非線性期望理論及金融市場不確定性.pdf

1、本文主要研究了非線性期望理論及金融市場中的不確定性問題。文章共有四章，前兩章主要是理論性研究，第一章深入研究了非線性期望乘積空間理論，研究了非線性期望下乘積空間的正則性問題以及非線性期望下獨(dú)立增量過程的乘積空間問題，是對非線性期望理論的完善和補(bǔ)充。第二章研究了倒向隨機(jī)微分方程最優(yōu)控制問題及資產(chǎn)定價(jià)問題。后兩章主要是應(yīng)用性研究，深入研究了金融市場中的不確定性及非線性期望在金融市場中的應(yīng)用。第三章介紹了非線性期望資產(chǎn)定價(jià)理論，并利用非線性期

2、望理論改進(jìn)了目前國際上最通用的SPAN保證金系統(tǒng)，改進(jìn)SPAN計(jì)算原理，得到了均值-方差不確定性下的SPAN保證金系統(tǒng)，可以更為快捷、準(zhǔn)確、穩(wěn)健的度量風(fēng)險(xiǎn)。并用S&P500指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。第四章深入探討了金融市場中的不確定性，說明了金融數(shù)據(jù)的分布不確定性和描述參數(shù)不確定性在金融市場中客觀存在。深入研究了均值不確定性和方差不確定性在金融市場中的具體表現(xiàn)、估計(jì)方法，并利用均值不確定性構(gòu)建了投資策略。各章節(jié)主要內(nèi)容如下:
　

3、　（一）非線性期望下的乘積空間
　　本章研究非線性期望下的乘積空間理論，主要針對非線性（resp.次線性）期望下乘積空間的正則性及獨(dú)立增量過程的乘積空間問題進(jìn)行深入探討，完善了非線性期望乘積空間理論并彌補(bǔ)了之前理論中的不足。本章的結(jié)果主要出自:
　　Gao Q,Hu M,Ji X,Liu G.Product space for two processes with independent increments under n

4、onlinear expectations.Electronic Communications inProbability22(2017).
　　本章主要有以下兩部分內(nèi)容:
　　1.非線性(resp.次線性)期望下乘積空間的正則性:
　　正則性是概率論中很重要的概念，一般情況下，次線性期望空間并不滿足正則性，而G期望空間滿足正則性([2])，彭實(shí)戈院士在[10]中給出了乘積空間的定義，但是在定義中并未提及正則性，因此一

5、個自然而然的問題就是，對于給定的正則次線性期望空間，其乘積空間是否依然滿足正則性。
　　為解決這個問題，首先研究兩個正則次線性期望乘積空間的正則性，通過將經(jīng)典的有限乘積概率空間構(gòu)造推廣到次線性期望情形，可以得知兩個正則次線性期望空間的乘積空間仍保持正則性，并進(jìn)一步推廣到有限維的情形，得到如下結(jié)論:
　　給定有限個正則次線性期望空間（Ωi，Hi，(E)i），i=1，2，…n，則其乘積空間（nΠi=1Ωi，n(⊕)i=1Hi，n

6、(⊕)i=1(E)i)也是正則次線性期望空間。再通過反證法，可將結(jié)論推廣到可列次線性期望空間。
　　進(jìn)一步研究次線性期望下完備乘積空間是否保持正則性，這種情況下問題較為復(fù)雜，本文在完備可分的距離空間下，證明了概率表示族是弱緊的及隨機(jī)變量的逼近性質(zhì)，最終得到了次線性期望下的完備乘積空間仍保持正則性，整體思路如下:給定正則次線性期望空間（Ωi，Hi，(E)i），i=1，2，…，n，其乘積空間記為（nΠi=1Ωi，n(⊕)i=1Hi，n

7、(⊕)i=1(E)i），記（nΠi=1，L'（n(⊕)i=1Ωi），n(⊕)i=1(E)i）為（nΠi=1，n(⊕)i=1Hi，n(⊕)i=1(E)i）的完備化空間。則可以證明（nΠi=1Ωi，L'（n(⊕)i=1Ωi）n(⊕)i=1(E)i）也是正則次線性期望空間，Cb(nΠi=1Ωi)(C)L'(nΠi=1Ωi)且存在（nΠi=1Ωi，B(nΠi=1Ωi))上的一族弱緊概率族Pi使得n(⊕)i=1(E)i[X]=sup P∈P Ep

8、[X]，(V)X∈L'(nΠi=1Ωi).
　　由此可給出有限個正則次線性期望空間的完備乘積空間問題的證明?；谟邢迋€情形的結(jié)論和隨機(jī)變量的逼近性質(zhì)，進(jìn)一步可得如下結(jié)論:給定一列正則次線性期望空間（Ωi，Hi，(E)i），i≥1，其中(Ωi，ρi)為完備可分距離空間，Hi=Cb.Lip（Ωi）。記Ω=∞Πi=1Ωi，H=∞(⊕)i=1Hi，(E)=∞(⊕)i=1(E)i，則(Ω，L'(Ω)，(E)）為正則次線性期望空間，且滿足Cb

