非線性期望下的極限理論及其在金融中的應(yīng)用.pdf

1、對非線性期望空間中極限理論的研究，一方面源于近些年人們對數(shù)量經(jīng)濟(jì)、金融風(fēng)險度量和量子力學(xué)等領(lǐng)域中不確定性和模糊問題的思考，另一方面也是經(jīng)典線性概率論與數(shù)理統(tǒng)計中基礎(chǔ)理論研究發(fā)展的一個趨勢。
　　自從20世紀(jì)現(xiàn)代意義的金融衍生品誕生以來，風(fēng)險便再也沒有離開過金融市場。無論是盛極一時的長期資本管理公司(Long Term Capital Management)的曇花一現(xiàn)，還是擁有著百年歷史的雷曼兄弟(Lehman Brothers)的

2、轟然倒塌，都與充滿著不確定性的金融風(fēng)險息息相關(guān)。早在1921年，Knight(1921)就對金融市場中傳統(tǒng)意義上的風(fēng)險進(jìn)行了區(qū)分，一類來源于可以計量的不確定性，即市場參與者對刻畫金融產(chǎn)品的概率分布有廣泛的共識，這種不確定性稱之為Knight意義下的風(fēng)險(Knightian Risk);另一類來源于不可計量的不確定性，即風(fēng)險管理者們不能把握金融產(chǎn)品確切的概率分布，或者市場參與者們對金融產(chǎn)品持有一族不同概率測度P，這種不確定性稱為Knigh

3、t不確定性(Knightian Uncertainty)或者模糊(Ambiguity)。對于模糊的研究，一直是經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的一個重要問題，比如Ellsberg(1961)中著名的Ellsberg悖論，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者的工作Hansen，Sargent和Tallarini(1999)，Hansen和Sargent(2001)中借助模糊對宏觀經(jīng)濟(jì)的討論，以及在資本市場價格行為領(lǐng)域里Epstein和Wang(1994)，Chen和Ep

4、stein(2002)對資產(chǎn)定價理論的研究。研究中人們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典概率論中對于概率和期望的線性假設(shè)已經(jīng)難以刻畫風(fēng)險行為的次線性本質(zhì)。
　　針對這些問題，Peng(1997)在倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)的基礎(chǔ)上提出了一項(xiàng)全新的非線性期望——g-期望，對金融中很多不確定性問題做出了合理的解釋。另一方面Artzner，Delbaen，Eber和Heath(1999)從金融數(shù)學(xué)的角度引入了一致風(fēng)險度量(Coherent Risk Meas

5、ure)的概念，即賦予在未定權(quán)益X上的一個次線性泛函ρ(X)，其本質(zhì)就是次線性數(shù)學(xué)期望。實(shí)際上，研究風(fēng)險的次線性行為就是研究次線性期望，而在不確定性環(huán)境下，次線性期望也給人們評估金融風(fēng)險提供了一個穩(wěn)健的方法。
　　然而在以往借助g-期望或一致風(fēng)險度量對金融問題的研究中，通常都是對有限個金融產(chǎn)品的組合在給定的一段時間上進(jìn)行討論，比如Barrieu和Karoui(2004)，Chen和Kulperger(2006)，Biagini，F(xiàn)

6、ouque，F(xiàn)rittelli和Meyer-Brandis(2015)。隨著大數(shù)據(jù)時代金融數(shù)據(jù)爆炸式的激增，和對未來金融風(fēng)險預(yù)測需求的加劇，如何在不確定的環(huán)境下利用這些穩(wěn)健的工具對金融市場中未定權(quán)益的極限行為進(jìn)行評估，便成為一個有趣的問題。
　　另一方面，除了能夠恰如其分的對金融和經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行解釋之外，非線性期望和容度也有非常重要的理論價值。實(shí)際上早在1953年，Choquet(1953)就首次引入了容度(Capacity)和Ch

7、oquet積分的概念，這是經(jīng)典線性概率論的一個重要發(fā)展;受到隨機(jī)集的啟發(fā)，Dempster(1967)用不同的方式定義了上下概率和相應(yīng)的期望;在g-期望的基礎(chǔ)上，Peng(2010)進(jìn)一步引入了一個更加一般的次線性期望框架——G-期望。特別的，這些非線性期望空間中的極限理論，作為經(jīng)典概率論基礎(chǔ)理論的重要發(fā)展和延續(xù)，一直是學(xué)者們關(guān)心和研究的一個熱點(diǎn)，相關(guān)的工作請參見Walley和Fine(1982)，Dow和W-erlang(1994),

