回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件1

1、1．1　回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,【課標(biāo)要求】1．了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差分析的概念；2．會(huì)用殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果；3．掌握建立回歸模型的步驟；4．通過對(duì)典型案例的探究，了解回歸分析的基本思想方法 和初步應(yīng)用．,【核心掃描】1．利用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．(重點(diǎn))2．回歸模型的選擇，特別是非線性回歸模型．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)),自學(xué)導(dǎo)引1．回歸分析 回歸分析是

2、對(duì)具有 的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．2．線性回歸模型 (1)由散點(diǎn)圖易發(fā)現(xiàn)，樣本點(diǎn)散布在某一條直線附近，而不是一條直線上，不能用一次函數(shù)y＝bx＋a描述它們之間的關(guān)系，因此用線性回歸模型y＝bx＋a＋e來表示，其中a、b為未知參數(shù)，e為 ．,相關(guān)關(guān)系,隨機(jī)誤差,,,(3)解釋變量和預(yù)報(bào)變量線性回歸模型與一次函數(shù)模型的不同之處是增加了隨機(jī)誤

3、差項(xiàng)e，因變量y由 和 共同確定，即自變量x只解釋部分y的變化，在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量．,自變量x,隨機(jī)誤差e,試一試：下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回歸方程必過(　　).A．點(diǎn)(2,3) B．點(diǎn)(1.5,4)C．點(diǎn)(2.5,4) D．點(diǎn)(2.5,5),3．刻畫回歸效果的方式,

4、殘差,樣本編號(hào),身高數(shù)據(jù),體重估計(jì)值,越小,,解釋,預(yù)報(bào),想一想：回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？為什么？提示　不一定是真實(shí)值，利用線性回歸方程求的值，在很多時(shí)候是個(gè)預(yù)報(bào)值，例如，人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食，是否喜歡運(yùn)動(dòng)等．,4．非線性回歸分析 (1)非線性相關(guān)關(guān)系：樣本點(diǎn)分布在某一條曲線的周圍，而不是一條直線附近．我們就稱這兩個(gè)變量之間不具

5、有線性相關(guān)關(guān)系而是非線性相關(guān)關(guān)系．(2)非線性回歸方程線性化①y＝axn(其中a，x，y均為正值)(冪函數(shù)型函數(shù))lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a，則u＝nv＋b，圖象為一直線．②y＝cax(a＞0，c＞0)(指數(shù)型函數(shù))lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，則u＝dx＋b，圖象為一直線．,2．線性回歸分析(1)由線性回歸

6、方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值．(2)隨機(jī)誤差的主要來源①線性回歸模型與真實(shí)情況引起的誤差；②省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；③觀測(cè)與計(jì)算產(chǎn)生的誤差．(3)殘差分析是回歸分析的一種方法．(4)用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果．R2越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．,(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量．(2)畫出確定好的

7、解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．,3．建立回歸模型的基本步驟,題型一　求線性回歸方程【例1】 某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物

8、理成績?nèi)缦卤恚?(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求物理成績y對(duì)數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績．[思路探索] 先利用散點(diǎn)圖分析物理成績與數(shù)學(xué)成績是否線性相關(guān)，若相關(guān)再利用線性回歸模型求解．,規(guī)律方法　(1)散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．(2)求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在

9、散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．,【變式1】 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： (1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150 m2時(shí)的銷售價(jià)格．,題型二　線性回歸分析【例2】 為研究重量x(單位：克)對(duì)彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同重量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，

10、數(shù)據(jù)如下表所示：(1)作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程；(2)求出R2；(3)進(jìn)行殘差分析．,[思路探索] 作殘差分析時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面予以說明：(1)散點(diǎn)圖；(2)相關(guān)指數(shù)；(3)殘差圖中的異常點(diǎn)和樣本點(diǎn)的帶狀分布區(qū)域的寬窄．,(2)列表如下：,(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比

11、較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力成線性關(guān)系．規(guī)律方法　當(dāng)資料點(diǎn)較少時(shí)，也可以利用殘差表進(jìn)行殘差分析，注意計(jì)算數(shù)據(jù)要認(rèn)真細(xì)心，殘差分析要全面．,【變式2】 已知某種商品的價(jià)格x(元)與需求量y(件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：求y對(duì)x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞．,題型三　非線性回歸分析【例3】 下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：

12、(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．,(1)畫出散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，確定兩變量x、y是否線性相關(guān)．由散點(diǎn)圖得x、y之間的回歸模型．(2)進(jìn)行擬合，預(yù)報(bào)回歸模型，求回歸方程．,[規(guī)范解答] (1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x

13、的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù)．(4分),(2)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝ln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：,求得回歸直線方程為＝0.272x－3.849，∴＝e0.272x－3.849.

14、 (8分)殘差,【題后反思】 解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報(bào)變量為y；(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；(3)變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)等來判斷擬合效果；(5)寫出非線性回歸方程．,【變式3】 為了研究某種細(xì)

15、菌隨時(shí)間x變化時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：(1)用天數(shù)x作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)y作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)描述解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y之間的關(guān)系；(3)計(jì)算相關(guān)指數(shù)．,解　(1)所作散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝ln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立