集合的基本運算10

1、學(xué)點一,學(xué)點二,學(xué)點三,學(xué)點四,學(xué)點五,學(xué)點六,學(xué)點七,1.一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的 ，記作 ，即A∪B= 。 2.一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的

2、 ，記作 ，即A∩B= .3.（1）一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為 ，通常記作 .（2）對于一個集合，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱 為集合A相對于全集U的 ，記作

3、 ，即 .,并集,A∪B,{x|x∈A或x∈B},交集,A∩B,{x|x∈A,且x∈B},全集U,補 集,U,4.（1）1.并集A∪B{x|x∈A或x∈B}對于任意的集合A， B，有A∪A= ，A∩A= ，A∪B= ,A

4、∩B= .若A∪B=B,則A B；若A∩B=B,則B A.（2）由補集的定義可知，對任意集合A，有A∪(CUA)= , A∩(CUA)= .,5.用集合語言描述下面幾個圖：（1）A B,A∩B= ,A∪B= ；（2）A B,A∩B= ,A∪B=

5、 ；（3）A =B，A∩B= ,A∪B= .,B,A,A,B,A(B),A(B),A,A,B∪A,B∩A,U,學(xué)點一 基本概念的考查,已知U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}.求:（1）A∩B; （2）A∪(CUB);（3）(CUA)∩(CUB); （4）(CUA)∪(CUB),【分析】由集合的交、并、

6、補概念直接求解.,【解析】 ∵U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, ∴CUA={5,6,7,8}, CUB={1,6,7,8}. ∴（1）A∩B={1,2,3,4}∩{2,3,4,5}={2,3,4}. （2）A∪(CUB)={1，2，3，4}∪{1,6,7,8}={1,2,3,4,6,7,8}. （3）(

7、CUA)∩(CUB)={5，6，7，8}∩{1,6,7,8}= {6,7,8}. （4）(CUA)∪(CUB)={5，6，7，8}∪{1,6,7,8}={1,5,6,7,8 }.,【評析】集合的簡單運算可由基本概念直接求解.,已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求：(1)(CSA)∩(CSB); （2）CS（A∪B）;(3)(CSA)∪(CSB)

8、; （4）CS（A∩B）.,解：A∩B={x|3≤x<5}, A∪B={x|2≤x<7},CSA={x|1<x< 2}∪{x|5≤x≤7}, CSB={x|1<x<3}∪{7}.（1）（CSA）∩(CSB)={x|1<x<2或x=7}.（2）CS（A∪B）={x|1<x<2或x=7}.（3）（CSA）∪(CSB)={x|1<x<3或5≤x≤7}.（4）CS

9、（A∩B）={x|1<x<3或5≤x≤7}.,【解析】∵M={x|y2=x+1}={x|x+1≥0} ={x|x≥-1}， P={x|y2=-2(x-3)}={x|x≤3}， ∴M∩P={x|x≥-1，且x≤3}={x|-1≤x≤3}.故應(yīng)選C.,學(xué)點二 交 集,【分析】由集合的定義,集合M表示方程y2=x+1中x的范圍,集合P表示方

10、程y2=-2(x-3)中x的范圍,故應(yīng)先化簡集合M,P.,【評析】理解集合的表示形式,掌握其意義,利用交 集定義可解決所給問題.,已知集合M={x|y2=x+1},P={x|y2=-2(x-3)},那么M∩P=( )A. {(x,y)x= ,y=± } B.{x|-1<x<3}C.{x|-1≤x≤3} D.

11、{x|x≤3 },C,設(shè)集合A={(x,y)|2x+y=1,x,y∈R},B={(x,y)|a2x+2y=a,x,y∈R},若A∩B=,求a的值.,解：集合A,B的元素分別是二元一次方程2x+y=1和a2x+2y=a的解,因為兩方程的公共解集A∩B=,所以方程組無解.列方程組 得(4-a2)x=2-a則

12、 即a=-2.,學(xué)點三 并 集,設(shè)A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},下列集合中與A∪B相等的集合是( )A.{4,5,6,7,8} B.{3,4,6,7,10，16}C.{3,4,5,6,7,8,9} D.{3,4,5,6,7,8},【分析】注意到集合A與集合

