概率論第四章 2

1、,,第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征,,數(shù)學(xué)期望,4.1,設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是:,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,為X的數(shù)學(xué)期望.,例2.某個(gè)賭局的規(guī)則是：你隨機(jī)擲出三顆骰子，當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)六點(diǎn)時(shí)，莊家賠你1倍賭注；當(dāng)出現(xiàn)2個(gè)六點(diǎn)時(shí)，莊家賠你2倍賭注；當(dāng)你擲出3個(gè)六點(diǎn)時(shí)，莊家賠你10倍賭注，否則輸?shù)裟愕馁€注。如果你下注100元，你和莊家在每局中的平均獲利是多少元？,解:,例3.(投資決策問題)假設(shè)某人進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案供選

2、擇：基金投資和股票投資。若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)良好，則基金投資的收益率為15%，股票投資的收益率為25%；若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)一般，則基金投資的收益率為8%，股票投資的收益率為10%；若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，則基金投資會(huì)虧損10%，股票投資會(huì)虧損20%。預(yù)估上述三種經(jīng)濟(jì)形勢(shì)發(fā)生的概率分別為0.25,0.55,0.2。依據(jù)期望收益率最大化原則，該選擇何種投資方案？,解:,例4. 設(shè)隨機(jī)變量X~P(λ)，其分布律為,求數(shù)學(xué)期望E(X).,解:,例5. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布

3、律為,求數(shù)學(xué)期望E(X).,解:,所以X的數(shù)學(xué)期望不存在。,例6. 某人連續(xù)地投擲籃球中的三分球，直到投中為止。設(shè)每次投中三分球的概率為p，求平均投籃次數(shù)。,解:,若X ~ 0-1分布，那么E(X)=p;,若X ~ B(n,p), 那么E(X)=np;,若X ~ P(λ), 那么E(X)=λ;,若X ~ G(p)， 那么E(X)=1/p.,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果,絕對(duì)收斂,則

4、定義X的數(shù)學(xué)期望為,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例7. 設(shè)X的概率密度如下，求E(X).,解:,例8. 設(shè)X ~ N(μ,σ2), 求E(X).,解:,若X ~ E(λ), 那么E(X)=1/λ;,若X ~ U[a,b], 那么E(X)=(a+b)/2;,若X ~ N(μ,σ2)，那么E(X) =μ.,例9. 設(shè)X的數(shù)學(xué)期望存在，其概率密度函數(shù)為f(x)，證明：,解:,設(shè)Y是隨機(jī)變量X的連續(xù)函數(shù)，Y=g(X)，則,

5、當(dāng)X為離散型時(shí)，P(X= xk)=pk ;當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)，X的密度函數(shù)為f (x).,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,例10. 設(shè)X的分布律如下，試求Y=|X|的數(shù)學(xué)期望。,解:,例11.(庫(kù)存問題)每年情人節(jié)期間(2月13日至14日)玫瑰花的銷量總是很火爆，某商家據(jù)多年的歷史數(shù)據(jù)分析得出，商家所在片區(qū)的玫瑰花需求量X服從 U(1000,1500)。每售出一支玫瑰花可盈利2元；若銷售不出去則每支虧損1元。問商家應(yīng)在情人節(jié)期間儲(chǔ)備多少支玫瑰花才

6、能使得期望盈利達(dá)到最大？,解:設(shè)商家應(yīng)儲(chǔ)備s支玫瑰花，其盈利為Y，則,設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，則,二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,,例12. 設(shè)(X,Y)聯(lián)合概率分布為：,求E(XY+Y).,解:,例13. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X與Y獨(dú)立。,解:,,,,,解法二:,,,,,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1. E(aX+b)=aE(X)+b;,2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,3. 設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則

7、E(XY)=E(X)E(Y);,,,E(aX)=aE(X),E(b)=b,例14. 設(shè)X為某人月收入(單位:元)，已知 X~N(4000,2002);假設(shè)此人月支出為Y, 且Y=0.5X+300,求此人月平均支出。,解:E(Y)=0.5E(X)+300 =0.5×4000+300=2300,例15. 求隨機(jī)變量X~B(n,p)的數(shù)學(xué)期望。,解:令X1,X2,…,Xn獨(dú)立，均服從B(1,

8、p),則,,,,例16. 將n個(gè)球放入M個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球落 入各個(gè)盒子是等可能的，求有球的盒 子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。,解:,例18.設(shè)一電路中電流I與電阻R是相互獨(dú)立 的兩個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度分別為,求電壓U=IR的平均值。,,,解：E(U)=E(IR)=E(I)E(R),,,,方差,4.2,例1.為比較兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)的工作質(zhì)量， 今從甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)所生產(chǎn)的 產(chǎn)品中各抽查10

9、包，具體數(shù)據(jù)如下 甲包裝機(jī)產(chǎn)品質(zhì)量X： 0.52,0.48,0.53,0.47,0.56,0.51,0.44,0.52,0.48,0.49; 乙包裝機(jī)產(chǎn)品質(zhì)量Y： 0.61,0.46,0.60,0.40,0.52,0.39,0.58,0.45,0.57,0.42。,D(X)=E(X2)-[E(X)]2,方差的定義與計(jì)算,例2. (投資決策問題續(xù))若依據(jù)投資風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，該

10、選擇何種投資方案？,解:,例3. 設(shè)X服從參數(shù)為p的0-1分布，求其方差和標(biāo)準(zhǔn)差。,例4. 設(shè)X ~ N(μ,σ2), 求D(X).,例5. 已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下,求D(X)。,解:,方差的性質(zhì),1. D(aX+b)=a2D(X) ;,,D(aX)=a2D(X),D(b)=0,D(-X)= D(X),例6. 已知E(X)=3，E(X2)=12,求D(2-4X)。,解:,,,方差的性質(zhì),2. 若X、Y相互獨(dú)立,則D(X+Y) =