8、 Marinacci(1999), Epstein和Schneider(2003), Maccheroni和Marinacci(2005), Cooman和Miranda(2008), Chen和Wu(2011), Chen, Wu和Li(2013), Teran(2013)，Zhang(2014)，Chen和Chen(2014)。這些學(xué)者們在不同的空間中利用不同的假設(shè)條件得到了許多有意義的結(jié)果，然而如何對他們的假設(shè)條件進(jìn)行弱化，給出一

9、般次線性期望空間下的極限定理也是一個很有意義的問題。
　　針對上述問題，本篇博士論文主要進(jìn)行了下列研究工作，得到的結(jié)果是比較有趣和有創(chuàng)新性的:
　　1、從一個金融問題出發(fā)，借助g-期望的性質(zhì)研究了股票價格在Knight不確定性環(huán)境下的極限行為，并將方法推廣到一族不連續(xù)概率測度的最大期望生成的次線性期望空間中。
　　2、對g-期望空間中布朗運(yùn)動的極限理論進(jìn)行了深入的研究，首次發(fā)現(xiàn)了一般次線性期望空間和g-期望空間的極限關(guān)

10、系，給出了聯(lián)結(jié)兩個次線性空間的大數(shù)定律，這是一個很有創(chuàng)新性的結(jié)果，由此我們得到了一般次線性期望空間中隨機(jī)變量不同形式的大數(shù)定律及其相互等價條件，隨后將研究結(jié)果應(yīng)用到某些實(shí)際的金融風(fēng)險度量問題中，同時對股票價格的極限行為也有了更深的理解。
　　3、借助次線性期望下的極限理論對數(shù)論中若干著名的猜想進(jìn)行了討論和再認(rèn)識，首次在容度意義下給出了部分支持性結(jié)論。雖然隨機(jī)框架下的證明并不意味著數(shù)論猜想的解決，但鑒于概率論中某些極限定理的最初思想

11、正是來源于數(shù)論，我們認(rèn)為，這種討論和再認(rèn)識作為概率論對數(shù)論的一種回歸也是一個非常有趣的問題。
　　4、進(jìn)一步研究了G-期望空間中的大數(shù)定律，最后我們將經(jīng)典隨機(jī)分析中的某些方程平穩(wěn)性和收斂問題推廣到了G-隨機(jī)分析的框架下。
　　下面我們就來介紹下每章的工作，這些結(jié)果由我在博士期間完成的7篇論文整合而成，其中2篇已經(jīng)在SCI期刊上正式發(fā)表。
　　第一章我們從一個金融問題出發(fā)，在Chen和Epstein(2002)的框架下，

12、研究了金融市場中基礎(chǔ)證券—股票的價格在Knight不確定性環(huán)境下的極限行為，首次得到了g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εκ，Pκ）中股票價格的大數(shù)定律。隨后我們將該方法推廣到由最大期望EP=supP∈P EP生成的次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，P，EP）中，給出了一列指數(shù)獨(dú)立隨機(jī)變量的大數(shù)定律，與g-期望空間不同的是，概率測度族P中的概率不再絕對連續(xù)。
　　1.1 Knight不確定性環(huán)境下股票價格的大數(shù)定律
　　本章中，以下列幾何布朗運(yùn)動

13、表示金融市場中的股票價格:dSt=hStdt+σStdBt, t≥0,(0.0.1)其中h，σ≥0為常數(shù)，S0為正值隨機(jī)變量。
　　定義1.與Chen和Epstein(2002)一樣，我們引入下列概率測度族來描述金融市場中的Knight不確定性環(huán)境，即Pκ:={Qv:dQv/dP=exp（-1/2∫n0v2rdr+∫n0vrdBr），|vr|≤k，a.e.r∈[0，h]}.常數(shù)k用來表示市場中模糊性的程度，被記為κ-忽略(Igno

14、rance)。定義概率測度族Pκ的最大概率和最小概率為Pκ(A):=supQv∈Pκ Qv(A)和Pκ(A):=infQv∈PκQv(A)。(Pκ，Pκ)實(shí)際上為倒向隨機(jī)微分方程在生成元函數(shù)g(t，y，z)=k|z|時誘導(dǎo)的一對g-風(fēng)險容度，不具有線性的可列可加性。同時由于g-期望和g-容度的時間一致性，我們對上述定義中的符號不做時間上的區(qū)分。
　　定理1.令{Si}∞i=1為股票價格過程(0.0.1)在時刻t=1，2,...的值