13、B的并集的定義中: (1)集合A∪B中的元素必須是集合A或集合B的元素, (2)集合A∪B包含集合A與集合B中的所有元素.,D,【評析】在判定或書寫集合A與集合B的并集時,既不能遺漏元素, 也不能增添元素,要嚴格地理解、掌握并集的定義.,【解析】A.3∈B,但3{4,5,6,7,8},{4,5,6,7,8}A∪B;B.10A,10B,16A,16B,{3,4,6,7,10,16}≠A∪B; C.9A,

14、9B,A∪B{3,4,5,6,7,8,9}; D.顯然A∪B={3,4,5,6,7,8}. 故應(yīng)選D.,已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍是( )A.3≤a＜4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1,解：∵A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},A∪

15、B=R,∴由數(shù)軸知,a≤-1.故應(yīng)選C.,C,學(xué)點四 補集與全集,設(shè)A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},CUB={-1,0，2},求B.,【分析】由A∪(CUA)=U確定全集U,則B可求.,【解析】∵A={0,2,4,6},CUA={-1,-3,1,3},∴U={-3,-1,0,1,2,3,4,6},又∵CUB={-1,0,2},∴B={-3,1,3,4,6}.,【評析】解決與補集有關(guān)的問題時,應(yīng)明確全集

16、是什么, 同時注意補集的有關(guān)性質(zhì):CU=U,CUU=,CU(CUA)=A等.,設(shè)全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且CUA={5},求實數(shù)a的值.,解：∵CUA={5},∴5∈U，且5A.∴a2+2a-3=5,即a=2或a= -4.當a=2時,|2a-1|=3,這時A={3,2},U={2,3,5}.∴CUA={5},適合題意.∴a=2.當a=-4時,|2a-1|=9,這時A=

17、{9,2},U={2,3,5},AU,∴CUA無意義,故a=-4應(yīng)舍去.綜上所述可知a=2.,學(xué)點五 交集的應(yīng)用,已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求實數(shù)m的取值范圍.,【分析】由A∪B=A得AB，故應(yīng)從BA入手討論，但考慮到B是A的子集，因此，不要忘記B=的情況.,【解析】由題意，A∪B=A,∴BA.（1）若B=，則m+1>2m-1，即m<2

18、， 此時總有A∪B=A∪=A成立.（2）若B≠，則 解得2≤m≤3. 綜合(1)(2)知,m的取值范圍是{m|m<2}∪{m|2≤m≤3}={m|m≤3}.,【評析】由A∪B=A可得BA,而BA包括兩種情況，即B=和B≠.本題常犯的錯誤是把B=漏掉而只討論B≠這

19、一種情況.,設(shè)集合A={a2, a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求實數(shù)a的值.,解：∵A∩B={-3},∴-3∈B.∴a-3= -3或2a-1= -3,∴a=0或a= -1.當a=0時,A={0,1,-3},B={-3,-1,1},此時A∩B={1,-3},與A∩B={-3}矛盾,故舍去.當a= -1時,A={1,0,-3},B={-4,-3,2},滿足A∩B={-3},∴a= -1.,學(xué)

20、點六 Venn圖的應(yīng)用,【分析】關(guān)于集合的交、并、補的問題,通常可以由分析法找出集合中一定有或一定沒有的元素,對它們逐一檢驗;或利用Venn圖,把元素一一放入圖中相應(yīng)位置,從而寫出所求集合.,【解析】解法一：利用Venn圖,在圖中標出各個元素的相應(yīng)位置,可以直接寫出A與B,A={2,3,5,7},B={1,2,9}.,若集合U={x|x是小于10的正整數(shù)},AU,BU,且(CUA)∩B={1,9},A∩B={2},(C

21、UA)∩(CUB)={4,6,8},試求A與B.,解法二：∵A∩B={2},(CUA)∩B={1,9},∴B=（A∩B）∪［(CUA)∩B］={1,2,9}.∵A∪B=CU［(CUA)∩(CUB)］={1,2,3,5,7,9},又∵B={1，2，9}，A∩B={2},∴A={2,3,5,7}.,【評析】事實上,在解決這類問題時,將Venn圖的使用與分析法相結(jié)合更準確簡捷.,設(shè)A，B都是不超過8的正整數(shù)組成的全集U的子集A∩B={

