不等式教學(xué)

1、不等式不等式(上)【考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容不等式，不等式的性質(zhì)，不等式的證明，不等式的解法，含有絕對值的不等式。二、考試要求1.掌握不等式的性質(zhì)及其證明，掌握證明不等式的幾種常用方法，掌握兩個(gè)和三個(gè)（不要求四個(gè)和四個(gè)以上）“正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這兩個(gè)定理，并能運(yùn)用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問題。2.在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的解法的基礎(chǔ)上初步掌握其他的一些簡單的不等式的解法。3.會(huì)

2、用不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a||b|。三、考點(diǎn)簡析1.不等式知識(shí)相互關(guān)系表2.不等式的性質(zhì)（1）作用地位不等式性質(zhì)是不等式理論的基本內(nèi)容，在證明不等式、解不等式中都有廣泛的應(yīng)用。高考中，有時(shí)直接考查不等式的性質(zhì)，有時(shí)間接考查性質(zhì)（如在證明不等式、解不等式中就間接考查了掌握不等式性質(zhì)的程度）。準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、運(yùn)用基本性質(zhì)，并能舉出適當(dāng)反例，能辨別真假命題是學(xué)好不等式的要點(diǎn)。（2）基本性質(zhì)實(shí)數(shù)大小比較的原理與實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則是不

3、等式性質(zhì)的依據(jù)。在不等式性質(zhì)中，最基本的是：①abbbbcac（傳遞性）③abacbc（數(shù)加）④（abc=0ac=bc）??)(00數(shù)乘???????????????cbcacbacbcacba?與等式相比，主要區(qū)別在數(shù)乘這一性質(zhì)上，對于等式a=bac=bc，不論c是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，都成立，而對于不等式ab，兩邊同乘以c?之后，ac與bc的大小關(guān)系就需對c加以討論確定。這關(guān)系即使記得很清楚，但在解題時(shí)最容易犯的毛病就是錯(cuò)用這一性質(zhì)，尤

4、其是需討論參數(shù)時(shí)。（3）基本性質(zhì)的推論由基本性質(zhì)可得出如下推論：推論1：ab0cd0acbd推論2：ab0cd0推論??cbda?3：ab0anbn(n∈N)推論4：ab0(n∈N)??nnba?對于上述推論可記住兩點(diǎn)：一是以上推論中abcd均為正數(shù)，即在x|x是正實(shí)數(shù)中對不等式實(shí)施運(yùn)算；二是直接由實(shí)數(shù)比較大小的原理出發(fā)。3.不等式的證明（1）作用地位證明不等式是數(shù)學(xué)的重要課題，也是分析、解決其他數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，特別是在微積分中，不等式

5、是建立極限論的理論基礎(chǔ)。高考中，主要涉及“ab0時(shí)，ab≥2”這類不等式，以及運(yùn)用不等式性質(zhì)所能完成的簡單的不等式的證明。用數(shù)學(xué)歸納法證明的與ab自然數(shù)有關(guān)命題的不等式難度較大。（2）基本不等式定理1：如果ab∈x|x是正實(shí)數(shù)，那么≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）定理2：如果abc∈x|x是正實(shí)數(shù)，那么2ba?ab≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))定理3：如果a、b∈x|x是正實(shí)數(shù)，那么≤≤≤（當(dāng)3cba??3abcba112?ab2

6、ba?222ba?實(shí)數(shù)，且xyz=xyz，則≥2()2。xzy?yxz?zyx?x1y1z1解（1）先考慮用作差證法∵x2y2z2－2(xyyzzx)=(x2y2－2xy)(y2z2－2yz)acb?bac?cba?abbabccb(z2x2－2zx)=(xy)2(y－z)2(z－x)2≥0∴x2y2z2≥2（xyyzzx）（2）caacabba?bccbcaacacb?bac?cba?采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法:所證不等式等價(jià)于x2y2z2()≥

7、2(xyyzzx)2xyz[yz(yz)zx(zx)xy(xy)]≥2(xyyzzx)xzy?yxz?zyx??2(xyz)(y2zyz2z2xzx2x2yxy2)≥2(x2y2y2z2z2x2)4(x2yzxy2zxyz2)y3zyz3z3xzx3x3yxy3≥2x2yz2xy2z2xyz2yz(y－z)2???zx(z－x)2xy(x－y)2x2(y－z)2y2(z－x)2z2(x－y)2≥0∵上式顯然成立∴原不等式得證。注（1）配

8、方技巧的實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵在于合理的分項(xiàng)，正是這種分項(xiàng)我們對（1）還可證明如下：x2y2z2=(x2y2)(y2z2)(z2x2)≥22acb?bac?cba?abbabccbcaac22yxbaab2≥2(xyyzzx)（2）的證法要害是：化分式為整式，活用條件，即用xyz代換xyz，以及配方技術(shù)。事實(shí)上，22zycbbc22xzacca這個(gè)代數(shù)不等式的實(shí)質(zhì)是如下三角不等式：在銳角△ABC中，求證：cotA(tanBtanC)cotB(tanC

9、tanA)cotC(tanAtanB)≥2(cotAcotBcotC)2例2證明若xyz∈R，且xyz=1，x2y2z2=，則xyz∈[0]。2132證法一由xyz=1，x2y2z2=，得：x2y2(1－x－y)2=整理成關(guān)于y的一元二次方程得：2y2－2(1－x)y2x2－2x－=0212121∵y∈R，故Δ≥04(1－x)2－42(2x2－2x－)≥0解之得：0≤x≤∴x∈[0]同理可得：yz∈[0]?21323232證法二設(shè)x=x

10、′，y=y′z=z′，則x′y′z′=0于是313131故，x′∈[－，]，x∈[0]，同理，yz∈[0]22222222222223312)(3131)(3231)31()31()31(21xzyxzyxzyxzyxzyx???????????????????????912?x31313232證法三反證法設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x0，=x2y2z2≥x2=x2=x2－x，矛212)(2zy?2)1(2x?232121盾。設(shè)x

11、yz三數(shù)中若有最大者大于，不妨設(shè)x，則：=x2y2z2≥x23232212)(2zy?=x2=x2－x=x(x－)，矛盾。故xyz∈[0]。2)1(2x?23212332212132注：本題證法甚多，最易接受的方法是證法一的判別式法，因?yàn)樵摲ㄋ悸访魑子诓僮?，技巧性不?qiáng)。不等式不等式(下)例3已知i、m、n是正整數(shù)，且1，所以即miAniniAmi（2）由二項(xiàng)式定理有nkn?mkm?iinnAiimmA(1m)n=1Cn1mCn2m2