非線性數(shù)學(xué)期望，模糊下的最優(yōu)停時(shí)原理及其在金融中的應(yīng)用.pdf

1、通過對期望效應(yīng)理論的研究,Peng(1997)由非線性的倒向隨機(jī)微分方程引入了一類非線性期望,g-期望和條件g-期望.近年來,人們越來越認(rèn)識(shí)到了g-期望的強(qiáng)大的應(yīng)用意義.g-期望的提出不但有著非常重要的非線性數(shù)學(xué)分析意義也有著廣泛的實(shí)踐應(yīng)用意義.
　　 目前已有大量的文獻(xiàn)針對g-期望和g-鞅的不等式進(jìn)行了研究.比如:Chen andPeng(2000)提出了一般g-鞅意義下的下穿不等式,為研究g-鞅意義下的收斂性質(zhì)提供了一個(gè)有力

2、的工具.Chen et al(2003)給出了對所有凸函數(shù)成立的g-期望下的.Jensen不等式；緊接著Jiang(2005)得出了更一般的g-期望下的Jensen不等式.Wang(2009)研究了g-鞅的最大不等式.我們知道Lenglart控制不等式在半鞅理論和隨機(jī)分析中發(fā)揮著重要的應(yīng)用.在論文的第一章,我們主要考慮g-期望下的Lenglart控制不等式是否仍然成立或在什么樣的條件下g-期望下的Lenglart控制不等式成立?本章對此

3、問題的研究主要?jiǎng)訖C(jī)來源于為求解g-鞅框架下的漸進(jìn)性質(zhì)的證明.針對以上問題,在第一章我們將給出肯定的回答.g-期望下的Lenglart控制不等式的結(jié)果為我們研究g-鞅(g-期望)框架下的漸進(jìn)性質(zhì)提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具.
　　 通俗來說,最優(yōu)停時(shí)間題就是尋找能夠達(dá)到最大化期望收益或最小化期望損失的最好停止時(shí)刻或決策.最優(yōu)停時(shí)原理在各個(gè)領(lǐng)域已有了廣泛深入的應(yīng)用.已有大量的文獻(xiàn)針對經(jīng)典的最優(yōu)停時(shí)原理展開了研究,比如Karatzas an

4、d Shreve(1998),()ksendal(1998),Peskir and Shiryaev(2006).
　　 然而在某些領(lǐng)域的應(yīng)用,比如經(jīng)濟(jì)金融市場,由于市場中存在大量的模糊事件,Chenand Epstein(2002),Gilboa and Schmeidler(1989)已經(jīng)指出我們經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)為基礎(chǔ)的模型在市場中往往是失效的.通過Ellsberg悖論,我們認(rèn)識(shí)到模糊存在的重要性是不能被忽視的,并且在投資決策中,

5、它至少起著與風(fēng)險(xiǎn)同等重要的作用.
　　 Riedel(2009)研究了離散時(shí)間框架下的多元先驗(yàn)偏好下的最優(yōu)停時(shí)間題,該論文發(fā)表在國際頂級期刊Econometrica.受Riedel(2009)啟發(fā),在第二章我們發(fā)展對應(yīng)于Piedel(2009)的連續(xù)框架下的模糊最優(yōu)停時(shí)原理.該原理利用g-期望來研究我們一般框架下的模糊.我們的目的是在一個(gè)充分一般的框架下來研究最優(yōu)停時(shí),并且我們的框架包含了已有的一些模糊下的連續(xù)模型.在連續(xù)的框架

6、下我們需要克服更多的技術(shù)困難,該框架也有著更廣的應(yīng)用意義.第二章提出的模糊下連續(xù)時(shí)間最優(yōu)停時(shí)理論為決策者處理各種時(shí)間上的最佳策略問題提供了更豐富的洞察力和更強(qiáng)大的工具.
　　 在馬爾科夫框架下具體求解最優(yōu)停時(shí)間題時(shí),比如美式期權(quán),我們一般是把我們的問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)自由邊界問題.在第三章的模糊框架下,我們借助偏微分方程的粘性解來刻畫我們的模糊下的值函數(shù)和最優(yōu)停時(shí).對應(yīng)于模糊下的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)停時(shí)間題,我們得到一類新的自由邊界問題.

