013動量矩定理

1、,第十三章 動量矩定理,理論力學(xué),,,,若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時，vC=0，則其動量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動，可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。動量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對于某固定點(diǎn)（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。,§13-1　動量矩,一．質(zhì)點(diǎn)的動量矩,質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心的運(yùn)動—?外力（外力系主矢）,動 力 學(xué),,,,正負(fù)號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：逆時針為正

2、 順時針為負(fù),⒊ 質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩與對軸z 的動量矩之間的關(guān)系,⒋ 動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動的強(qiáng)弱。,kg·ｍ2/s。,⒌ 單位,動 力 學(xué),,,,⒉ 質(zhì)點(diǎn)系對軸z 動量矩,二．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩,⒈ 質(zhì)系對點(diǎn)O動量矩,剛體動量矩計算,動 力 學(xué),,,,平面運(yùn)動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。,⑶

3、平面運(yùn)動剛體,[例1] 滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑輪B：m2，R2，I2 ；物體C：m3 求系統(tǒng)對O軸的動量矩。,動 力 學(xué),解：,,,,§13-2　動量矩定理,一．質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理,兩邊叉乘矢徑 , 有,左邊可寫成,故：,⒈ 質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理,動 力 學(xué),,,,將上式在通過固定點(diǎn)O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得,上式稱質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩定理

4、，也稱為質(zhì)點(diǎn)動量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一軸之矩。,⒊ 質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒情況,質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理,⒉ 質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩定理,動 力 學(xué),運(yùn)動分析：,,,,由動量矩定理,微幅擺動時，　　　　　并令　　　　，則,，擺動周期,解：研究小球，將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力如圖示。,[例2] 單擺　已知m，

5、l，t =0時?= ?0，從靜止 開始釋放。 求單擺的運(yùn)動規(guī)律。,代入初始條件,則運(yùn)動方程,微分方程的解為：,動 力 學(xué),,,,注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?⒉ 質(zhì)點(diǎn)動量矩定理的應(yīng)用 (可求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)兩類基本問題）?、?已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動；?、?已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動求作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩； ⑶ 已知質(zhì)點(diǎn)在某一狀態(tài)下的運(yùn)動要素，求在另一狀態(tài)下的運(yùn)動要素（速度、位

6、置坐標(biāo)）。,動 力 學(xué),,,,質(zhì)點(diǎn)系對任一固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）,二．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理,左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而,一質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理,對質(zhì)點(diǎn)系，有,對質(zhì)點(diǎn)MJ ：,⒈ 質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理,⒉ 質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理,將上式在通過固定點(diǎn)O的三個直角坐標(biāo)軸上投影，得,動 力 學(xué),,,,上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對任一固定

7、軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。,⒊ 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒定理　　⑴當(dāng)　　　　時，　　常矢量?！　、飘?dāng)　　　　時，　　常量。,定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩。,動 力 學(xué),,,,解: 取整個系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示?！?運(yùn)動分析： v =ｒ?,由動量矩定理：,[例3] 已知:,動 力 學(xué),,,,解：　

8、　　　　 系統(tǒng)的動量矩守恒。,猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為 。,[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當(dāng)猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）,動 力 學(xué),⒉ 可解決動力學(xué)兩類問題,,,,,§13-3　剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,對于一個定軸轉(zhuǎn)動剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理，有,——剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,一、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,⒈ 方程的導(dǎo)

9、出,動 力 學(xué),,,,動 力 學(xué),運(yùn)動分析：復(fù)擺繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動；,由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程:,得：,微幅擺動時，　　　　　即有：,即有：,微分方程的解為：,l —復(fù)擺的簡化長度，K —復(fù)擺的擺心，O —復(fù)擺的懸點(diǎn)。懸點(diǎn)和擺心可以互換，而不改變復(fù)擺的周期。,,,,動 力 學(xué),上式即為復(fù)擺作微幅擺動時的運(yùn)動規(guī)律。A為角振幅，a為初位相，可由運(yùn)動初始條件確定。復(fù)擺的運(yùn)動規(guī)律是簡諧運(yùn)動。,這就表明，如已知某物體的重量和重心的位置，再測出其

10、作微幅擺動時的擺動周期，則可計算出該物體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。,,,,§13-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量,一．定義,剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體對某軸轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。　 轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，國際單位制中單位　kg·m2 。,若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則,動 力 學(xué),二．轉(zhuǎn)動慣量的計算,１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）,,,,[例1] 勻質(zhì)細(xì)直桿長為l ,質(zhì)量為m

11、。 求：?對z軸的轉(zhuǎn)動慣量　 ；　 　?對z' 軸的轉(zhuǎn)動慣量 。,解：,動 力 學(xué),2. 回轉(zhuǎn)半徑由　　　　所定義的長度　 稱為剛體對 z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。,在機(jī)械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的　　　，以供參考。,剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。,同一個剛體

12、對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的。,⑴ 定理,,,,動 力 學(xué),3. 平行移軸定理,對于均質(zhì)剛體，　僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。,,,,動 力 學(xué),⑵ 證明 設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，,剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。,,,,動 力 學(xué),當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動慣量, 然后再加起來就是整個物

13、體的轉(zhuǎn)動慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。,4．計算轉(zhuǎn)動慣量的組合法,例如，對于例1中均質(zhì)細(xì)桿對 z' 軸的轉(zhuǎn)動慣量為,,,,解：,[例2] 鐘擺： 均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤：m2 , R 。 求 JO 。,動 力 學(xué),[例3] 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪

