導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

1、2024/3/19,1,§4.7 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)在工程、技術(shù)、科研、國(guó)防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用. 下面介紹導(dǎo)數(shù)(或微分)在經(jīng)濟(jì)中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.,一.邊際分析與彈性分析,邊際和彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要概念. 用導(dǎo)數(shù)來研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際與彈性的方法, 稱之為邊際分析與彈性分析.,1.邊際函數(shù),2024/3/19,2,定義 經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把函數(shù)?(x)的導(dǎo)函數(shù)

2、 稱為?(x)的邊際函數(shù). 在點(diǎn) 的值 稱為?(x)在 處的邊際值(或變化率、變化速度等).,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 通常取Δx =1, 就認(rèn)為Δx達(dá)到很小(再小無意義).故有,2024/3/19,3,實(shí)際問題中, 略去“近似”二字, 就得?(x)在 處的邊際值 的,經(jīng)濟(jì)意義: 即當(dāng)自變量 x 在 的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)單位時(shí), 函數(shù)y的改變量.,例33 某機(jī)械廠,

3、 生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件, 假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量 x (件)的函數(shù)為,2024/3/19,4,求(1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本; (2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí), 總成本的平均改變量; (3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本.,解 (1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本C(75)=7956.25(元),(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí),總成本的平均改變量,C(7

4、5)/75=106.08(元/件),2024/3/19,5,(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本,注:當(dāng)銷售量為x, 總利潤(rùn)為L(zhǎng)=L(x)時(shí), 稱 為銷售量為x時(shí)的邊際利潤(rùn),它近似等于銷售量為x時(shí)再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤(rùn).,例34 某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是 求邊際利

5、潤(rùn)函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是200公斤,250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤(rùn).并說明其經(jīng)濟(jì)意義.,,,,2024/3/19,6,解 (1)總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x) = R(x) – C(x) =,邊際利潤(rùn)函數(shù)為,(2)當(dāng)日產(chǎn)量分別是200公斤、250公斤和300公斤時(shí)的邊際利潤(rùn)分別是,其經(jīng)濟(jì)意義: 當(dāng)日產(chǎn)量為 200公斤時(shí), 再增加1公斤, 則總利潤(rùn)可增加1元.當(dāng)日產(chǎn)量為 250公斤時(shí),再增加1公斤,則總利潤(rùn)無增加. 當(dāng)日產(chǎn)量為300公斤

6、時(shí),再增加1公斤,則反而虧損1元.,2024/3/19,7,結(jié)論: 當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超越了邊際利潤(rùn)的零點(diǎn)時(shí),,反而使企業(yè)無利可圖.,2.彈性,彈性是用來描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化時(shí), 所作出反映的強(qiáng)弱程度. 即彈性是用來描述一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的相對(duì)變化率的一個(gè)量.,2024/3/19,8,定義 若函數(shù)y =?(x)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義, 且 ,

7、 則稱 Δ x 和 Δy 分別是 x 和 y 在點(diǎn) 處的絕對(duì)增量, 并稱,分別為自變量 x與?(x)在點(diǎn) 處的相對(duì)增量.,定義 設(shè)y =?(x)當(dāng),2024/3/19,9,由彈性定義可知(1)若 y = ?(x) 在點(diǎn) 處可導(dǎo). 則它在 處的彈性為,(3)彈性是一個(gè)無量綱的數(shù)值, 這一數(shù)值與計(jì)量單位無關(guān).,例35 當(dāng)a、b、α為常數(shù)時(shí), 求下列函數(shù)的彈性函數(shù)及在點(diǎn) x = 1處的點(diǎn)

8、彈性, 并闡述其經(jīng)濟(jì)意義.,2024/3/19,10,η(1)的經(jīng)濟(jì)意義是: 在x = 1處,,當(dāng)b > 0 時(shí), x 增加(或減少)1%, ?(x)就增加(或減少) b% ;,當(dāng)b < 0 時(shí), x 增加(或減少)1%, ?(x)就減少(或增加) –b% .,η(x)的經(jīng)濟(jì)意義是:,2024/3/19,11,,例36 某日用消費(fèi)品需求量Q(件)與單價(jià)p(元)的函數(shù)關(guān)系為,(a是常數(shù)), 求,(1)需求彈性函數(shù)(通