9、(Ω)(C) L'(Ω)，其中(Ω，L'(Ω)，(E))為（Ω，H，(E)）的完備化空間。
　　2.非線性(resp.次線性)期望下獨(dú)立增量過程的乘積空間
　　接下來研究非線性（resp.次線性）期望空間中獨(dú)立增量過程的乘積空間問題，即對于給定的兩個d-維獨(dú)立增量過程，是否存在一個非線性期望空間，及一個定義在空間上的2d-維的獨(dú)立增量過程，使得其前d-維與后d-維過程分別同分布于先前給定的兩個獨(dú)立增量過程。這是彭院士[10]

10、中的乘積空間方法無法解決的。本文通過離散化的方法，利用胎緊的性質(zhì)，提出一種全新的構(gòu)建思路，研究有限維、可列維和不可列維獨(dú)立增量過程的乘積空間問題。有限維獨(dú)立增量過程的乘積空間的主要定理如下:
　　定理0.1.令（Mt）t≥0和（Nt）t≥0是兩個分別定義在非線性（resp.次線性）空間（Ω1，H1，(E)1）和（Ω2，H2，(E)2）上的d-維獨(dú)立增量過程，滿足假設(shè)(A)。則存在定義在非線性（resp.次線性）空間（Ω，H，(E)

11、）上的2d-維獨(dú)立增量過程（(M)t，(N)t）t≥0滿足:（(M)t）t≥0d=（Mt）t≥0，（(N)t）t≥0d=(Nt)t≥0.進(jìn)一步，如果（Mt）t≥0和(Nt)t≥0是兩個平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，則（Mt，(N)t）t≥0也是一個平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。
　　非線性情形與次線性情形相似，因此本文只討論次線性情形，非線性情形同理可證。進(jìn)一步可知，只需要證明t∈[0，1]的情形即可。
　　在稠密的有限點(diǎn)集Dn={i2-n:0≤i

12、≤2n}上構(gòu)造符合要求的次線性期望空間（Ω，Hn，(E)n）:
　　如下定義Hn:記δn=2-n，Hn={ψ(Xδn，X2δn-Xδn，…，X2nδn-X(2n-1)δn）:(V)ψ∈Cb.Lip(R2n×2d)}，
　　如下定義(E)n:Hn→R:
　　Step1.對于給定的φ∈Cb.Lip(R2d)，滿足對i≤2n，φ（Xiδn-X（i-1）δn）=φ（(M)iδn-(M)(i-1）δn，(N)iδn-(N)（i-

13、1）δn）∈Hn定義(E)n[φ(Xiδn-X（i-1）δn）]=(E)1[ψ（Miδn-M(i-1）δn）]，其中ψ(x)=(E)2[φ(x，Niδn-N（i-1）δn）]，(V)x∈Rd.
　　Step2.對給定的ψ(Xδn，X2δn-Xδn，…，X2nδn-X(2n-1)δn)∈Hn，ψ∈Cb.Lip(R2n×2d)，定義(E)n[ψ（Xδn，X2δn-Xδn，…，X2nδn-X（2n-1）δn）]=ψ0，其中ψ0=En[ψ

14、1(Xδn)].
　　引理0.1.按上述方法定義（Ω，Hn，En），那么
　　(1)(Ω，Hn，En)構(gòu)成一次線性期望空間;
　　(2)對每個2≤i≤2n，Xiδn,-X（i-1）δυ獨(dú)立于(Xδn，…，X(i-1)δn-X(i-2)δn）;
　　(3)（(M)δn，(M)2δn-(M)δn，…，(M)2nδn-(M)(2n-1）δn）d=（Mδn，…，M2nδn-M(2n-1)δn），((N)εn，(N)2δn

15、-(N)δn，…，(N)2nδn-(N)(2n-1)δn）d=（Nδn,…，2nδn-N(2n-1)δn）.
　　由此可知在稠密的有限點(diǎn)集Dn={i2-n:0≤i≤2n}上，（Ω，Hn，(E)n）即為滿足定理0.1的次線性期望空間，故在有限點(diǎn)上結(jié)論成立。下面將其延拓到連續(xù)點(diǎn)上。
　　易知對每個n≥1，有Hn(C)Hn+1.令L=∪n≥1 Hn，易見L為H的一個子空間，使得對每一個ψ∈Cb.Lip(Rm)滿足:若Y1，…，Ym

16、∈L，則有ψ(Y1，…，Ym)∈L。
　　下面，我們希望定義一個次線性期望(E):L→R。然而，在Hn上(E)n+1[·]≠(E)n[·]，這是因?yàn)樵诖尉€性期望下獨(dú)立性的順序是不可交換的。不過，通過下面的胎緊性引理，仍可以構(gòu)造(E):
　　引理0.2.對每一個固定的n≥1，令(F)nk，k≥n，為（Xδn，X2δn-Xδn，…，X2nδn-X(2n-1)δn）在(E)k下的分布.從而{(F)nk:k≥n}是胎緊的.
　