15、，記(S)n=log Sn-1og S0，且(κ):=h-1/2σ2+kσ和(κ):=h-1/2σ2-kσ，則對任意的ε＞0有l(wèi)im n→∞ Pκ（(S)n/n≥(κ)+ε）=0， lim n→∞ Pκ（(S)n/n≤(κ)-ε）=0，和lim n→∞Pκ((κ)-ε＜(S)n/n＜(κ)+ε=1.
　　在市場中，波動率一般是正的，但我們依然給出對σ≤0的數(shù)學(xué)結(jié)果。
　　推論1.當(dāng)σ＜0時，令{Si}∞i=1為隨機(jī)微分方程(

16、0.0.1)的解在t=1，2,...的值，記Sn=log Sn-log S0，則對任意的ε＞0有l(wèi)im n→∞Pκ（(S)n/n≥(κ)+ε）=0， limn→∞ Pκ（(S)n/n≤(κ)-ε）=0，和limn→∞ Pκ-ε((κ)-ε＜(S)n/n＜(κ)+ε=1.
　　推論2.當(dāng)σ=0時，記(S)n=log Sn-log S0，則對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞ Pκ（|(S)n/n-h|＜ε）=1.
　　下列結(jié)果給出了K

17、night不確定性環(huán)境下股票價格在無窮時刻的一個穩(wěn)健的區(qū)間估計。
　　定理2.對任意的ε＞0，
　　1.當(dāng)σ≥0時，有l(wèi)imn→∞Pκ（e（h-1/2σ2-kσ-ε）n+logS0＜Sn＜e(h-1/2σ2+kσ+ε)n+logS0)=1.
　　2.當(dāng)σ＜0時，有l(wèi)imn→∞Pκ（e（h-1/2σ2+kσ-ε）n+log S0＜Sn＜e（h-1/2σ2-kσ+ε）n+logS0）=1.
　　1.2股票價格的大數(shù)定

18、律在一般次線性期望空間中的推廣
　　我們將定理1的方法推廣到更一般的次線性期望空間中，首先在g-期望空間中考慮下列更為一般的方程形式Xt=X0+∫t0 b（r，Xr）dr+∫t0σ（r，Xr）dBr，0≤t，Yt=ξ+∫Tt g（r，Yr，Zr）dr-∫Tt Zr·dBr，0≤t≤T.
　　定理3.考慮上述FBSDE系統(tǒng)，若其中g(shù)函數(shù)與y無關(guān)，且對z具有次可加性和正齊次性。記εg和（Pg，Pg）為相應(yīng)的g-期望與g-容度。令

19、(S)b=∑ni=1(X)i=∑ni=1（ψi（Xi）-ψi-1（Xi-1）），若存在可測函數(shù)ψi使得對任意的i∈N+有εg[(X)i]=εg[(X)1]和-εg[-(X)i]=-εg[-(X)1]，且εg[(X)2i]＜∞，則對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞ Pg((S)n/n≥εg[(X)1]+ε）=0，limn→∞ Pg（(S)n/n≤-εg[-(X)1]-ε）=0，和lim n→∞Pg(-εg[-(X)1]-ε＜(S)n/n＜εg[

20、(X)1]+ε=1.
　　在g-期望框架下，Pκ中的概率測度是絕對連續(xù)的。對更為一般的非空概率測度集合P，考慮由最大期望EP[X]:=supP∈P EP[X]生成的次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，P，EP）。
　　定義2.（指數(shù)獨(dú)立）在次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，P，EP）中，若對指數(shù)函數(shù)ψ(x)=ex，有EP[ψ(X+Y)]=EP[EP[ψ(x+Y)]x=X]，稱隨機(jī)變量Y在EP[·]下指數(shù)獨(dú)立于X。相應(yīng)的，若對任意的i=1，2，…，

21、Xi+1指數(shù)獨(dú)立于∑j=1 Xj，則稱一列隨機(jī)變量{Xi}∞i=1滿足指數(shù)獨(dú)立。
　　指數(shù)獨(dú)立實(shí)際上是經(jīng)典概率論中負(fù)相關(guān)概念在次線性期望空間下的延伸，可見第一章注記1.10的討論。在指數(shù)獨(dú)立條件下我們有下列大數(shù)定律:
　　定理4.假若{Xi}∞i=1為次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，P，EP）中一列指數(shù)獨(dú)立的隨機(jī)變量，若對某些α＞0，有supi∈N+EP[|Xi|1+α]＜∞，EP[Xi]=(μ)和-EP[-Xi)=μ。記Sn=∑n