14、A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,[例3] 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,,,,②取輪B連同物體C為研究對象；受力如圖；輪B速度為w2 ，角加速度為e2 ；物體C速度為v ，加速度為a ；由質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理則有：,解: ①取輪A為研究對象；受力如圖；輪A角

15、加速度為 e1 ，由剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程則有：,動 力 學(xué),,,,動 力 學(xué),③運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程：,化簡(1) 得：,化簡(2) 得：,,,,§13-5　質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理　　　　 剛體平面運(yùn)動微分方程,一．質(zhì)點(diǎn)系動量矩,二．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理,動 力 學(xué),⒈ 定理,—質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理,質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)O 的動量矩等于系統(tǒng)的動量 對于O 點(diǎn)的動量矩與該系統(tǒng)對質(zhì)心動量

16、矩 的矢量和。,質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn),系的所有外力對質(zhì)心之矩的矢量和。,,,,動 力 學(xué),⑵ 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心和相對于固定點(diǎn)的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對于質(zhì)心以外的其它動點(diǎn)，一般并不存在這種簡單的關(guān)系。,⑴ 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。,⒉ 討論,三．剛體平面運(yùn)動微分方程　 ⒈方程的導(dǎo)出 設(shè)有一平面運(yùn)動剛體具

17、有質(zhì)量對稱平面，力系 是簡化到該平面內(nèi)的一個力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。,,,,取質(zhì)心C為動系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動可分解為,? 隨質(zhì)心C的平動 (xC , yC) ? 繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動　 （?） 可通過質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理可確定出：,動 力 學(xué),,,,應(yīng)用時采用投影形式,或,上式稱為 剛體平面運(yùn)動微分方程。,動

18、力 學(xué),⒉ 剛體平面運(yùn)動微分方程,,,,[例4] 質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為? 的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動。設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f、f´，不計滾動摩阻，試分析輪的運(yùn)動。,解：①取輪為研究對象。 ②受力分析如圖示。 ③運(yùn)動分析：取直角坐標(biāo)系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般

19、情況下輪作平面運(yùn)動。 ④ 根據(jù)平面運(yùn)動微分方程求解：,由⑵ 式得,⑴⑵⑶,⑴ — ⑶三式中含有四個未知數(shù)aC 、F、? ，N ，需根據(jù)不同的運(yùn)動情況列寫一個補(bǔ)充方程。,動 力 學(xué),,,,3．設(shè)輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。F=f´N ⑷ 可解得,表明：當(dāng)　　　　　時，解答3適用； 當(dāng)　　　　　時，解答2適用；f =0 時解答1適用。,動 力 學(xué),所以可解得,,,,一．基本

20、概念1．動量矩：物體某瞬時機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱的一種度量。2．質(zhì)點(diǎn)的動量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩：4．轉(zhuǎn)動慣量：物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。,對于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量要熟記。,動量、動量矩定理習(xí)題課,動 力 學(xué),5．剛體動量矩計算平動：定軸轉(zhuǎn)動：平面運(yùn)動：,,,,二．質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理及守恒　1．質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理,2．質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒,? 若　　　　　，則　　　　 常矢量。? 若

21、　　　　　，則　　　　 常量。,動 力 學(xué),三．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理及守恒 1．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理,2．質(zhì)點(diǎn)系的動量矩守恒,? 若　　　　　，則　　常矢量? 若　　　　　，則　　常量,,,,四．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理,動 力 學(xué),五．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程和剛體平面運(yùn)動微分方程　1．剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,2．剛體平面運(yùn)動微分方程,或,,,,,,動 力 學(xué),六．動量矩定理的應(yīng)用　應(yīng)用動量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對

22、單軸傳動系統(tǒng)尤為方便）,1．已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動運(yùn)動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。 2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。 3．已知質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力或外力矩對某軸之矩的代數(shù)和等于零，應(yīng)用動量矩守恒定理求角速度或角位移。,,,,七．應(yīng)用舉例[例1] 均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度?0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為 f '，滾阻

23、不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。,根據(jù)剛體平面運(yùn)動微分方程求解：,解：① 選取圓柱為研究對象 (注意只是一個剛體)； ② 受力分析如圖示； ③ 運(yùn)動分析：質(zhì)心C不動， 剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動；,動 力 學(xué),,,,將⑸、⑷兩式代入⑴、⑵兩式，有,將上述結(jié)果代入⑶式，有,解得：,動 力 學(xué),⑴,⑵,⑶,,,,[例2] 兩質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)桿固連成T 字型，可繞通過O點(diǎn)的水

24、平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA 處于水平位置時, T 形桿具有角速度? =4rad/s 。求該瞬時軸承O 的反力。,,動 力 學(xué),解：① 選T 字型桿為研究對象；受力分析如圖示；③ 運(yùn)動分析：剛體繞O 軸轉(zhuǎn)動；④ 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解：,⑴,,,,再根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理有：,動 力 學(xué),⑵,⑶,⑷,⑸,運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程：,,,,[例3] 均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩

25、重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求：① 圓柱B下落時質(zhì)心的加速度?！　、谌粼趫A柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。,動 力 學(xué),,,,選圓柱B為研究對象,⑵⑶,運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程 ：,⑷,⑴,解：選圓柱A為研究對象,由⑴、⑵式得：,代入⑶、⑷式得：,動 力 學(xué),,,,由動量矩定理：,⑴,運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程：,代入⑴式，得,當(dāng)M >2Pr 時， ，圓柱B的質(zhì)心將上升。,再取