17、　用這一引理來構(gòu)造次線性期望(E):L→R.可得如下引理:
　　引理0.3.設(shè)D={i2-n:n≥1，0≤i≤2n}.那么存在一個次線性期望(E):L→R滿足如下條件:
　　(1)對每一列0≤t1＜…＜tn，ti∈D，i≤n，Xtn-Xtn-1⊥（Xt1，…，Xtn-1）;
　　(2)對每一列0≤ t1＜…＜tn，ti∈D，i≤n，（(M)t1，…，(M)tn）d=（Mt1，…，Mtn）且（(N)t1，…，(N)tn）

18、d=（Nt1，…，Ntn）.
　　通過以上引理，最終完成了定理0.1的證明。
　　進(jìn)一步研究無窮個獨(dú)立增量過程的乘積空間問題。首先，利用相容性構(gòu)造非線性（resp.次線性）期望，結(jié)合對角線法則，將結(jié)論推廣到可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間中，主要定理如下:
　　定理0.2.令（Mit）t≥0,i≥1是定義在非線性（resp.次線性）期望空間（Ωi，Hi，(E)i），i≥1上滿足假設(shè)的至多可列維獨(dú)立增量過程，則存在非線性（r

19、esp.次線性）期望空間（Ω，H，E）及定義在其上的可列維獨(dú)立增量過程（(M)1t，(M)2t，…，(M)it，…）t≥0滿足:（(M)it）t≥0d=（Mit）t≥0，i≥1進(jìn)一步，如果（Mit）t≥0，i≥1是至多可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，則同理可得（(M)1t，(M)2t，…，(M)it，…）t≥0也是可列維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。
　　進(jìn)一步推廣到不可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間問題，注意到對角線法則方法在不可列個獨(dú)立增量過程的乘積

20、空間問題上并不適用，因此無法利用之前的方法得到想用的結(jié)論。因此我們定義上獨(dú)立增量過程，并進(jìn)一步給出不可列維上獨(dú)立增量過程的定義:
　　給定非線性（resp.次線性）期望空間（Ω，H，(E)），X，Y分別是其上的m-維和n-維隨機(jī)向量，稱Y上獨(dú)立于X，若對任給的(V)ψ∈Cb.Lip（Rm×n），都有(E)[ψ(X，Y)]≤(E)[(E)[ψ(x，Y)]x=X]，
　　給定非線性（resp.次線性）期望空間(Ω，H，E)，（X

21、t）t≥0為此空間上的d-維隨機(jī)過程，若對(V)t，s≥0，(V)m≥1，(V)0≤t1＜…＜tm≤t，都有Xt+s-Xt上獨(dú)立于（Xt1，…，Xtm），則稱（Xt）t≥0為上獨(dú)立增量過程。
　　進(jìn)一步的，若對(V)t,s≥0還有Xt+s-Xsd=Xt，則稱（Xt）t≥0為平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。
　　設(shè)（Mλt）t≥0，λ∈I是非線性（resp.次線性）期望空間（Ω，H，(E)）上的一族隨機(jī)過程，其中，I為不可列集。如果對(V

22、)n≥1，(V)λi∈I，i=1，2，…，n，都有(Mλ1t，Mλ2t,…，Mλnt)t≥0是n-維上獨(dú)立增量過程，則稱（Mλt）t≥0，λ∈I為不可列上獨(dú)立增量過程。
　　進(jìn)一步的，若對(V)n≥1，(V)λi∈I，i=1，…，n，都有（Mλ1t，Mλ2t,…，Mλnt）t≥0是n-維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程，則稱(Mλt)t≥0，λ∈I為不可列平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。
　　給出不可列個獨(dú)立增量過程的乘積空間的主要定理:
　　

23、定理0.3.令（Mλt）t≥0，λ∈I（其中I為不可列集）是一族定義在非線性（resp.次線性）空間（Ωλ，Hλ，(E)λ）上的不可列個1-維獨(dú)立增量過程，滿足:
　　(C1）存在次線性期望(E)λ:Hλ→R分別控制(E)λ，λ∈I;
　　(C2)對每個t≥0，Mλt的分布在(E)λ下是胎緊的;
　　(C3)對每個t≥0，λ∈I，有l(wèi)ims→t(E)λ[|Mλs-Mλt|Λ1]=0.
　　則存在一個非線性（res

24、p.次線性）期望空間(Ω，H，(E))，及定義在其上的不可列維上獨(dú)立增量過程（(M)λt，λ∈I）t≥0滿足:（(M)λt）t≥0d=（Mλt）t≥0，λ∈I
　　進(jìn)一步，如果（Mλt）t≥0，λ∈I是1-維平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，則((M)λt)t≥0，λ∈I是不可列維平穩(wěn)上獨(dú)立增量過程。
　　（二）BSDE隨機(jī)控制及不完備市場資產(chǎn)定價(jià)
　　本章主要研究帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理問題及不完備市場定價(jià)問題

25、。本章的結(jié)果主要出自:
　　1)Gao Q,Yang S.Maximum principle for forward-backward SDEs with ageneral cost functional.International journal of control(2016):1-7.
　　2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete mark

26、et withfinite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.
　　本章主要有以下兩部分內(nèi)容:
　　1.帶有廣義效用泛函的FBSDE隨機(jī)控制最大值原理
　　彭實(shí)戈院士([53]，[29])第一次介紹了由倒向隨機(jī)微分方程或正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動的最優(yōu)控制問題，并得到了很多研究者的進(jìn)一步推廣，如Xu[57]，Lim a