22、i=1 Xi，并且VP(A):=supP∈P P(A)，vP(A):=infP∈P P(A)為相應(yīng)的上下容度。則對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞VP（Sn/n≥(μ)+ε)=0，limn→∞VP（Sn/n≤(μ)-ε）=0，和limn→∞ vP((μ)-ε＜Sn/n＜(μ)+ε)=1.
　　第二章本章的工作分為兩大部分，受第一章啟發(fā)，我們對g-期望空間下布朗運(yùn)動的極限理論進(jìn)行了深入的研究，得到了布朗運(yùn)動兩種形式的大數(shù)定律，及其大偏差原

23、理和中心極限定理。另一方面，與以往極限理論研究中只針對一個空間不同，我們首次發(fā)現(xiàn)了一般次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E）和g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）的極限關(guān)系，給出了聯(lián)結(jié)兩個空間的大數(shù)定律，這意味著（Ω，F(xiàn)，E）中∑ni=1Xi/n的極限行為都可以由（Ω，F(xiàn)，εg）下布朗運(yùn)動的均值Bn/n來進(jìn)行研究。借助后者的性質(zhì)，我們給出（Ω，F(xiàn)，E）中卷積獨(dú)立隨機(jī)變量多種形式的大數(shù)定律及其相互等價條件。
　　與第一章不同的是，本章的次線性期望E不

24、需要是一族概率生成的最大期望，且隨機(jī)變量的獨(dú)立假設(shè)更為一般，因此證明方法也完全不同。隨后我們將研究結(jié)果應(yīng)用到某些實(shí)際的金融風(fēng)險度量情形中，同時對股票價格的極限行為也有了更深的理解。
　　2.1 g-期望空間下布朗運(yùn)動的極限理論
　　定義3.考慮（Ω，F(xiàn)，P）中兩個倒向隨機(jī)微分方程:Yt=ξ+∫Tt((μ)Z+r-(μ)Z-r)dr-∫Tt ZrdBr,0≤t≤T,(0.0.2)和(Y)t=ξ+∫Tt（(μ)(Z)+r-(μ)

25、(Z)-r）dr-∫Tt(Z)rdBr,0≤t≤T，(0.0.3)其中μ≤(μ)。上述兩個倒向隨機(jī)微分方程誘導(dǎo)的g-期望和g-容度分別記為（εg，Pg）和（(ε)g，Pg）。由于g-期望和g-容度的時間一致性，和第一章一樣我們對符號不做時間上的區(qū)分。
　　引理1.εg[ξ]=-(ε)g[-ξ],ξ∈L2(Ω，F(xiàn),P).
　　由引理1，記（Ω，F(xiàn),εg）為倒向隨機(jī)微分方程(0.0.2)和(0.0.3)誘導(dǎo)的g-期望空間，其中(

26、Pg，Pg)為空間中的上下g-容度。下邊我們介紹（Ω，F(xiàn)，εg）中布朗運(yùn)動的兩條大數(shù)定律，及其大偏差原理和中心極限定理。
　　定理5.在g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）中，我們有下列期望形式的大數(shù)定律，即對任意的函數(shù)ψ∈Ct(R)，limn→∞εg|ψ（Bn/n）]=supμ≤x≤(μ)ψ(x).
　　定理6.記Pg為倒向隨機(jī)微分方程(0.0.3)誘導(dǎo)的g-容度，即Pg(A)=εg[IA]=-εg[-IA]。則對于任意的ε＞0，

27、有l(wèi)im n→∞Pg((μ)-ε＜Bn/n＜(μ)+ε）=1.
　　定理7.在g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）中，下列兩條大數(shù)定律相互等價:
　　1.對于任意的ε＞0，有l(wèi)imn→∞ Pg（(μ)-ε＜Bn/n＜(μ)+ε）=1.
　　2.對任意的函數(shù)ψ∈Cb(R)，有l(wèi)im n→∞εg[ψ（Bn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　定理8.記Pg和Pg分別為g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）中的上下g-容度，

28、即Pg(A)=εg[IA]和Pg(A)=(ε)g[I]=-εg[-IA]，則布朗運(yùn)動有下列的大偏差原理:
　　1.對任意的x＞(μ)，lim n→∞1/nlogPg（Bn/n≥x）=-(x-(μ)2/2，
　　2.對任意的x＜(μ)，limn→∞1/n logPg（Bn/n≤x）=-(x-(μ))2/2，
　　3.對任意的x＜(μ)，limn→∞1/n log Pg(Bn/n＜x)=-(x-(μ))2/2，
　　