9、常記作 ).(2)當(dāng)單價(jià)分別是4元、4.35元、5元時(shí)的需求彈性.,易知: 任何需求函數(shù)對(duì)價(jià)格之彈性 , 均滿足,2024/3/19,12,在商品經(jīng)濟(jì)中, 商品經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的的是提價(jià)(Δp>0)或降價(jià)(Δp<0)對(duì)總收益的影響.下面利用需求彈性的概念,可以得出價(jià)格變動(dòng)如何影響銷售收入的結(jié)論.,2024/3/19,13,(1)若 (稱為高彈性)時(shí), 則 ΔR 與 Δp 異號(hào)

10、. 此時(shí), 降價(jià)(Δp 0)將使收益減少;,(2)若 (稱為低彈性)時(shí), 則 ΔR 與 Δp 同號(hào).此時(shí),降價(jià)(Δp 0)將使收益增加;,從而有結(jié)論:,(3)若 (稱為單位彈性)時(shí), 則 . 此時(shí), 無論是降價(jià)還是提價(jià)均對(duì)收益沒有明顯的影響.,由此對(duì)例36 而言: 當(dāng)p = 4時(shí), (低彈性), 此時(shí)降價(jià)使收益減少;

11、 提價(jià)使收益增加;,2024/3/19,14,例37 某商品的需求量為2660單位,需求價(jià)格彈性為–1.4. 若該商品價(jià)格計(jì)劃上漲8%(假設(shè)其他條件不變),問該商品的需求量會(huì)降低多少?,解 設(shè)該商品的需求量為Q,在價(jià)格上漲時(shí)的改變量為ΔQ=Q–2660,課后考慮: 用類似方法, 對(duì)供給函數(shù)、成本函數(shù)等常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行彈性分析, 以預(yù)測(cè)市場(chǎng)的飽和狀態(tài)及商品的價(jià)格變動(dòng)等.,當(dāng) p = 4.35 時(shí),

12、(單位彈性), 此時(shí), 降價(jià)、提價(jià)對(duì)收益沒有明顯的影響;,當(dāng) p = 5 時(shí), (高彈性), 此時(shí)降價(jià)使收益增加;提價(jià)使收益減少.,且,2024/3/19,15,二.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,在經(jīng)濟(jì)管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定獲得利潤(rùn)最大的一系列價(jià)格策略等. 這些問題都可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值問題.下面舉例說明函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用.,1.平均成本最小,例38

13、某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為 x (件)時(shí), 生產(chǎn)成本函數(shù)(元)為,求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí), 平均成本達(dá)到最小? 并求出其最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本.,2024/3/19,16,2024/3/19,17,2.最大利潤(rùn),設(shè)總成本函數(shù)為C(x), 總收益函數(shù)為R(x), 其中x為產(chǎn)量, 則在假設(shè)產(chǎn)量和銷量一致的情況下, 總利潤(rùn)函數(shù)為,假設(shè)產(chǎn)量為 時(shí), 利潤(rùn)達(dá)到最大, 則由極值的必要條件和極值的第二充分條件, L(x

14、)必定滿足:,可見, 當(dāng)產(chǎn)量水平 使得邊際收益等于邊際成本時(shí), 可獲得最大利潤(rùn).,L(x) = R(x) – C(x),2024/3/19,18,例39 .某商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系p = 7–0.2x(萬元/噸), 且x為銷售量(單位:噸)、商品的成本函數(shù)為 C(x) = 3x + 1(萬元),(1)若每銷售一噸商品, 政府要征稅t (萬元

15、), 求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量;,(2) t 為何值時(shí), 政府稅收總額最大.,解 (1)當(dāng)該商品的銷售量為x時(shí), 商品銷售總收入為,設(shè)政府征的總稅額為T, 則有T = t x, 且利潤(rùn)函數(shù)為,2024/3/19,19,(2)由(1)的結(jié)果知, 政府稅收總額為,顯然, 當(dāng) t = 2時(shí), 政府稅收總額最大. 但須指出的是:,為了使商家在納稅的情況下仍能獲得最大利潤(rùn), 就應(yīng)使,x = 5/2(4 – t)