27、nd Zhou[24]，Shi and Wu[54]等。在[29]中，彭院士首次研究了如下正倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題:{ dx(t)=b(x(t),u(t),t)dt+σ(x(t),u(t),t)dW(t),x(0)=x0，(0.1)dy(t)=g(x(t)，y(t)，z(t)，u(t)，t)dt+z(t)dW(t)，y(T)=ξ，其效用泛函為:J(u(·))=E[∫T0 f(x(t)，y(t)，z(t)，u(t)，t)d

28、t+h(x(T))+γ(y(0))].(0.2)事實(shí)上，上述效用泛函中的h(·)和γ(·)可能不僅僅依賴于終端條件(t=T）和起始條件(t=0），通常情況下，還會依賴于全局時(shí)間條件（t∈[0，T]）.也就是說，效用泛函中h(·)和γ(·)不僅由起始和終端這兩個特殊時(shí)間點(diǎn)決定，還依賴于更一般的全局時(shí)間條件。在本文中，我們會研究帶有如下依賴于全局時(shí)間條件的廣義效用泛函的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)最大值原理，J(u(·))=E[∫T0 f(x(t)

29、，y(t)，z(t)，u（t)，t)dt+h（x[0,T]）+γ（y[0,T]）]，(0.3)其中，x[0，T]:=x(s)0≤s≤T，y[0，T]:=y(s)0≤s≤T.
　　注意到效用泛函(0.2)是上述廣義效用泛函(0.3)的一個特殊形式，也就是說，廣義效用泛函(0.3)考慮到了更一般的情況，是對經(jīng)典隨機(jī)控制問題的十分有意義的推廣，而在本文之前，帶有(0.3)形式廣義效用泛函的控制系統(tǒng)的最大值原理問題還未被認(rèn)真研究。

30、　　利用Fréchet導(dǎo)數(shù)的框架，可以構(gòu)建一系列需要逐步求解的伴隨方程，從而推導(dǎo)出相應(yīng)的最大值原理。最大的難點(diǎn)在于如何得到對應(yīng)的伴隨方程。本文利用Riesz表示定理與Fréchet導(dǎo)數(shù)的框架相結(jié)合，使Fréchet導(dǎo)數(shù)Dxh(x[0，T])和Dxγ(y[0，T])可以被相對應(yīng)的有限測度μ和β描述。將測度μ和β分解為連續(xù)部分和跳躍部分，可以構(gòu)建一系列的伴隨方程，并通過逐步解這些伴隨方程得到相對應(yīng)的最大值原理。并且為了更直觀的展示本文研究的

31、帶有廣義效用泛函的隨機(jī)控制系統(tǒng)與經(jīng)典情況的不同，本章最后通過簡單的例子進(jìn)行直觀的展示。本章簡要過程如下:
　　令U為R上的非空凸子集.記(u)={u(·)∈M2(R）|u(t)∈U,a.e.，a.s.}。令ū(·)是一個最優(yōu)控制，((x)(·)，(y)(·)，(z)(·))為對應(yīng)的軌道，記up=ū(·)+ρu(·)，0≤ρ≤1，ū(·)+u(·)∈(u)，.因?yàn)?u)是凸的，因此up∈(u)。引入變分方程，易知變分方程存在唯一解（

32、(ξ)(·），η(·)，(ζ)(·))，記(xρ(·)，yρ(·)，zρ(·))為uρ所對應(yīng)的軌道，并進(jìn)一步可證明其收斂性質(zhì)。
　　進(jìn)而在C([0，T])中給出Fréchet導(dǎo)數(shù)的概念，并在Fréchet導(dǎo)數(shù)的框架下，對于h((x)[0，T])和γ((y)[0，T)，利用Riesz表示定理，在[0，T]上分別對應(yīng)存在唯一有限Borel測度μ和β使得(V)η[0，T]∈C（[0，T]）Dxh（(x)[0，T])(η[0，T])=∫[

33、0，T]η(s)dμ(s)，Dxγ((y)[0，T])（η[0，T]）=∫[0，T]η(s)dβ(s).因?yàn)棣毯挺率荹0，T]上的有限測度，至多存在可數(shù)的正測度。將其記作{u（{li}）}+∞i=1，0＜…＜l2＜l1=T，{β({si})}+∞ i=1，0=s1＜s2＜…＜T設(shè){li}∞i=1和{si}∞i=1各有一個聚點(diǎn)l0和s0，不妨設(shè)s0＜l0.
　　為了得到最大值原理，引入下列形式的伴隨方程，需要注意的是，在這種情況下，

34、需要引入一系列伴隨方程:{-dp(t)=[bx（(x)，ū，t）p(t)+gx((x)，(y)，(z)，ū，t）q(t)+σx((x)，ū，t）k(t)+fx((x)，(y)，(z)，ū，t）+μ'(t)]dt-k(t)dW(t)，p（li）=-μ（{li}）+p（l+i）， i=1，2，3，…其中μ'(t）是μ(t)的導(dǎo)數(shù)，l+i是li的右極限，定義p(l+1)=0，{-dq(t)=[gy((x)，(y)，(z)，ū，t）q(t)+f