29、4.對任意的x＞(μ)，lim n→∞1/nlog Pg（Bn/n＞x）=-(x-(μ))2/2.
　　定理9.在g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）中，布朗運(yùn)動有下列的中心極限定理，即對任意的x∈R:lim n→∞Pg(Bn-(μ)n/√n＞x=lim n→∞Pg(Bn-(μ)n/√n＞x)=1-φ(x),和lim n→∞Pg(Bn-(μ)n/√n≤x=lim n→∞Pg(Bn-(μ)n/√n≤x)=φ(x),其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

30、的概率分布函數(shù)。
　　2.2一般次線性期望空間與g-期望空間的極限關(guān)系
　　定義4.考慮可測空間（Ω，F(xiàn)），記H為其上隨機(jī)變量的集合。如果可測空間（Ω，F(xiàn)，H）上的泛函E:H→（-∞∞，+∞）滿足下列四條性質(zhì)，稱E為一個次線性期望，即
　　1.單調(diào)性:E[X]≥E[Y]若X≥Y;
　　2.保常性:E[c]=c若c為常數(shù);
　　3.次可加性:E[X+Y]≤E[X]+E[Y];
　　4.正齊次性:E[λX

31、]=λE[X]若常數(shù)λ≥0.
　　稱(Ω，F(xiàn),E)為次線性期望空間。對給定的次線性期望E，定義其相應(yīng)的對偶期望為ε[X]=-E[-X]，相應(yīng)的一對伴隨容度分別為V(A)=E[IA]，v(A)=ε[IA]，A∈F,這里的次線性期望E比第一章中的EP更為一般，不必是一族概率生成的最大期望的形式。
　　定義5.（卷積獨(dú)立）在次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E）中，若對給定的函數(shù)ψ有E[ψ(X+Y)]=E[E[ψ(x+Y)]|x=X]，則稱

32、隨機(jī)變量Y∈H關(guān)于ψ在次線性期望E下卷積獨(dú)立于X∈H。相應(yīng)的，若對任意的i=1，2，…，Xi+1關(guān)于ψ卷積獨(dú)立于∑ij=1Xj，則稱一列隨機(jī)變量{Xi}∞i=1(C)H在次線性期望E下滿足關(guān)于ψ的卷積獨(dú)立。
　　次線性期望下卷積獨(dú)立的思想，源于經(jīng)典概率論中比獨(dú)立還要弱的卷積關(guān)系，也進(jìn)一步放寬了Peng(2010)中隨機(jī)變量在G-期望下的獨(dú)立性假設(shè)，詳細(xì)的分析請參見第二章的注記2.4，注記2.5和注記2.6。
　　定理10.（

33、兩個空間的極限關(guān)系）考慮次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E），若空間中的一列隨機(jī)變量{Xi}∞i=1對任意的ψ∈C2b(R)在次線性期望E下滿足關(guān)于ψ的卷積獨(dú)立，且有相同的一階矩，即E[Xu]=(μ)，ε[Xi]=(μ)并且有supi∈N+E[|Xi|2]＜∞。記Sn:=∑ni=1 Xi，εg為倒向隨機(jī)微分方程(0.0.2)誘導(dǎo)的g-期望，則對任意的ψ∈Cb(R)，有l(wèi)imn→∞|E[ψ(Sn/n)]-εg[ψ(Bn/n)]|=0.
　　

34、定理10意味著一般次線性期望空間（Ω，F(xiàn),E）中∑ni=1Xi/n的極限行為都可以通過g-期望空間（Ω，F(xiàn)，εg）下布朗運(yùn)動均值Bn/n來進(jìn)行研究，則結(jié)合g-期望的有關(guān)性質(zhì)，我們可以得到下列一般次線性期望空間下隨機(jī)變量的大數(shù)定律。
　　定理11.{Xi}∞i=1為滿足定理10假設(shè)條件的一列隨機(jī)變量，記Sn:=∑ni=1 Xi，則對任意的ψ∈Cb(R)，有l(wèi)imn→∞ E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).