22、3},(CUA)∩(CUB)={1,8},(CUA)∩B={4,6},求集合A，B.,解：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，在Venn圖中將1,2,3,4,5,6,7,8分別填入到相應(yīng)的位置中去，則由A∩B={3},CUA∩CUB={1,8},(CUA)∩B={4,6}得A∩(CUB)={2,5,7}.∴A={2,3,5,7},B={3,4,6}.,學(xué)點七 集合運算的應(yīng)用,已知集合S={1,3,x3+3x2+2x

23、},A={1,|2x-1|},如果CSA={0},則這樣的實數(shù)x是否存在?若存在,求出x;若不存在,說明理由.,【分析】解決此問題的關(guān)鍵是正確理解CSA={0}的意義,它有兩層含義,即0∈S,但0A,這樣解題思路就清楚了.,【評析】解答此題時,我們由CSA={0}求出x1=0,x2=-1,x3=-2之后,驗證其是否符合題目的隱含條件AS是必要的,否則就會誤認為x1=0或x3=-2也是所求的實數(shù)x,從而得出錯誤的結(jié)論.集合概念及其

24、基本理論是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一,學(xué)好這部分知識的目的之一就是在于應(yīng)用. 因此，一定要學(xué)會讀懂集合的語言和符號,并能運用集合的觀點研究、判斷和處理簡單的實際問題.,解：（1）如A={1,2,3},B={2,3,4},則A-B={1}.（2）不一定相等，由（1）知B-A={4}，而A-B={1}，B-A≠A-B.再如A={1，2，3}，B={1,2,3},A-B=，B-A= ,此時A-B=B-A.故A-B與B-A不一定相等

25、.（3）因為A-B={x|x≥6}, B-A={x|-6<x≤4}, A-(A-B)={x|4<x<6}, B-(B-A)={x|4<x<6},由此猜測:一般的對于兩個集合A，B，有A-（A-B）=B-（B- A）,設(shè)A，B是兩個非空集合，定義A與B的差集為A-B={x|x∈A且xB}.（1）試舉出兩個數(shù)集A，B，求它們的差集；（2）差集A-B與B-A是否一定相等？并說明你的理由；（3）已知A=

26、{x|x>4},B={x||x|<6}，求A-（A-B）及B-（B-A），由此你可以得到什么更一般的結(jié)論？（不必證明）,1.在解題時如何用好集合語言?解集合問題,不僅僅是運用集合語言,更重要的是明確集合語言所蘊含的真實的數(shù)學(xué)含義,集合語言的轉(zhuǎn)換過程,實質(zhì)就是在進行數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)換時,向著我們熟悉的能夠解決的問題轉(zhuǎn)化.2.在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意什么問題?(1)對于交集、并集、全集、補集等概念的理解,要注意教材中的實例和Ven

27、n圖的直觀作用.(2)要善于將三者進行比較記憶,找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.,(3)注意在集合運算中,運用Venn圖,借助于數(shù)軸等幾何方法直觀理解.(4)學(xué)會集合語言的運用,并逐漸學(xué)會用集合的觀點研究事物的內(nèi)涵與外延.3.怎樣理解全集和補集？全集并非包羅萬象，含有任何元素的集合，它僅僅含有我們所要研究的問題中所涉及的所有元素，如研究方程實根，全集取為R;研究整數(shù)，全集取為Z，同時，要理解補集的定義的 用法.,1.交集與并集是集合的

28、兩種不同運算,對它們概念的理解要特別注意“且”與“或” 的區(qū)別.交集和并集的符號“∩”“∪”既有相同的地方,但又完全不同,不要混淆.2.對于交集“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能簡單地認為A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素,或者簡單地認為A與B的公共元素都屬于A∩B,這是因為并非任何兩個集合總有公共元素.3.對于并集“A∪B={x|x∈A,或x∈B}”,不能簡單地理解為A∪B是由A的所有元素與B的所有元素組成的集合,這是