導數在經濟中的應用

1、2024/3/19,1,§4.7 導數在經濟中的應用,導數在工程、技術、科研、國防、醫(yī)學、環(huán)保和經濟管理等許多領域都有十分廣泛的應用. 下面介紹導數(或微分)在經濟中的一些簡單的應用.,一.邊際分析與彈性分析,邊際和彈性是經濟學中的兩個重要概念. 用導數來研究經濟變量的邊際與彈性的方法, 稱之為邊際分析與彈性分析.,1.邊際函數,2024/3/19,2,定義 經濟學中,把函數?(x)的導函數

2、 稱為?(x)的邊際函數. 在點 的值 稱為?(x)在 處的邊際值(或變化率、變化速度等).,在經濟學中, 通常取Δx =1, 就認為Δx達到很小(再小無意義).故有,2024/3/19,3,實際問題中, 略去“近似”二字, 就得?(x)在 處的邊際值 的,經濟意義: 即當自變量 x 在 的基礎上再增加一個單位時, 函數y的改變量.,例33 某機械廠,

3、 生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件, 假設日產品的總成本C(元)與日產量 x (件)的函數為,2024/3/19,4,求(1)日產量75件時的總成本和平均成本; (2)當日產量由75件提高到90件時, 總成本的平均改變量; (3)當日產量為75件時的邊際成本.,解 (1)日產量75件時的總成本和平均成本C(75)=7956.25(元),(2)當日產量由75件提高到90件時,總成本的平均改變量,C(7

4、5)/75=106.08(元/件),2024/3/19,5,(3)當日產量為75件時的邊際成本,注:當銷售量為x, 總利潤為L=L(x)時, 稱 為銷售量為x時的邊際利潤,它近似等于銷售量為x時再多銷售一個單位產品所增加或減少的利潤.,例34 某糕點加工廠生產A類糕點的總成本函數和總收入函數分別是 求邊際利

5、潤函數和當日產量分別是200公斤,250公斤和300公斤時的邊際利潤.并說明其經濟意義.,,,,2024/3/19,6,解 (1)總利潤函數為L(x) = R(x) – C(x) =,邊際利潤函數為,(2)當日產量分別是200公斤、250公斤和300公斤時的邊際利潤分別是,其經濟意義: 當日產量為 200公斤時, 再增加1公斤, 則總利潤可增加1元.當日產量為 250公斤時,再增加1公斤,則總利潤無增加. 當日產量為300公斤

6、時,再增加1公斤,則反而虧損1元.,2024/3/19,7,結論: 當企業(yè)的某一產品的生產量超越了邊際利潤的零點時,,反而使企業(yè)無利可圖.,2.彈性,彈性是用來描述一個經濟變量對另一個經濟變量變化時, 所作出反映的強弱程度. 即彈性是用來描述一個量對另一個量的相對變化率的一個量.,2024/3/19,8,定義 若函數y =?(x)在點 的某鄰域內有定義, 且 ,

7、 則稱 Δ x 和 Δy 分別是 x 和 y 在點 處的絕對增量, 并稱,分別為自變量 x與?(x)在點 處的相對增量.,定義 設y =?(x)當,2024/3/19,9,由彈性定義可知(1)若 y = ?(x) 在點 處可導. 則它在 處的彈性為,(3)彈性是一個無量綱的數值, 這一數值與計量單位無關.,例35 當a、b、α為常數時, 求下列函數的彈性函數及在點 x = 1處的點

8、彈性, 并闡述其經濟意義.,2024/3/19,10,η(1)的經濟意義是: 在x = 1處,,當b > 0 時, x 增加(或減少)1%, ?(x)就增加(或減少) b% ;,當b < 0 時, x 增加(或減少)1%, ?(x)就減少(或增加) –b% .,η(x)的經濟意義是:,2024/3/19,11,,例36 某日用消費品需求量Q(件)與單價p(元)的函數關系為,(a是常數), 求,(1)需求彈性函數(通

9、常記作 ).(2)當單價分別是4元、4.35元、5元時的需求彈性.,易知: 任何需求函數對價格之彈性 , 均滿足,2024/3/19,12,在商品經濟中, 商品經營者關心的的是提價(Δp>0)或降價(Δp<0)對總收益的影響.下面利用需求彈性的概念,可以得出價格變動如何影響銷售收入的結論.,2024/3/19,13,(1)若 (稱為高彈性)時, 則 ΔR 與 Δp 異號

10、. 此時, 降價(Δp 0)將使收益減少;,(2)若 (稱為低彈性)時, 則 ΔR 與 Δp 同號.此時,降價(Δp 0)將使收益增加;,從而有結論:,(3)若 (稱為單位彈性)時, 則 . 此時, 無論是降價還是提價均對收益沒有明顯的影響.,由此對例36 而言: 當p = 4時, (低彈性), 此時降價使收益減少;

11、 提價使收益增加;,2024/3/19,14,例37 某商品的需求量為2660單位,需求價格彈性為–1.4. 若該商品價格計劃上漲8%(假設其他條件不變),問該商品的需求量會降低多少?,解 設該商品的需求量為Q,在價格上漲時的改變量為ΔQ=Q–2660,課后考慮: 用類似方法, 對供給函數、成本函數等常用經濟函數進行彈性分析, 以預測市場的飽和狀態(tài)及商品的價格變動等.,當 p = 4.35 時,