35、　　定理12.{ Xi}∞i=1為次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E）中的一列隨機(jī)變量，對任意非負(fù)單調(diào)的ψ∈C2b(R）在次線性期望E下滿足關(guān)于ψ的卷積獨(dú)立，且E[Xi]=(μ)，ε[Xi]=(μ),supi∈N+E[|Xi|2]＜∞。v為給定次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E）中的伴隨容度，即v(A)=ε[IA]，則對任意的ε＞0，limn→∞ v((μ)-ε＜1/nn∑i=1Xi＜(μ)+ε）=1.
　　由于獨(dú)立性條件和期望的定義不同，定理1

36、2與第一章的定理4雖然結(jié)果形式相似，但并不相互包含，其證明方法也截然不同。下列定理給出了次線性期望空間中三條大數(shù)定律等價的一個充分條件。
　　定理13.給定次線性期望空間（Ω，F(xiàn)，E），{Xi}∞i=1(C)H為空間中一列隨機(jī)變量，對任意的ψ∈C+b(R）滿足E下的卷積獨(dú)立，且E[Xi]=(μ)，ε[Xi]=(μ),supi∈N+N|Xi|2]＜∞。記Sn:=∑ni=1 Xi，v(A)=ε[IA]，A∈F。下列的三條大數(shù)定律相互等

37、價:
　　Ⅰ.對任意的函數(shù)ψ∈Cb(R)，lim n→∞|E[ψ（Sn/n）]-εg[ψ（Bn/n）]=0.
　　Ⅱ.對任意的ε＞0，lim n→∞v((μ)-ε＜Sn/n＜(μ)+ε）=1.
　　Ⅲ.對任意的函數(shù)ψ∈Cb(R)，lim n→∞ E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　我們還給出了本章結(jié)果對某些一致風(fēng)險度量的應(yīng)用，也得到了對股票價格極限行為的一些更深的理解，請參見§2.2.5

38、節(jié)和§2.5節(jié)。
　　第三章本章的工作也分為兩大部分，第一部分在G-期望框架下，借助G-BSDE引入了一類新的不具有次可加性的非線性期望，并給出了此期望下的一個大數(shù)定律。第二部分，運(yùn)用次線性期望極限理論的思想，對數(shù)論中若干著名猜想進(jìn)行了討論和再認(rèn)識，在容度意義下給出了部分支持性結(jié)論。
　　3.1 G-期望空間中的大數(shù)定律
　　本章的研究是在Peng(2010)提出的G-期望框架下進(jìn)行的。下列收斂性結(jié)果實(shí)際上是定理15的

39、引理，其本身也可以看成是隨機(jī)變量在次線性期望空間下的一個p階大數(shù)定律。
　　定理14.{Xi}∞i=1為次線性期望空間（Ω，H，E）中的一列R-值隨機(jī)變量，且{Xi}∞i=1(∈)LPG(Ω)，p∈N，若Xi+1d=Xi，Xi+1獨(dú)立于{X1，…，Xi}，i=1，2，…，且有E[X1]=-E[-X1]。記Sn:=∑ni=1Xi，則當(dāng)n→∞，E[（Sn/n-E[X1]）p]→0.
　　定義6.考慮下列G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的倒向隨機(jī)

40、微分方程(G-BSDE)，YT,ξt=ξ+∫Ttf(s，YT,ξs,ZT,ξs)ds+∫Ttg(s,YT,ξs,ZT,ξs)ds-∫TtZT,ξsdBs-(KT,ξT-KT,ξt),(0.0.4)令ECt[ξ]:=YT,ξt，特別的，當(dāng)t=0時，我們有由G-BSDE誘導(dǎo)的非線性數(shù)學(xué)期望EG[ξ]。
　　下邊我們給出這個非線性期望下的一個大數(shù)定律。
　　定理15.{Xi}∞i=1為（Ω，H，E）中的一列R-值隨機(jī)變量，且

41、{Xi}∞i=1(∈)L2G（ΩT）。假設(shè)對任意的i=1，2，…，Xi+1d=Xi且Xi+1獨(dú)立于Xi，…，X，且有E[X1]=-E[-X1]。今Sn:=∑ni=1Xi，則對任意的ψ∈Cb，Lip(R)，有l(wèi)imn→∞EG[ψ（Sn/n）]=EG[ψ(E[X1])].
　　3.2借助次線性期望極限理論對數(shù)論猜想的再認(rèn)識
　　定義7.M(o)bius函數(shù)是定義在正整數(shù)上的如下函數(shù)，即
　　μ（n）={1若n為無平方因子數(shù)

42、，且有偶數(shù)個素因子，-1若n為無平方因子數(shù)，且有奇數(shù)個素因子，0若n為非無平方因子數(shù)。
　　數(shù)論中Mertens函數(shù)定義為M(N)=∑Nn=1μ(n)，Mertens函數(shù)在黎曼猜想的研究中有非常的重要的意義，例如在數(shù)論中有下列非常著名的黎曼猜想的等價命題:
　　命題1.令ζ(s）表示Riemann-Zeta函數(shù)，則下列的兩條猜想等價:
　　1.對所有的ε＞0，存在一個常數(shù)Cε使得|M(N)|≤ CεN1/2+ε。