7、該結(jié)果可以被看做Riedal(2009)離散模型中遞歸方法的推廣.在某些無窮時(shí)間水平下的應(yīng)用實(shí)例中,我們給出了一些顯示解.
　　 Royer(2006)引入了一類新的g-期望,該期望是通過由布朗運(yùn)動(dòng)和泊松隨機(jī)測度共同驅(qū)動(dòng)的倒向隨機(jī)微分方程定義的.在第四章,由Briand et al(2000),Jiang(2005a,2009)工作的啟發(fā),我們對應(yīng)研究新的g-期望和生成元g的性質(zhì),并得到新的表示定理和逆比較定理；此外我們還給出了

8、由新的g-期望控制的概率測度集的刻畫.
　　 以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論.
　　 第一章:我們研究在滿足次可加條件下和不滿足此條件下的Lenglart控制不等式的具體形式.
　　 定理1.2.4(次可加條件下的Lenglart控制不等式)在給定條件(H2),(H3)和(H4)下,已知càdlàG適應(yīng)過程Y在g-期望意義下被一個(gè)增過程K L-控制.對()∈,δ>0和()()∈S,那么
　　 定理1.3.1.

9、(不滿足次可加條件下的Lenglart控制不等式)假設(shè)càdlàg適應(yīng)過程Y在g-期望意義下被一個(gè)增過程K L-控制,其中g(shù)只滿足條件(H２)-(H３).對()∈,δ>0,()∈S,則
　　 第二章:在本章我引入模糊下的連續(xù)時(shí)間框架下的最優(yōu)停時(shí)原理.
　　 在第二章中本文主要有三個(gè)工作.首先,本文提出一個(gè)可行的理論框架.在該框架下本文詳細(xì)刻畫了所求停時(shí)間題的值過程,并研究了最優(yōu)停時(shí)間題關(guān)于模糊程度的最優(yōu)律.
　　

10、 以下定理是對值過程{Vt}ο≤t≤т的一個(gè)修正下的刻畫:
　　 定理2.2.17(Snell包絡(luò))在g-期望意義下,{Vt｝ο≤t≤т是過程｛Xt｝ο≤t≤т的Snell包絡(luò).并且過程{Vt｝ο≤t≤т存在一個(gè)RCLL修正{Vto}o≤t≤т.該過程具有性質(zhì)VT=VTO,a.s.,T∈S.
　　 以下的兩個(gè)結(jié)果是來刻畫最優(yōu)停時(shí).第一個(gè)結(jié)果是關(guān)于g-鞅性質(zhì)的刻畫；而第二個(gè)結(jié)果是依賴于值過程的描述.
　　 定理2.

11、2.18以下的兩個(gè)命題是等價(jià)的:
　　 (ⅰ).停時(shí)T*是最優(yōu)的,i.e.,εg[XT*]=Voo=supρ∈sεg[Xρ]；
　　 (ⅱ).存在停時(shí)T*∈S滿足VTo=XT*a.8.成立,并且過程{VtoΛT*｝o≤t≤т是一個(gè)g-鞅.
　　 定理2.2.19假設(shè)εg[supo≤t≤т Xt]<∞,且{Xt}o≤t≤т具有連續(xù)的路徑.則是一個(gè)最優(yōu)停時(shí).
　　 其次,當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡或者模糊厭惡程度改變時(shí),我們

12、可以進(jìn)行比較我們的停時(shí)大小.我們指出越足風(fēng)險(xiǎn)厭惡或越是模糊厭惡的客戶越早進(jìn)行交易.
　　 定理2.2.20(模糊最優(yōu)律1)給定{ct}o≤t≤т,兩個(gè)生成元g1=g1(c,y,z,w,t),g2=g2(c,y,z,w,t),滿足g1≤g2,a.e.,對任意的(y,z,w,t)∈R X Rd×Ω×[O,т].則Tgl≥Tg2,a.s.,其中Tg1,Tg2分別是對應(yīng)于g1,g2,的最優(yōu)停時(shí).
　　 定理2.2.21(模糊最優(yōu)

