非線性期望理論中若干問題的研究.pdf

1、對于金融衍生產(chǎn)品越來越受到國內(nèi)外持續(xù)關(guān)注的主要原因之一就是全球金融危機(jī)的不斷爆發(fā)。大型的銀行、金融機(jī)構(gòu)和保險公司，如美國國際集團(tuán)(American InternationalGroup，AIG)、雷曼兄弟(Lehman Brothers)和美林銀行(Merrill Lynch)，的倒閉或者有著很大的風(fēng)險管理問題等等，這些問題的發(fā)生其中很大一部分原因就是這些機(jī)構(gòu)有著巨大的金融衍生產(chǎn)品的交易額。很顯然，交易金融衍生產(chǎn)品有著巨大的利潤，但是同

2、時也有著巨大的風(fēng)險。因此，如何發(fā)展適當(dāng)?shù)姆椒▉碓u估，管理和控制來自交易衍生產(chǎn)品的內(nèi)在風(fēng)險就顯得格外的重要。這里在評估和管理金融衍生產(chǎn)品的風(fēng)險中有一個非常具有挑戰(zhàn)性問題是:這些金融衍生產(chǎn)品的風(fēng)險行為是非線性的。然而，評估和管理風(fēng)險的非線性行為的嚴(yán)格的、精確的理論還是很缺乏或仍處于起步階段。這就使得我們有動機(jī)去探索用于描述和解釋非線性風(fēng)險的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論。這是一個富有挑戰(zhàn)性且具有重要現(xiàn)實(shí)意義的新領(lǐng)域。
　　把未來不確定的風(fēng)險看作一個隨

3、機(jī)變量X，然后賦予一個泛函E，這個泛函E[X]就被稱作風(fēng)險度量或者叫做數(shù)學(xué)期望。通常來說，研究金融衍生產(chǎn)品的非線性的風(fēng)險行為就是研究非線性的數(shù)學(xué)期望。
　　Pardoux和Peng解決了非線性的倒向隨機(jī)微分方程(BSDE):yt=ζ+∫T t g(s，ys，zs)ds-∫T tzs·dWs，t∈[0，T]，并給出了解的存在唯一性。在對BSDE的性質(zhì)深入研究的基礎(chǔ)上，Peng在1997年基于BSDE的解提出了g-期望和條件g-期望的

4、概念。值得注意的是，Peng的g-期望是第一個非常適合于描述風(fēng)險的非線性行為一個工具，因?yàn)樗哂谐€性性之外線性期望的所有的性質(zhì)。而且條件g-期望是第一個動態(tài)相容的非線性期望。
　　進(jìn)一步，為了研究股票市場波動率的不確定性，Peng又提出了一個完全不需要概率框架的更一般的次線性期望理論。Peng(2006)提出了G-正態(tài)分布，G-布朗運(yùn)動的概念，建立了基于G-布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分得到了相應(yīng)的It(o)公式等等一系列的結(jié)果，創(chuàng)立了一套

5、完整的理論框架。
　　與非線性期望理論密切相關(guān)的就是非線性概率理論，有時候我們也稱之為容度理論。關(guān)于容度理論，在1953年，有兩個重要的工作，一個是Choquet(1953)，另一個是Shaply(1953).Choquet是從位勢論的角度去理解容度理論，并提出了Choquet期望的定義。Shaply是從合作博弈的角度去理解容度理論，提出了在合作博弈領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的Shaply值的概念。
　　在非線性期望理論下，有許許多多的理

6、論問題需要研究，其中一個很重的研究內(nèi)容就是極限理論問題。彭實(shí)戈院士證明了一個非線性期望下弱大數(shù)定律和中心極限定理，見Peng(2010).在Chen(2010)中，陳增敬教授證明了一個由次線性期望所誘導(dǎo)的非線性概率下的強(qiáng)大數(shù)定律，稱為“容度下的強(qiáng)大數(shù)定律”，他斷言樣本均值，不像經(jīng)典概率論中那樣收斂于期望值，而是落在隨機(jī)變量的上下期望之間的區(qū)間之內(nèi)。之后有很多學(xué)者開始關(guān)注非線性期望理論極限理論下這一領(lǐng)域。本文的工作就是在這些工作的基礎(chǔ)上的

7、進(jìn)一步的研究和探索。
　　本文主要研究內(nèi)容包括:
　?。ㄒ唬┪覀兲岢隽斯矄握{(diào)隨機(jī)集的概念，并以此為基礎(chǔ)，研究了關(guān)于集值映射的Choquet積分的幾個性質(zhì):(1)關(guān)于集值映射的Choquet積分的共單調(diào)可加性質(zhì)、正齊性、平移不變、sup范數(shù)連續(xù)性等等;(2)關(guān)于集值映射的Choquet積分的Fubini定理.
　?。ǘ┪覀冄芯苛岁P(guān)于次線性期望的弱大數(shù)定律。在這里我們的假設(shè)條件與經(jīng)典的弱大數(shù)定律的條件是一致的。另外我們也

8、給出了一些具體的非線性期望，例如平均偏差泛函、單邊矩相容風(fēng)險測度等，并研究了在這些具體的次線性期望下的弱大數(shù)定律以及模型不確定情形下的弱大數(shù)定律。
　　（三）我們提出了關(guān)于容度的事件負(fù)相關(guān)的概念，并用例子說明了這一概念的可能性。在關(guān)于容度的事件負(fù)相關(guān)的情形下，我們得到了容度下的強(qiáng)大數(shù)定律，并且給出了強(qiáng)大數(shù)定律的幾個應(yīng)用:更新定理、下熵與上熵、不變原理等。另外，在沒有獨(dú)立性、也沒有非線性期望的次可加性的假設(shè)下，我們得到了第二Bore