16、 > 0 ,,即 t 滿足限制0 < t < 4. 顯然 t = 2 并未超出 t 的限制范圍.,2024/3/19,20,,例40 某家銀行,準(zhǔn)備新設(shè)某種定期存款業(yè)務(wù). 假設(shè)存款量與利率成正比, 經(jīng)預(yù)測(cè)貸款投資的收益率為16%, 那么存款利息定為多少時(shí), 才能收到最大的貸款純收益?,3.最佳存款利息,解 設(shè)存款利率為x, 存款總額為M, 則由M與x成正比,得,M = k x ( k 是正常數(shù) )

17、,2024/3/19,21,若貸款總額為M, 則銀行的貸款收益為 0.16 M = 0.16 k x,而這筆貸款M要付給存戶的利息為 , 從而銀行的投資純收益為,故當(dāng)存款利率為8%時(shí), 可創(chuàng)最高投資純收益.,2024/3/19,22,解 設(shè)每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)為C,進(jìn)貨的批數(shù)為x, 則批量為 個(gè), 且,4.最佳批量和批數(shù),例41 某廠年需某種零件 8000個(gè),需分期分批外購(gòu),

18、然后均勻投入使用(此時(shí)平均庫(kù)存量為批量的一半).若每次定貨的手續(xù)費(fèi)為40元, 每個(gè)零件的庫(kù)存費(fèi)為4元. 試求最經(jīng)濟(jì)的定貨批量和進(jìn)貨批數(shù).,2024/3/19,23,因而當(dāng)進(jìn)貨的批數(shù)為 20 批, 定貨批量為 400 個(gè)時(shí),每年的庫(kù)存費(fèi)和定貨的手續(xù)費(fèi)最少——最經(jīng)濟(jì).,企業(yè)在正常生產(chǎn)的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中, 庫(kù)存是必要的, 但庫(kù)存太多使資金積壓、商品陳舊變質(zhì)造成浪費(fèi). 因此確定最適當(dāng)?shù)膸?kù)存量是很重要的.,2024/3/19,24

19、,例，某產(chǎn)品的年銷售量為1000000件，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為1000元，每件產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)用為0.05元；若年銷售是均勻的，且銷售完上批即生產(chǎn)下批，問分多少批生產(chǎn)才能使準(zhǔn)備費(fèi)用與庫(kù)存費(fèi)用之和最??？,2024/3/19,25,解：設(shè)一年分x批生產(chǎn)，準(zhǔn)備和庫(kù)存費(fèi)用之和為s（x）；則一年的準(zhǔn)備費(fèi)用為1000元；平均庫(kù)存量為,；,所以,，,（舍）,；,可知x=5為s（x）的極小值且唯一；即分5批生產(chǎn)利潤(rùn)最大。,2024/3/19,26,

20、欲求 的現(xiàn)在值 的問題稱為貼現(xiàn)(率)問題. 則一年結(jié)算m次, t 年末的貼現(xiàn)凈額為,5.最優(yōu)決策時(shí)間,準(zhǔn)備知識(shí): 設(shè) 為初始本金(稱現(xiàn)值), r為年利率, 按連續(xù)復(fù)利計(jì)算, t 年末的本利和記作 (稱總收入).則當(dāng)年結(jié)算m次時(shí), 就有,從而有連續(xù)復(fù)利公式,與此相反, 經(jīng)濟(jì)學(xué)中把已知未來值為 , 貼現(xiàn)率也為r.,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算, 得 t 年末的貼現(xiàn)凈額為(也稱為貼現(xiàn)公式),2024

21、/3/19,27,例42 某酒廠有一批新釀的好酒, 如果現(xiàn)在(假定t=0)就出售, 售價(jià)為 (元). 如果窖藏起來待日按陳酒價(jià)格出售(假設(shè)不計(jì)儲(chǔ)藏費(fèi)), 那么未來總收入就是時(shí)間 t 的函數(shù) 假設(shè)資金的貼現(xiàn)率為 r, 并以連續(xù)復(fù)利計(jì)息, 為使總收入的現(xiàn)值最大, 應(yīng)在何年出售此酒?,2024/3/19,28,解 設(shè)這批酒窖藏 t 年整, 售出總收入的現(xiàn)值為L(zhǎng),故