43、>　　2.（黎曼猜想）若ζ(s)=0對某些實(shí)部滿足0＜ Re(s)＜1的s成立，則Re(s)=1/2。
　　由于M(o)bius函數(shù)在數(shù)論中具有特殊的隨機(jī)性，參見注記3.7、注記3.8和§3.2.3節(jié)的討論，我們將μ(n)，n=1，2，3…看作一個次線性期望空間（Ω，F(xiàn),P，E）下一列IID的隨機(jī)變量，（V，v）分別為概率測度族P的上下容度，則我們在次線性期望空間下對Mertens函數(shù)有如下估計:
　　定理16.記M(N)=

44、∑Nn=1μ（n），則有M(N)=O(√N(yùn)loglogN) q.s.v.
　　定理17.若{bN}為一列非負(fù)的遞增數(shù)列，且N1/2/bN→0，則對任給的ε＞0，有l(wèi)imN→∞ v(|M(N)|≤εbN)=1.
　　推論3.對任意的ε＞0，存在常數(shù)Cε＞0，使得Mertens函數(shù)有形如命題l中的下列估計，lim N→∞v(|M(N)|≤CεN1/2+ε）=1.
　　注記1.考慮到對任意的ε＞0，存在一個常數(shù)Cε使得√lo

45、glogN＜CεNε，結(jié)合命題1,上述三條結(jié)論表明黎曼猜想在容度v的意義下成立，即在隨機(jī)意義下為黎曼猜想成立提供了支持性結(jié)論。值得一提的是次線性期望的討論框架，比以往概率數(shù)論中對μ（n）的假設(shè)更加合理，請參見注記3.6，注記3.7和注記3.8。
　　注記2.Good和Churchhouse(1968)提出了下列關(guān)于Mertens函數(shù)的猜想，一直沒有得到證明或否定，即limn→∞ sup M(N)/√N(yùn)loglogN=√12/π.結(jié)

46、合定理16，我們認(rèn)為這個猜想的正確性在很大程度上值得懷疑。
　　注記3.Odlyzko和te Riele(1985)中提出了另一個關(guān)于Mertens函數(shù)的猜想，即lim supN→∞|M(N)|/√N(yùn)=∞.我們給出了這個估計在容度意義下成立的結(jié)論，即定理18。
　　定理18.記M(N)=∑Nn=1μ（n），則有v(lim supN→∞|M(N)|/√N(yùn)）=∞)=1.
　　第四章本章將一些經(jīng)典的結(jié)果推廣到了G-期望的框架

47、下，研究了G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程(G-SDE)的均方概周期解及其平穩(wěn)性質(zhì)，討論了G-SDE在容度下的漸近穩(wěn)定性和G-BSDE的解關(guān)于系數(shù)的穩(wěn)定性。
　　4.1 G-SDE的均方概周期解及其漸近穩(wěn)定性
　　定理19.考慮下列G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程,dXt=AXtdt+F(t,Xt)dt+G(t，Xt)dt+H(t,Xt)dBt， t∈R,(0.0.5)若系數(shù)滿足§4.1.2節(jié)中假設(shè)(H1)和(H2)，且有

48、3K2L1/λ2+3(σ)4K2L2/λ2+3(σ)2K2 L3/2λ＜1,則G-SDE(0.0.5)存在唯一的均方概周期溫和解。
　　例子1.考慮下列具備Dirichlet條件的一維G-SDE，du(t,x)=(e)2u(t,x)/(e)x2 dt+sin(u(t,x))sintdt+sin(u(t,x))costdt+ u(t,x)sin tdBt,(t,x)∈R×(0,1),(0.0.6)u(t，0)=u(t，1)=0

49、， t∈R.令A(yù)x(r)=x"(r),r∈(0,1),x∈D(A),其中D(A)={x∈C1[0，1]| x'(r)在[0，1]上絕對連續(xù)，x"∈L2[0，1]，x(0)=x(1)=0}.容易驗(yàn)證G-SDE(0.0.6)滿足§4.1.2節(jié)中假設(shè)(H1)和(H2)，則由定理19可知其存在唯一的均方概周期溫和解。
　　定理20.若方程(0.0.5)滿足定理19的條件，且有K2L1/λ2+(σ)4K2L2/λ2+(σ)2K2L3/λ＜1

