探究凸四邊形的求積公式

1、=1=探究凸四邊形的求積公式擴(kuò)展的婆羅摩笈多公式和海倫公式〖內(nèi)容摘要〗若四邊形ABCD（如圖所示）邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，兩對(duì)角線長(zhǎng)分別為e、f，其夾角θ（θ＜90），求四邊形（四內(nèi)角均小于180的凸四邊形）的面積表達(dá)式。任意四邊形可分為凸四邊形和凹四邊形，任何凹四邊形均可變換成一個(gè)凸四邊形與一個(gè)平行四邊形的組合(如圖所示)，本文重點(diǎn)探索和研究凸四邊形的面積表達(dá)式。1、〖擴(kuò)展的婆羅摩笈多公式〗由三角形面積公式得：S四邊形＝(12)ad

2、sinA(12)bcsinCS2＝(14)(adsinA)2(14)(bcsinC)2(12)abcdsinAsinC＝(14)(a2d2b2c2)(14)(adcosA)2(14)(bccosC)2(12)abcdsinAsinC＝(14)(adbc)2(14)2abcd(14)(a2d2cos2A)(14)(b2c2cos2C)(12)abcdsinAsinC其中：因f2=a2d22adcosA=b2c22bccosC有：a2d2b

3、2c2=2adcosA2bccosC(a2d2b2c2)2=(2adcosA)2(2bccosC)28abcdcosAcosC得：4(adcosA)24(bccosC)2=(a2d2b2c2)28abcdcosAcosC代入時(shí)有:S2＝(14)(adbc)2(116)(a2d2b2c2)2(14)2abcd(12)abcdcosAcosC(12)abcdsinAsinCS2＝(14)(adbc)2(116)(a2d2b2c2)2(14)

4、2abcd(12)abcdcos(AC)＝(116)｛〔4(adbc)2(a2d2b2c2)2〕｝(12)abcd(12)abcdcos(AC)＝(116)｛〔4(adbc)2(a2d2b2c2)2〕｝(12)abcd｛1cos(AC)｝＝(116)｛〔2(adbc)(a2d2b2c2)〕〔2(adbc)(a2d2b2c2)〕｝=3=若四邊形的對(duì)角線為e、f，對(duì)角線夾角為θ時(shí)，則四邊形的面積S＝(12)efsinθ(此公式為四邊形的其本

5、面積公式之一)解：S四邊形＝(12)e1f1sinθ(12)f1e2sinθ(12)e2f2sinθ(12)f2e1)sinθ＝(12)(e1f1f1e2e2f2f2e1)sinθ＝(12)efsinθ〖特殊情形〗若四邊形的兩對(duì)角線相互垂直(sinθ＝1)時(shí)，四邊形的面積可以表達(dá)為兩對(duì)角線乘積一半。6、〖對(duì)角線夾角為θ的四邊形面積〗若四邊形的對(duì)角線夾角為θ時(shí)，則四邊形的面積S＝(14)│(a2b2c2d2)│tanθ證明：因：a2＝e1

6、2f122e1f1cos(180θ)b2＝f12e222f1e2cosθc2＝e22f222e2f2cos(180θ)d2＝f22e122f2e1cosθ得：a2b2b2d2＝2(e1f1f1e2e2f2f2e1)cosθ又因：(12)(e1f1f1e2e2f2f2e1)sinθ＝S四邊形所以：S＝(14)│(a2b2c2d2)│tanθ證畢。7、〖兩對(duì)角線長(zhǎng)為e、f的四邊形面積〗若四邊形的兩對(duì)角線為e、f時(shí)，則四邊形的(Bretsch

7、neide)面積公式：S＝(14)√｛4e2f2(a2b2c2d2)2｝(可視為海倫公式的推廣)證明：因：a2＝e12f122e1f1cos(180θ)b2＝f12e222f1e2cosθc2＝e22f222e2f2cos(180θ)d2＝f22e122f2e1cosθ得：a2b2b2d2＝2(e1f1f1e2e2f2f2e1)cosθ(a2b2b2d2)2＝4(e1f1f1e2e2f2f2e1)2cos2θ(a2b2b2d2)2＝4(