35、y（(x)，(y)，(z)，ū，t）+β'(t)]dt+[gz（(x)，(y)，(z)，ū，t）q(t)+fz((x)，(y)，(z)，ū，t)]dW（t)，q（si）=β({si})+q(s-i)， i=1，2，3，…其中β'(t）是β(t)的導(dǎo)數(shù)，s-i是si的左極限，定義q(s-1)=0.
　　可證存在一組(p(·)，k(·)，q(·))是伴隨方程的解。又因?yàn)楱?·)是一個最優(yōu)控制，因此，ρ-1[J(ū(·)+ρu(·))-

36、J(ū(·))]≥0.
　　可得如下變分不等式成立:E∫T0[fx((x)(t)，(y)(t)，(z)(t)，ū(t)，t)(ξ)(t)+fy((x)(t)，(y)(t)，(z)(t)，ū(t)，t)η(y)+fx((x)(t)，(y)(t)，(z)(t)，ū(t)，t)(ζ)(t)+fu((x)(t)，(y)(t)，(z)(t)，ū(t)，t)u(t)]dt+∞∑i=1 E[μ（{li}）(ζ)（li）+∫li li+1(ξ)(

37、t）dμ(t)]+∞∑i=1 E[β（{si}）(η)（si）+∫si+1 si(η)(t)dβ(t)]≥0.
　　如下定義漢密爾頓方程H:R×R×R×R×[0，T]→R:H(x，y，z，u，p，k，q，t)=pb(x，u，t)+kσ(x，u，t)+qg(x，y，z，u，t)+f（x，y，z，u，t）相應(yīng)的可以利用漢密爾頓方程改寫伴隨方程:{-dp(t)=(Hx((x)，(y)，(z)，ū，p，k，q，t)+μ'(t))dt-k(

38、t)dW(t)p（li）=-μ（{li}）+p（l+i）， i=1，2，3，…-dq(t)=(Hy((x)，(y)，(z)，ū，p，k，q，t)+β'(t))dt+Hz((x)，(y)，(z)，ū，p，k，q，t)dW(t)，q（si）=β({si})+q(s-i), i=1,2,3,…
　　因此可以得到主要定理，
　　定理0.4.假設(shè)條件(i)-(iii)成立，令ū(·)是一個最優(yōu)控制并令((x)(·)，(y)(·)，(z

39、)(·))是相對應(yīng)的軌道，則有Hv((x)(t)，(y)（t），(z)(t)，ū(t)，p(t)，k(t)，q(t)，t)(u-ū(t))≥0，(V)u∈U, a.e.，a.s.(0.4)其中t∈[0,T]\{li，si}∞i=1，(p(·)，k(·)，q(·))是伴隨方程的解.
　　2.不完備市場資產(chǎn)組合定價(jià)
　　當(dāng)市場完備時(shí)，每一個衍生品收益都可以被市場中的一個投資組合復(fù)制，其價(jià)格可以由完備市場無套利理論得出。而在不完備

40、的市場中的定價(jià)問題較為復(fù)雜，本文運(yùn)用隨機(jī)控制的方式來研究最高價(jià)與最低價(jià)，利用有限時(shí)間有限狀態(tài)過程下的廣義Girsanov變換對未定權(quán)益或期權(quán)定價(jià)。本文的研究是對[35]中研究的進(jìn)一步擴(kuò)展。
　　任一概率測度被稱為一個P-鞅測度，如果在FT上等價(jià)于P并且其折現(xiàn)價(jià)格過程為鞅。我們將所有的P-鞅測度記作P。需要注意的是，在完備市場中，P={Q}，其折現(xiàn)過程唯一，存在唯一的自融資策略，定價(jià)可以通過無套利原則得出，衍生產(chǎn)品價(jià)格可以被基礎(chǔ)產(chǎn)品

41、的投資組合復(fù)制。而在不完備市場中，存在多個P-鞅測度，因此并不存在唯一的自融資策略，定價(jià)也難以通過無套利推導(dǎo)得出，市場存在多種報(bào)價(jià)（賣方報(bào)價(jià)，買方報(bào)價(jià)），需要關(guān)注的是市場的最大價(jià)格和最小價(jià)格。
　　在完備市場中，對于給定的未定權(quán)益U，存在y≥0和投資組合策略ω滿足如下方程Ud=y+ T-1∑t=0（ωd（t)）*σ(t)[θ(t)+M(t+1)]， P-a.s.其中y是t=0的無套利價(jià)格。
　　記(M)(t)=θ(t)+M(

42、t)，則Ud=y+T-1∑t=0(ωd(t))*σ(t）(M)（t)，P-a.s.
　　在不完備市場中U存在多種價(jià)格，t=0，U的最小價(jià)格（下價(jià)格）為infP∈PEP(Ud)，U的最大價(jià)格（上價(jià)格）為supP∈PEP（Ud）.
　　利用最優(yōu)控制方法我們可以對最小最大價(jià)格進(jìn)行動態(tài)研究。
　　U在時(shí)刻t的最大可能價(jià)格為J(t)=esssupλ∈(θ)EPλ[Ud|Ft]，其中Pλ表示所有滿足如下形式的關(guān)于P的Girsano

