),正弦電磁場（存在時間因子 ）,,注意：利用積分形式的麥克斯韋方程可直接求解具有對稱性的場。,如：中心對稱性場，軸對稱性場，平面對稱性場。,靜電場(不存在直流電流),例13 ：一無限長均勻帶電直導線，線電荷密度為 ， 求：該導線周圍的電場強度。,解：該導線周圍的電場具有軸對稱性， 選柱坐標系，高斯面選柱面。,可得：,電場強度：,已知：,（二）麥克斯韋方程組的微分形式,,積分形式:,,,,

31、,,,,,,,,微分形式:,注意：麥克斯韋方程的微分形式只適用于媒體的物理性質 不發(fā)生突變的區(qū)域。,微分形式的麥克斯韋方程組給出了空間某點場量之間及場量與場源之間的關系。,,無源的情況：,,正弦電磁場：,恒定電磁場：(存在直流電流),,靜電場(不存在直流電流),麥克斯韋方程組包含著豐富的內容和深刻的含義。偉大的物理學家愛因斯坦曾這樣評價麥克斯韋方程： “這個方程組的提出是牛頓時代以來物理學上一個

32、重要的事情，這是關于場定律的定量的描述。方程中所包含的內容比我們所指出的要豐富得多。在它們簡單的形式下隱藏著深奧的內容。這些內容只有靠仔細的研究才能顯示出來。它是描述場的結構的定律，它不像牛頓定律那樣把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來，而是此處此刻的場只與最近的剛過去的場發(fā)生關系。假使我們知道此處此刻所發(fā)生的事件，這些方程便可幫助我們預測在空間上稍遠一些，在時間上稍遲一些將會發(fā)生什么?！?例14 ：已知自由空間磁感應強度為,(1)求位