11、D(X)+D(Y);,一般地，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},例8. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,求E(aX±bY), D(aX±bY).,解:,且X與Y相互獨(dú)立。,E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)=2a+b,D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)= a2+b2,例9.,解:,設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2，則對(duì)于任給ε>0,有,定理——切比雪夫

12、不等式,證:,例10. 設(shè)X為隨機(jī)變量,已知E(X)=μ, D(X)=σ2 ,試用切比雪夫不等式估計(jì) P(|X-μ|≥3σ).,解:,若X ~ 0-1分布，那么D(X)=p(1-p);,若X ~ B(n,p), 那么D(X)= np(1-p);,若X ~ P(λ), 那么D(X)=λ;,若X ~ G(p)， 那么D(X)=(1-p)/p2.,若X ~ E(λ),

13、 那么D(X)=1/λ2;,若X ~ U[a,b], 那么D(X)=(b-a)2/12;,若X ~ N(μ,σ2)，那么D(X) =σ2.,,矩與分位數(shù)（點(diǎn)）,4.3,E(Xk)——X的k階原點(diǎn)矩,E{[(X-E(X)]k}——X的k階中心矩,E(X)——X的1階原點(diǎn)矩,D(X)—— X的2階中心矩,一、矩,例4.3.2 設(shè)X ~ N(μ,σ2), 求X的2階原點(diǎn)矩E(X2) 和3階原點(diǎn)矩E(X3),——X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)

14、變量,E(X*)=0, D(X*)=1,概率分布的分位點(diǎn)1,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，α為給定的常數(shù)，且0< α <1. 若存在xα，使,則稱xα為隨機(jī)變量X關(guān)于α的上側(cè)分位點(diǎn).,二、分位數(shù)（點(diǎn)）,概率分布的分位點(diǎn)2,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，α為給定的常數(shù)，且0< α <1. 若存在a,b，使,則稱a,b為隨機(jī)變量X關(guān)于α的雙側(cè)分位點(diǎn).,常見分布的分位點(diǎn),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,卡方分布,t(

15、n)分布,F(m,n)分布,中位數(shù),中位數(shù)反映的是隨機(jī)變量集中程度的一個(gè)數(shù)字特征，它總是存在的，但可能不唯一,例 . 設(shè)X的概率密度如下，求X的中位數(shù),例. 設(shè)X ~ N(μ,σ2), 求X的中位數(shù),,協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),4.4,數(shù)學(xué)期望,方 差,,單個(gè)變量的數(shù)字特征,多個(gè)變量間聯(lián)系的數(shù)字特征,協(xié) 方 差,相關(guān)系數(shù),,設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若,E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]},存在，則稱其為X和Y的協(xié)

16、方差，記為cov(X,Y)。,協(xié)方差,cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y),,(4) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y),⑴ cov(X,Y)= cov(Y,X),(3) cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) a,b是常數(shù),協(xié)方差的性質(zhì),推論：cov(X1+X2, X1-X2)= D(X1)

17、 - D(X2),(5) X與Y相互獨(dú)立,(2) cov(X,a)= 0 a是常數(shù),,,解:,例1. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列如下,求cov(3X,2Y).,例2. 設(shè)X與Y獨(dú)立同分布,且X的分布如下，令U=max{X,Y},V=min{X,Y},求cov(U,V).,例3. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度如下，求cov(X,Y)。,解:,,,,為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù),設(shè)D(X)>0, D(Y)>0,稱,

18、相關(guān)系數(shù),,,,,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),,,證: (1),相關(guān)系數(shù)ρXY 是刻劃X和Y間線性關(guān)系程度的數(shù)字特征，| ρXY|越大， X和Y間線性關(guān)系越明顯。當(dāng)ρXY >0時(shí)， Y有隨著X增加而增大的趨勢(shì)；當(dāng)ρXY <0時(shí)， Y有隨著X增加而減小的趨勢(shì).,隨機(jī)變量不相關(guān)只說明兩個(gè)隨機(jī)變量之間沒有線性關(guān)系，但還可能有某種別的函數(shù)關(guān)系；隨機(jī)變量相互獨(dú)立說明兩個(gè)隨機(jī)變量之間沒有任何關(guān)系，既無(wú)線性關(guān)系，也無(wú)非線性關(guān)系。所以相互獨(dú)立必然不

19、相關(guān)，反之不一定成立。,相互獨(dú)立和不相關(guān),例4. 從0到9這10個(gè)數(shù)字中有放回地隨機(jī)取n次，以X和Y分別表示取到偶數(shù)和奇數(shù)的次數(shù)，求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY。,解:,例5. 設(shè)X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY為0.9，若Z=X-0.4，求 ρYZ。,解:,例6. 續(xù)例3，求X與Y的相關(guān)系數(shù)。,解:,,,,例7. 設(shè)X~N(0,1)，Y=Xn，求 ρXY。,解:,解:,例8. 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列如下,試討論X與Y 的相關(guān)性和獨(dú)

20、立性。,,,,解:,例9.,解:,例10.,例11. (X,Y)~ N(μ1 ,μ2,σ12,σ22,ρ) ，,對(duì)二維正態(tài)分布而言，X、Y相互獨(dú)立與互不相關(guān)是等價(jià)的。,(1)求E(Z)和D(Z).(2) 求ρXZ,判斷X與Z是否不相關(guān).(3)判斷X與Z是否獨(dú)立，為什么？,例12.,解: (1),(2),(3),對(duì)于任意兩事件A和B, 若0<P(A)<1,0<P(B)<1,則稱,為事件A和B的相關(guān)系數(shù)。,例1