43、v變換的概率測度:LT=T-1Πs=0(1+γ(s+1))， L0=1，其中，γ(s+1)IYs+1=ei=aisIYs+1=ei/P（Ys+1=ei|Ft）
　　其具有以下性質(zhì):定義過程f(t):f(t)=A(t)-j(t)，則f(t)是一個增過程，可得J(t)=J(0)+t-1∑t=0φ(s)σ(t)(M)(s+1)-f（t)，Q-a.s.特別的，t=T時(shí)，有Ud=J(0)+T-1∑t=0φ(s)σ(t)(M)(s+1)-f(

44、T)， Q-a.s.
　　U在t時(shí)刻的最小可能價(jià)格為K(t)=essinfv∈(θ)EPv[Ud|Ft]，類似最大價(jià)格的推導(dǎo)可知，存在一個投資組合過程ψ(t)和一個右連續(xù)減過程g(t)，g(0)=0滿足K(t)=K(0)+t-1∑s=0ψ(s)σ(s)(M)(s+1)-g(t)，Q-a.s.
　?。ㄈ┓蔷€性期望下的SPAN保證金
　　本章研究非線性期望理論在保證金計(jì)算中的應(yīng)用。本部分結(jié)果出自:
　　高強(qiáng)，楊淑振

45、等.基于市場復(fù)雜性的新型保證金計(jì)算工具，第四屆全國金融期貨與期權(quán)研究大賽獲獎?wù)撐模ㄈ珖坏泉劊?-46,2014.
　　首先介紹了保證金制度和國際主流的保證金計(jì)算系統(tǒng)，并對國際上最成熟通用的保證金管理系統(tǒng)SPAN進(jìn)行了深入分析，介紹了SPAN保證金的計(jì)算原理:其最核心的價(jià)格偵測風(fēng)險(xiǎn)模塊基于情景模擬法，預(yù)估未來標(biāo)的價(jià)格和波動率的變化，將未來市場劃分為16種可能情形，分別計(jì)算16種情形中的可能損失，取其中的最大值作為最大預(yù)期損失，以

46、此制定相應(yīng)的保證金標(biāo)準(zhǔn)。此外，SPAN保證金還包括跨月價(jià)差風(fēng)險(xiǎn)、交割月風(fēng)險(xiǎn)值、商品間價(jià)差折抵、空頭期權(quán)最低風(fēng)險(xiǎn)值等。分析SPAN保證金的優(yōu)缺點(diǎn)，指出其只計(jì)算了16種情形，無法涵蓋未來市場的多種可能性，并且理論基礎(chǔ)是Black-Scholes公式，其假設(shè)波動率是一個常數(shù)，因此不能估計(jì)波動率不確定下的風(fēng)險(xiǎn)。進(jìn)一步分析了國際上其他SPAN改進(jìn)系統(tǒng)的改進(jìn)原理并利用S&P500股指期權(quán)數(shù)據(jù)對標(biāo)準(zhǔn)SPAN系統(tǒng)(SPAN16)和改進(jìn)SPAN系統(tǒng)(SP

47、AN-44和SPAN-93)進(jìn)行了實(shí)證分析比較，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的SPAN保證金系統(tǒng)劃分了更多種可能情形，在一定程度上更為準(zhǔn)確的度量了風(fēng)險(xiǎn)，但是同時(shí)也加大了計(jì)算量，并且無法解決真實(shí)市場中波動率不確定性帶來的風(fēng)險(xiǎn)。
　　接下來介紹非線性期望理論中的三個重要分布:最大分布，G-正態(tài)分布和G-分布，以及對應(yīng)的三個重要的隨機(jī)過程:G-布朗運(yùn)動，有界變差G-布朗運(yùn)動和廣義G-布朗運(yùn)動，其增量過程分別服從之前的三種分布，例如G-布朗運(yùn)動的增量過程服從

48、G-正態(tài)分布。其與金融市場不確定性有著直接的對應(yīng)關(guān)系，G-正態(tài)分布、G-布朗運(yùn)動與方差不確定性（波動率不確定性）直接相關(guān)，G-正態(tài)分布隨機(jī)變量可表示為Xd=N({0}×A)，A描述了X的方差不確定性，在一維情形下，Xd=N（{0}，(σ)2，(σ)2]），其中，(σ)2=(E)[X2]，(σ)2=-(E)[-X2]，則方差（波動率）不確定性區(qū)間為[(σ)2，(σ)2]。最大分布、有界變差G-布朗運(yùn)動與均值（收益率）不確定性直接相關(guān)，最大

49、分布隨機(jī)變量可記為Yd=N(Θ×{0})，Θ描述了Y的均值不確定性程度，在一維情形下，Yd=n（[μ，(μ)]×{0}），其中，(μ)=(E)[X]，μ=-(E)[-X]，均值不確定性區(qū)間為[(μ),(μ)]。上面的兩個分布可以非平凡地組合為一個新的分布，即G-分布，其對應(yīng)著廣義G-布朗運(yùn)動，與均值-方差不確定性（收益率-波動率不確定性）直接相關(guān)。由此，可以給出如下形式的幾何G-布朗運(yùn)動:dXs=uXsdηs+σXsdBs，Xt=x，<

50、br>　　其中(η)t，t≥0服從最大分布，Bt，t≥0服從G-正態(tài)分布，且(E)[μη1]=(μ)，(E)[-uη1]=-(μ);(E)[σ21]=(σ)2，(E)[-σ21]=-(σ)2.
　　其終端支付函數(shù)為Φ（XT）。定義風(fēng)險(xiǎn)為u（t，Xt）:=(E)[-Φ（XT）]，其中u（t，Xt）為下面偏微分方程的解(e)tu+1/2（(σ)2（(e)xxu）+-σ2（(e)xxu）+）+(μ)x（(e)xu）+-(μ)

