極限思想

1、極限思想極限思想極限的思想極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性

2、、導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學分析是一門什么學科”那么可以概括地說：“數(shù)學分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學科”。1.極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展（1）極限思想的由來.與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法

3、——歸謬法來完成了有關的證明。到了16世紀，荷蘭數(shù)學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”。（2）極限思想的發(fā)展極限思想的進一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術中大量的問題，只用初等數(shù)學的方法已無法解決，要求數(shù)學突破只研究常

4、量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時間的改變量Δt之比ΔS／Δt表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數(shù)概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和

5、量之比，如果在有限時間內不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限”。這種描述性語言，人們容易接受，現(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，

6、不能作為科學論證的邏輯基礎。這個定義，借助不等式，通過ε和N之間的關系，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數(shù)學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。眾所周知，常量數(shù)學靜態(tài)地研究數(shù)學對象，自從解析幾何和微積分問世以后，運動進入了數(shù)學，人們有可能對物理過程進行動態(tài)研究。之后

7、，維爾斯特拉斯建立的ε－N語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢。這種“靜態(tài)——動態(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學發(fā)展的辯證規(guī)律。2.極限思想的思維功能極限思想在現(xiàn)代數(shù)學乃至物理學等學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學領域中的應用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，

8、從近似認識精確。無限與有限有本質的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來認識無限的?！白儭迸c“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是“數(shù)學科學的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內用勻速代替變速，并求其平均速度，把

9、瞬時速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來認識“變”的。曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種對立統(tǒng)一關系是處理數(shù)學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來認識曲線形的。量

10、變和質變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關系。量變能引起質變，質和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數(shù)加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。這就是借助于極限的思想方法，從量變來認識質變的。近似與精確是對立統(tǒng)一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數(shù)學應用于實際