50、/4,則其唯一的均方概周期溫和解X*t在均方意義下漸近穩(wěn)定。
　　4.2 G-SDE在容度下的漸近穩(wěn)定性
　　定理21.考慮下列G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程Xt=x0+∫t0 b(Xs，s)ds+∫t0σ(Xs，s)dBs， t≥0,(0.0.7)若存在正定函數(shù)V(x，t)∈C2，1（Sh×[0,∞））使得對任意的(x，t)∈Sh×[0，∞）有(e)tV(x，t)+b(x，t)(e)xV(x，t)+1/2σ2(x，t)((

51、σ)2((e)2xxV(x，t))+-(σ)2((e)2xxV(x，t))-）≤0則G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v隨機(jī)穩(wěn)定。
　　定理22.若存在正定漸減函數(shù)V(x，t)∈C2，1（Sh×[0，∞））使得(e)tV(x，t)+b（x，t)(e)xV（x，t)+1/2σ2（x，t)（(σ)2（(e)2xxV(x，t)）+-(σ)2（(e)2xxV(x，t))-）為負(fù)定的，則方程(0.0.7)的平凡解在容度V意義下隨機(jī)漸近穩(wěn)

52、定。
　　定理23.若存在正定漸減徑向無界的函數(shù)V(x,t)∈C2，1(R×[0，∞））使得(e)tV(x,t)+b(x，t)(e)xV(x，t)+1/2σ2(x，t)((σ)2((e)2xxV(x，t))+-(σ)2((e)2xxV(x，t))-）為負(fù)定的，則方程(0.0.7)的平凡解在容度V意義下隨機(jī)充分漸近穩(wěn)定。
　　注記4.在上述三個定理的證明中考慮下列函數(shù)L(x，t):=(e)tV(x，t)+b(x，t)(e)xV

53、(x，t)+(σ)2(1/2(e)2xxV(x，t)σ2(x，t)+(e)xV（x，t)h(x,t)）+-σ2(1/2(e)2xxV(x,t)σ2(x,t)+(e)xV(x,t)h(x,t))-，可以將結(jié)果推廣到下列h≠0的G-SDE，Xt=x0+∫t0b(Xs，s)ds+∫t0 h（Xs，s）ds+∫t0σ(Xs，s)dBs， t≥0.
　　例子2.考慮G-SDE(0.0.7)，假設(shè)系數(shù)在x=0的一個小鄰域中對t一致滿足如

54、下條件b(x，t)=f(t)x+o(|x|)，σ(x，t)=g(t)+o(|x|)，其中f(t)和g(t)為有界實(shí)值函數(shù)。進(jìn)一步假設(shè)存在一對正值的常數(shù)H和K使得2＜H/supt≥0g2(t),和-K≤∫t0(f(s)-1/2g2(s)+H)ds≤K， t≥0.且對G-期望E，令0≤σ≤(σ)=1，則我們可以定義下列函數(shù)V(x,t)=x2 exp[-2∫t0(f(s)-1/2g2(s)+H）ds]，由此容易驗(yàn)證函數(shù)V(x，t)滿足定理22

55、的條件，則G-SDE(0.0.7)的平凡解依容度v隨機(jī)穩(wěn)定，且在容度V意義下隨機(jī)漸近穩(wěn)定。
　　4.3 G-BSDE的解關(guān)于參數(shù)的穩(wěn)定性
　　在本節(jié)，我們考慮下列一族依賴參數(shù)δ(δ≥0)的G-BSDE，Yδs=ξδ+∫Ttfδ（s，Yδs，Zδs）ds+∫Ttgδ（s，Yδs，Zδs）ds-∫TtZδsdBs-（KδT-Kδt），t∈[0，T].(0.0.8)
　　定理24.假設(shè)G-BSDE(0.0.8)的系數(shù)滿

56、足§4.2.3節(jié)中假設(shè)(A1)，(A2)和(A3)，則方程的解Yαt有如下的穩(wěn)定性，即當(dāng)δ→0，E[|Yδt-Y0t|α]→0，(V)t∈[0，T].
　　定理25.假設(shè)G-BSDE(0.0.8)的系數(shù)滿足§4.2.3節(jié)中假設(shè)(A1)，(A2)和(A4)，則方程的解（Yδt，Zδt，Kδt）∈(g)αG(0，T)有如下的穩(wěn)定性，即當(dāng)δ→0，E[sup t∈[0,T]|Yδt-Yt0|α]+E[(∫T0|Zδt-Z|2dt)α/2]