課堂例題設計應注重低起點、高觀點、高目標”均值不等式

1、課堂例題設計應注重“低起點、高觀點、高目標” ——均值不等式復習課的例題設計,山東省青島第二中學 孫云濤,【理論指導】：“低起點、高觀點、高目標”的指導方針。,“低起點” 要求： 從基礎知識入手，即從能反映該學科領域最基本、最核心的知識入手，從反映該學科最新的進展和動態(tài)的知識入手，從具有符合學生認知發(fā)展規(guī)律的邏輯結構知識入手，或者說創(chuàng)設學生心理的“最近發(fā)展區(qū)”，學

2、生能“跳一跳，摘果子“，即以學生認知的最佳激發(fā)為標準組織教學的要求。（基礎性）,“高觀點“要求： 讓我們的學生在這個高觀點的誘導下真正成為課堂的主人，鼓勵學生超越教師，超越課本；讓我們的學生在這個高觀點的課堂上能夠欣賞教學，品味教學，享受教學，讓我們的課堂給學生以人生哲理，人格魅力，給學生以美，給學生以幸福，給學生以磨練，給學生以反思。這些應當成為我們的高觀點的更高追求。,1、一個層次：就是要使知識和能力的把握達到或接近選拔性

3、測試的要求，教會學生學科的思維，實現(xiàn)對學生學科思維能力的培養(yǎng)，此為學科意義上的價值。,“高目標“要求：,2、一個層次：即通過課堂教學，化信息為知識，化知識為智慧，化智慧為德性，或者說賦予知識以生命情懷，讓知識充滿生命，用生命去潤澤生命，讓打造課堂的文化價值（體現(xiàn)“還知識以情感、還課堂以靈性”的文化價值）；，教學過程成為師生的一段生命歷程，一種生命體驗，學習成為一種生命需要，這是課堂教學的最高境界，這是教育的終極關懷。,【設計背景】：學

4、情分析：均值不等式求最值時應滿足的條件是：一正二定三相等。雖然很多學生都能夠明白這三個條件的重要性，但真正在做題時，卻對三個條件不滿足時該如何處理感到束手無策。而課堂上大量例習題的出現(xiàn)，也會使學生在題海中淹沒自己，仍然不能處理應用均值不等式求最值時出現(xiàn)的問題。,內容分析：人教社B版必修5均值不等式一節(jié)中，在例題和課后的練習題中，出現(xiàn)了大量的分式型函數(shù)求最值的題目，說明了這類問題的重要性。而題目的過量，也使得學生在掌握時顯得束手無策，比較

5、忙亂。,【設計目的】： 讓學生通過課堂的例習題,掌握如何利用均值不等式解決分式型函數(shù)求最值的問題，進一步體會一正二定三相等三個條件的必要性。同時，通過例題的處理讓學生收獲信心，感受到數(shù)學的魅力所在，激發(fā)他們學習數(shù)學的積極性。,【設計過程】：,人教社B版必修5第71頁,【設計意圖】這種類型是學生最常見，也是最為熟悉的。通過這道題目，可以幫助學生復習利用均值不等式求最值時應滿足的三個條件。符合了學生的認知水平，創(chuàng)設了學生心理的“最近發(fā)展

6、區(qū)“，體現(xiàn)了“低起點“的設計思路。,【設計意圖】在利用均值不等式求最值時，很多的學生會將三個條件拋之腦后，從而產(chǎn)生錯誤。從大于0到小于0，既讓學生進一步明確了“一正”的必要性，同時又讓學生學會如何轉化已知條件，實現(xiàn)了能力的初步提升。,,【設計意圖】數(shù)學之所以讓有的學生感到困難，其原因就在于學生僅僅看到了題目的表面，忽略了問題的本質，從而讓他們感到數(shù)學題目的繁雜和無規(guī)律性。而實際上，數(shù)學題目的變化往往就在于結構形式的變化。這一道題目，學生

7、可以很容易的觀察到與變式1是相同的，但兩種結構形式的不同，卻給學生提供了一種非常重要的解決方法：分離。通過分離，使得“二定”條件得到滿足，為均值不等式的應用提供了條件。,【設計意圖】經(jīng)過上面3道題目的鋪墊，學生已經(jīng)掌握了解決這種類型題目的基本方法和利用均值不等式求最值時應注意的問題，再去解決這道題目就會比較容易。在解決課本這道例題的過程中，通過幾道題目的鋪墊，學生可以很容易的參與到例題的解決中來，在這個過程中，他們是在欣賞教學，品味教學

8、，享受教學。,【設計意圖】：高考題是來源于課本，而又高于課本的。因此，對課本例題的把握絕不能淺嘗輒止，而應該用系統(tǒng)的觀點來建立自己的知識體系，并引導學生從整體上來理解和掌握知識，從而達到更高的目標。從變式3到變式4，難度有一個比較大的提升，培養(yǎng)了學生如何利用已有知識解決新的題目的能力，這對學生學習數(shù)學是至關重要的，可以幫助學生跳出題海，更加注重數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。另外，通過本題，可以讓學生體會換元法在數(shù)學解題中的重要作用，體現(xiàn)了數(shù)學方法

9、的重要性。,【設計意圖】：前面的幾道題目，學生掌握了“一正、二定”的重要性，但對于“三相等”還沒有深刻的理解。這道題目，就讓學生探究如何處理“三相等”不滿足時的解決思路。學生通過獨立思考和小組討論，最終就會發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù) 的圖象，而這也這正是分式型函數(shù)求最值的解決方法。學生通過課本例題的探究，意外的發(fā)現(xiàn)了一類問題的通性通法，讓學生感受到了數(shù)學方法產(chǎn)生

10、的過程，讓學生認識到數(shù)學不再是神秘的，讓學生對數(shù)學的學習產(chǎn)生了信心。另外，學生通過合作探究，培養(yǎng)了學生合作解決問題的能力。,通過這一組題目的變式，可以對學生進行人文方面的教育，從而達到高目標的要求：變，小到題目條件可變、結論可變，大到學習方法可變、學習興趣可變，甚至人生可變！事實上，世界萬物都在變，我們也需要改變。變，意味著創(chuàng)造；變，意味著進步；變，意味著創(chuàng)新。世界會因變而美麗，你我會因變而精彩！,【設計意圖】：將課堂上的內容延伸到課后

11、，這對學生掌握本節(jié)課的內容是非常有幫助的。此題為2010年山東理科高考題第14題，學生通過課后對本題的探究，可以更好地理解和掌握本節(jié)課的內容，進一步體會高考題與平常練習題的聯(lián)系和區(qū)別，幫助他們樹立自信心，從而也更好地重視課堂、重視基礎，重視課本。通過課后自己的變式訓練，激發(fā)學生的學習情趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，讓學生感受到數(shù)學的魅力就在于思考、再思考。,【課后題記】學生對數(shù)學知識的掌握是必須通過例題進行的，而單單將例題拋給學生，是一種不負

12、責任的行為。因此教師必須明確課本內容的精髓，同時要針對學生的認知情況，恰當、合理的選擇例題，或者對例題進行鋪墊、變式，以幫助學生能夠更好的掌握課本內容。但同時又不能局限于課本，而應該進行延伸、拓展。以低起點、高觀點、高目標的方針，指引我們對課本例題的使用，發(fā)揮課本習題的導向功能，就可以把課本中例題剖析的透一些，講解的精一些，可以讓學生在解題的過程中體會到解題的快樂，成功的喜悅。通過引導學生積極思維，進而達到舉一反三，觸類旁通之效，使學生