13、律2)給定生成元序列{gn｝∞n=1和g,且滿足9n↓g在以下意義下
　　 則Tgn→Tg,a.s.,其中Tgn和Tg分別是關(guān)于{gn｝∞n=1和g的最優(yōu)停時(shí).定理2.2.22對于停時(shí)間題(２.２８),我們有Tg,u≥Tg,U2,a.s.,其中Tg,U和Tg,U2是對應(yīng)于U和U2的最優(yōu)停時(shí).
　　 再次,我們給出了具有有界終端時(shí)間的與隨機(jī)終端時(shí)間的最優(yōu)停時(shí)值過程之間的關(guān)系.
　　 定理2.2.23對生成元g滿足本

14、文給定的條件下,則有
　　 第三章:在馬爾科夫的框架下,我們對最優(yōu)停時(shí)間題的值函數(shù)進(jìn)行了更具體的刻畫并得到新型的自由邊界問題.
　　 首先,我們引入一個(gè)viscosity smooth-fit條件:命題3.2.3(Viscosity Smooth-fit)對任意的正則點(diǎn)(t,x,c)∈(),我們有粘性解意義下的表示具體刻畫為:
　　 其中次(上)微分的集合定義為
　　 作為重要的結(jié)果之一,我們引入一個(gè)拋物

15、型的自由邊界問題來替代解決帶確定終端時(shí)刻的最優(yōu)停時(shí)間題:
　　 定理3.2.4(拋物型的自由邊界)假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)Ф=Ф(t,x,c)∈[о,т]×瞅X C和一個(gè)帶正則邊界點(diǎn)的開集合()={(t,x,c)∈[O,T)×RPx C:Ф(t,x,c)>Ф(t,x)}使得(Ф,())是如下自由邊界問題的一個(gè)唯一(粘性)解:并且離開()的首逸時(shí)()是一個(gè)最優(yōu)停時(shí).
　　 我們同時(shí)也有求解隨機(jī)終端時(shí)刻最優(yōu)停時(shí)間題的橢圓型自由邊

16、界問題:
　　 定理3.2.5(橢圓型自由邊界)假設(shè)我們可以找到一個(gè)連續(xù)函數(shù)Ф=Ф(x,c)∈Rp×C和包含正則點(diǎn)的開集()∈Rp X Rl使得(Ф,())是如下自由邊界問題的有界連續(xù)(粘性)解:
　　 其中g(shù)滿足和定理2.2.23相同的假設(shè)條件.()是離開集合()的首逸時(shí)并且滿足P(()<∞)=1.則
　　 停時(shí)()是最優(yōu)的.
　　 作為本章定理的應(yīng)用,我們列舉兩個(gè)例子:
　　 命題3.3.1(

17、模糊下的最優(yōu)投資時(shí)間)給定所求的價(jià)值函數(shù)
　　 其中x0=σ2I(1-π1)π2/σ2(1-π1)(π2-1)-2θ.此外,最優(yōu)停時(shí)T*是項(xiàng)目資產(chǎn)價(jià)值達(dá)到閾值x0的首中時(shí),其中π1,π2為
　　 命題3.3.2(模糊下的最優(yōu)投人或撤出)對于下列最優(yōu)停時(shí)間題的值函數(shù)
　　 那么我們可以得到最優(yōu)投入或撤出策略的值函數(shù)為
　　 其中X0為x0=λIπ1/π1-1.最優(yōu)撤出時(shí)間為資產(chǎn)價(jià)值{St｝t≥o達(dá)到閥值x0

18、的首中時(shí).參數(shù)π1,π2為
　　 第四章:本章我們得到一類新的生成元函數(shù)g的表示定理,并且給出了由新型g-期望控制的概率集合的一個(gè)刻畫.
　　 我們引入生成元g的一個(gè)表示定理:
　　 定理4.2.1對每一個(gè)(t,x,y,q)∈[O,T[xRnxRxRn,生成元g滿足假設(shè)(R2)-(R5),1≤P≤2,則
　　 定理4.2.4假設(shè)生成元g是獨(dú)立于y的并且滿足條件(R1),(R3)-(R5),那么我們可以得到