51、x（(e)xu）-=0u（T，x）=-Φ(x)
　　探討其計(jì)算原理，考慮有界邊值問題，通過標(biāo)準(zhǔn)的離散格式離散化上述方程給出上述方程的數(shù)值解法，并可以證明牛頓迭代的收斂性及全隱格式的收斂性。
　　利用非線性期望理論改進(jìn)SPAN保證金系統(tǒng)，給出波動率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:假設(shè)標(biāo)的物（股票或者期貨）Xt滿足G-期望下的幾何布朗運(yùn)動:dXs=μXsds+σXsdBt，Xt=x.
　　其中Bt，t≥0服從G-正態(tài)分

52、布，且(E)[σ21]=(σ)2，(E)[-σ21]=-σ2.
　　其終端支付函數(shù)為Φ（XT）。定義風(fēng)險(xiǎn)u（t,Xt）:=(E)[-Φ（XT）]，其中u(t，Xt)為下面偏微分方程的解(e)tu+1/2（(σ)2（(e)xxu）+-(σ)2（(e)xxu）+）+μx(e)xu=0u(T，x)=-Φ(x)
　　其中(σ)2=（σ+Δσ)2，(σ)2=（σ-Δσ）2。則針對SPAN對于標(biāo)的價(jià)格的可能變化情形:Xt+0

53、，Xt±1/3Δx，Xt±2/3Δx，Xt±Δx，Xt±2Δx
　　給出9種可能的變化，其中，波動率的可能變動范圍在區(qū)間[σt-Δσ，σt+Δσ]內(nèi)連續(xù)取值。取9種情況的最大值作為最大預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)，將加入波動率不確定性的SPAN保證金稱為G-SPAN-9。G-SPAN-9下收取保證金為:ρt,T(Φ（XT））=max1≤i≤9{Pt+(E)[-Φ（XXit+Δt T）]}
　　其中Pt是t時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。
　　同理，可以給

54、出均值不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法和均值-波動率不確定性下的SPAN保證金。由于篇幅原因，這里只給出均值-波動率不確定性下的SPAN保證金計(jì)算方法:
　　假設(shè)股票價(jià)格滿足下面的隨機(jī)微分方程dXs=uXdηs+σXsdBs,Xt=x，
　　其中ηt滿足最大分布，Bt滿足G-正態(tài)分布，且(E)[uη1]=(μ)，(E)[-uη1]=-(μ)(E)[σ21]=(σ)2，(E)[-σ21]=-(σ)2.
　　

55、其終端支付函數(shù)為Ф（XT）。定義風(fēng)險(xiǎn):u（t,Xt）:=(E)|-Ф（XT）]，其中u（t，Xt）為下面偏微分方程的解(e)tu+1/2（(σ)2（(e)xxu）+-(σ)2（(e)xxu）+）+(μ)x（(e)xu）+-(μ)x（(e)xu）-=0u(T,x)=-Φ(x)
　　其中(σ)2=（σ+Δσ）2，(σ)2=（σ-Δσ）2(μ)=ln(1+Δx/Pt)/(T-t),(μ)=ln(1+Δx/Pt)/(T-t)
　　因

56、此，同時(shí)引入均值不確定性和波動率不確定性，只需計(jì)算一種情形，即可得到全面涵蓋標(biāo)的價(jià)格和波動率連續(xù)變化的風(fēng)險(xiǎn)值:價(jià)格變動波動率變動計(jì)算比例[Xt-Δx，Xt+Δx][σ-Δσ，σ+Δσ]100％
　　其中Δx=PSR，Δσ=SR。
　　此時(shí)G-期望下收取保證金為:ρt，T（Ф（XT））=Pt+E[-Ф（XT）]
　　其中Pt是t時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。只需進(jìn)行一次運(yùn)算，即可得到涵蓋更全面風(fēng)險(xiǎn)的運(yùn)算結(jié)果。
　　利用S&P50

57、0期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，可知，利用非線性期望理論改進(jìn)的G-SPAN保證金不僅運(yùn)算次數(shù)更少，還更全面的考慮了價(jià)格和波動率不確定導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)，是一種準(zhǔn)確快捷穩(wěn)健的保證金計(jì)算方式。
　?。ㄋ模┙鹑谑袌龅牟淮_定性
　　金融市場中的不確定性主要體現(xiàn)有:金融數(shù)據(jù)分布的不確定性;金融數(shù)據(jù)特征描述參數(shù)的不確定性;金融數(shù)據(jù)的模型不確定性。首先驗(yàn)證金融數(shù)據(jù)分布的不確定性，正態(tài)分布是金融市場中最重要的分布之一，很多金融研究都以正態(tài)分布假設(shè)為基石。金