12、(單位彈性), 此時, 降價、提價對收益沒有明顯的影響;,當 p = 5 時, (高彈性), 此時降價使收益增加;提價使收益減少.,且,2024/3/19,15,二.函數最值在經濟中的應用,在經濟管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產成本或制定獲得利潤最大的一系列價格策略等. 這些問題都可歸結為求函數的最大值和最小值問題.下面舉例說明函數最值在經濟上的應用.,1.平均成本最小,例38

13、某工廠生產產量為 x (件)時, 生產成本函數(元)為,求該廠生產多少件產品時, 平均成本達到最小? 并求出其最小平均成本和相應的邊際成本.,2024/3/19,16,2024/3/19,17,2.最大利潤,設總成本函數為C(x), 總收益函數為R(x), 其中x為產量, 則在假設產量和銷量一致的情況下, 總利潤函數為,假設產量為 時, 利潤達到最大, 則由極值的必要條件和極值的第二充分條件, L(x

14、)必定滿足:,可見, 當產量水平 使得邊際收益等于邊際成本時, 可獲得最大利潤.,L(x) = R(x) – C(x),2024/3/19,18,例39 .某商家銷售某種商品的價格滿足關系p = 7–0.2x(萬元/噸), 且x為銷售量(單位:噸)、商品的成本函數為 C(x) = 3x + 1(萬元),(1)若每銷售一噸商品, 政府要征稅t (萬元

15、), 求該商家獲最大利潤時的銷售量;,(2) t 為何值時, 政府稅收總額最大.,解 (1)當該商品的銷售量為x時, 商品銷售總收入為,設政府征的總稅額為T, 則有T = t x, 且利潤函數為,2024/3/19,19,(2)由(1)的結果知, 政府稅收總額為,顯然, 當 t = 2時, 政府稅收總額最大. 但須指出的是:,為了使商家在納稅的情況下仍能獲得最大利潤, 就應使,x = 5/2(4 – t)

16、 > 0 ,,即 t 滿足限制0 < t < 4. 顯然 t = 2 并未超出 t 的限制范圍.,2024/3/19,20,,例40 某家銀行,準備新設某種定期存款業(yè)務. 假設存款量與利率成正比, 經預測貸款投資的收益率為16%, 那么存款利息定為多少時, 才能收到最大的貸款純收益?,3.最佳存款利息,解 設存款利率為x, 存款總額為M, 則由M與x成正比,得,M = k x ( k 是正常數 )

17、,2024/3/19,21,若貸款總額為M, 則銀行的貸款收益為 0.16 M = 0.16 k x,而這筆貸款M要付給存戶的利息為 , 從而銀行的投資純收益為,故當存款利率為8%時, 可創(chuàng)最高投資純收益.,2024/3/19,22,解 設每年的庫存費和定貨的手續(xù)費為C,進貨的批數為x, 則批量為 個, 且,4.最佳批量和批數,例41 某廠年需某種零件 8000個,需分期分批外購,

18、然后均勻投入使用(此時平均庫存量為批量的一半).若每次定貨的手續(xù)費為40元, 每個零件的庫存費為4元. 試求最經濟的定貨批量和進貨批數.,2024/3/19,23,因而當進貨的批數為 20 批, 定貨批量為 400 個時,每年的庫存費和定貨的手續(xù)費最少——最經濟.,企業(yè)在正常生產的經營活動中, 庫存是必要的, 但庫存太多使資金積壓、商品陳舊變質造成浪費. 因此確定最適當的庫存量是很重要的.,2024/3/19,24

19、,例，某產品的年銷售量為1000000件，每批產品的生產準備費用為1000元，每件產品的庫存費用為0.05元；若年銷售是均勻的，且銷售完上批即生產下批，問分多少批生產才能使準備費用與庫存費用之和最??？,2024/3/19,25,解：設一年分x批生產，準備和庫存費用之和為s（x）；則一年的準備費用為1000元；平均庫存量為,；,所以,，,（舍）,；,可知x=5為s（x）的極小值且唯一；即分5批生產利潤最大。,2024/3/19,26,

20、欲求 的現在值 的問題稱為貼現(率)問題. 則一年結算m次, t 年末的貼現凈額為,5.最優(yōu)決策時間,準備知識: 設 為初始本金(稱現值), r為年利率, 按連續(xù)復利計算, t 年末的本利和記作 (稱總收入).則當年結算m次時, 就有,從而有連續(xù)復利公式,與此相反, 經濟學中把已知未來值為 , 貼現率也為r.,按連續(xù)復利計算, 得 t 年末的貼現凈額為(也稱為貼現公式),2024

21、/3/19,27,例42 某酒廠有一批新釀的好酒, 如果現在(假定t=0)就出售, 售價為 (元). 如果窖藏起來待日按陳酒價格出售(假設不計儲藏費), 那么未來總收入就是時間 t 的函數 假設資金的貼現率為 r, 并以連續(xù)復利計息, 為使總收入的現值最大, 應在何年出售此酒?,2024/3/19,28,解 設這批酒窖藏 t 年整, 售出總收入的現值為L,故