數(shù)學中的極限思想及其應用

1、摘要：本文對數(shù)學極限思想在解題中的應用進行了詮釋，詳細介紹了數(shù)學極限思想在 幾類數(shù)學問題中的應用，如在數(shù)列中的應用、在立體幾何中的應用、在函數(shù)中的應用、在三角函數(shù)中的應用、在不等式中的應用和在平面幾何中的應用，并在例題中比 較了數(shù)學極限思想與一般解法在解題中的不同。靈活地運用極限思想解題，可以避開抽象、復雜的運算，優(yōu)化解題過程、降低解題難度。極限思想有利于培養(yǎng)學生從運 動、變化的觀點看待并解決問題。關鍵詞：極限思想，應用Abstract

2、: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid

3、 geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a

4、 common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce diffi

5、culty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.Keywords: the limit idea，application 21 緒 論極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念如函數(shù)的

6、連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等等都是借助極限來定義的。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可 概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結果。隨著高中課程的改革，高考中將加強對極限思想的考查，通過一些創(chuàng)新題，讓學生感受其 中蘊含的極限思想。在解決數(shù)學問題的過程中，有些題目雖然和極限無關，但若 運用變化的觀

7、點，靈活地用極限思想來思考，往往可以降低解題難度。本文就數(shù)學極限思想在解決幾類數(shù)學問題的應用進行了探究，用無限逼近的方式從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變。1.1 研究意義極限思想作為一種重要思想，在整個數(shù)學發(fā)展史上占有重要地位。極限思想在現(xiàn)代數(shù)學乃至物理學中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關系。用極限思想解決問題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡，拓寬

8、考慮問題的思路，為數(shù)學問題的順利解決提供較 大的幫助。1.2 國內外研究現(xiàn)狀由于數(shù)學中的極限思想對學生數(shù)學思維方法培養(yǎng)的重要性，因此數(shù)學極限思想的 相關問題一直受到國內外眾多學者的關注。如為了引起廣大師生對極限思想廣泛關注 和高度重視，茍玉德和董玉武在 2006 年給出了《滲透極限思想，優(yōu)化解題過程》 ，說明了利用極限思想，把問題放置于極限狀態(tài)，能提高解題能力；2007 年劉明遠給出了 《極限思想在解題中的應用》 ，通過列舉極限在函數(shù)、

9、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式和解析幾何中的應用說明極限思想對于優(yōu)化解題過程，降低解題難度的重要作用；孫道斌于 2007 年發(fā)表了《利用極限思想巧解立幾問題》 ，列舉了極限思想在解決一些立體幾何選 擇題的范例；2005 年黃加衛(wèi)給出了《極限思想在數(shù)列中的幾個“閃光點” 》,認為極限是微積分中最基本、最主要的概念，同時列舉了極限思想在解決等比數(shù)列問題和數(shù)列 證明中的幾個范例；2007 年徐素琳給出了《極限思想的妙用》 ，認為極限思想即運用“化整為