58、融數(shù)據(jù)分析中，常假設(shè)某個時(shí)間段內(nèi)的金融數(shù)據(jù)服從同一分布，比如最常見的，假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)在我們選取最能代表金融市場數(shù)據(jù)特征的滬深300股指和相對應(yīng)的滬深300股指期貨數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。經(jīng)過實(shí)際分析，按一天作為窗口長度進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)，服從正態(tài)性假設(shè)的天數(shù)較少，股指只有不到20％，股指期貨只有不到10％。若按一周為窗口長度進(jìn)行驗(yàn)證，則服從正態(tài)分布的周數(shù)少于1％，由此可知，正態(tài)分布假設(shè)在金融市場中存在較大問題。實(shí)際上，不僅是正態(tài)分布

59、假設(shè)難以成立，在實(shí)際的金融市場中，很難找出一種或者幾種不同的分布，來準(zhǔn)確描述經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)的分布。不同金融數(shù)據(jù)展現(xiàn)出不同的數(shù)據(jù)特征，即便是同一金融數(shù)據(jù)的背后，也可能來源于不同的經(jīng)濟(jì)、金融、社會原理的共同作用。因此，分布不確定性在金融中客觀存在。除了分布的不確定性，描述數(shù)據(jù)特征的重要參數(shù)，比如均值（一階矩）和方差（波動率、二階矩），也存在不確定性，收益率和波動率亦存在相應(yīng)的不確定性。分析滬深300股指和滬深300股指期貨日收益率的均值和方

60、差，可知其均值方差均存在不確定性，股指期貨的變動幅度相較股指的變化更為劇烈，具有更大的不確定性。均值、方差的不確定性亦客觀存在，一段時(shí)間內(nèi)，均值和方差在一個范圍內(nèi)變化，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為均值、方差在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動。由此可知，金融數(shù)據(jù)存在分布不確定性和特征參數(shù)的不確定性，同一時(shí)間段內(nèi)，同一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，并不來自于同一分布，而是來自于不同分布，或者說，來自于一個不確定的分布族;其特征參數(shù)，比如均值和方差，也并不是確定的數(shù)

61、值，而是在一個區(qū)間內(nèi)連續(xù)變動。對均值不確定性進(jìn)行深入研究，計(jì)算均值不確定性的變動區(qū)間。針對金融市場中重要的均值回歸現(xiàn)象，研究均值不確定性下的均值回歸模型。即均值并不是確定的定值，而是在一個區(qū)間內(nèi)變動。因此，真正的均值回歸，并不是圍繞一條均線進(jìn)行回歸，而是圍繞均值，在一個均值不確定性區(qū)間進(jìn)行回歸。這個均值不確定性區(qū)間，可以看作是合理價(jià)格區(qū)間，價(jià)格在這個區(qū)間內(nèi)波動時(shí)，被認(rèn)為是合理的，當(dāng)價(jià)格偏離上界或下界時(shí)，價(jià)格會有向合理價(jià)格區(qū)間回歸的趨勢。

62、設(shè)資產(chǎn)價(jià)格為X，其均值為μ，均值不確定性區(qū)間為[μ，(μ)]，在經(jīng)典均值回歸模型中，當(dāng)X＜μ或X＞μ時(shí)，價(jià)格會向μ回歸。然而此時(shí)只有μ一個參數(shù)，無法確定具體的回歸折點(diǎn)。而在均值不確定性框架下，價(jià)格圍繞均值μ變動，在區(qū)間[μ，(μ)]中震蕩都被認(rèn)為未偏離均值，是合理的。當(dāng)X＜(μ)或X＞(μ)時(shí)，認(rèn)為價(jià)格偏離了均值，會向均值回歸。由此構(gòu)建投資策略，選用滬深300股指期貨的次月和當(dāng)月合約進(jìn)行跨期套利。投資策略為:價(jià)差超過μ，賣近買遠(yuǎn)，空頭開

63、倉，價(jià)差回歸到μ時(shí)平倉。當(dāng)價(jià)格低于μ時(shí)，買近賣遠(yuǎn)，多頭開倉，價(jià)差回歸均值μ時(shí)平倉。此外，每筆損失超過止損線時(shí)提前平倉，每日結(jié)束時(shí)強(qiáng)行平倉。用2015年1月1日-2016年12月31日數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，用五個指標(biāo)對策略進(jìn)行評價(jià):累計(jì)收益率、年化收益率、波動率、最大回撤及夏普率。深入研究金融市場實(shí)際情況，充分考慮金融市場流動性以及政策性限倉問題、交易手續(xù)費(fèi)問題、交易延遲問題、止損問題和保證金問題。在比較接近實(shí)際金融市場的參數(shù)設(shè)置下（手續(xù)費(fèi)為

64、萬分之1，每筆交易限制10手，每筆止損線10％），策略的累計(jì)收益為4倍左右，最大回撤僅為4％左右，夏普率接近6，表現(xiàn)亦十分優(yōu)異。進(jìn)一步分析我國滬深300股指期貨金融市場的主要發(fā)展階段，針對不同階段的市場情況分析策略的可行性、適用性和穩(wěn)定性，可知，該策略在大多數(shù)市場階段均有良好表現(xiàn)。實(shí)證回測結(jié)果明顯優(yōu)于常見的其他均值回歸策略。綜上所述，均值不確定性下的均值回歸策略在理論上更為合理，在實(shí)際模擬中收益較高，回撤較低，夏普率較高，策略表現(xiàn)優(yōu)異，