數(shù)學(xué)分析中的極限問題-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文終稿

1、<p><b>　　信陽(yáng)師范學(xué)院</b></p><p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　年 級(jí) </p>

2、;<p>　　姓 名 </p><p>　　論文題目 數(shù)學(xué)分析中的極限問題 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　**** 年 *月 * 日</

3、p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞1</b></p><p>　　Abstract1</p><p>　　Key words.1</p>&l

4、t;p><b>　　引言1</b></p><p><b>　　1.綜述2</b></p><p>　　1.1極限的產(chǎn)生與發(fā)展2</p><p>　　1.2極限問題的類型3</p><p>　　2.常見的極限求解方法3</p><p>　　2.1簡(jiǎn)單求極限的方

5、法3</p><p>　　2.2利用兩個(gè)重要極限公式求極限4</p><p>　　2.3利用洛必達(dá)法則求極限5</p><p>　　2.4利用極限的四則運(yùn)算法則求極限6</p><p>　　2.5利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限6</p><p>　　2.6利用定積分求極限7</p><p>

6、;　　2.7利用泰勒公式求極限8</p><p>　　2.8兩邊夾法則求極限9</p><p>　　2.9利用單側(cè)極限求極限10</p><p>　　2. 10利用中值定理求極限11</p><p><b>　　小結(jié)12</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)13<

7、;/b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析中的極限問題</p><p>　　學(xué)生姓名：** 學(xué)號(hào)：*********</p><p>　　數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)</p><p>　　指導(dǎo)教師：** 職稱：**</p><p>　　摘 要：極限是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科的基礎(chǔ)，通過極限思想、

8、借助極限工具使數(shù)學(xué)分析內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)分析的始末. 本文主要是對(duì)數(shù)學(xué)分析中的極限的產(chǎn)生與發(fā)展，以及常見極限的若干常規(guī)解法進(jìn)行了討論和研究. 本文的重點(diǎn)在第二章，具體介紹了運(yùn)用四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、兩邊夾法則、等價(jià)無(wú)窮小替換等方法求解極限.</p><p>　　關(guān)鍵詞：四則運(yùn)算法則；洛比達(dá)法則；泰勒公式；兩邊夾法則.</p><p>　　Abstract: Limit is

9、the basis of mathematical analysis of the subject, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly

10、to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the common limit of conventional method are disscussed and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmet

11、ic are analysised in detail, two importan</p><p>　　Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; both sides grip rule.</p><p><b>　　引言</b></p><

12、;p>　　極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無(wú)限過程中的變化趨勢(shì)的重要概念，是從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法，能夠通過舊事物的量的變化規(guī)律，去計(jì)算新事物的量. 因此，極限具有由此達(dá)彼的重大創(chuàng)新作用. 同時(shí)，極限是研究微積分的理論基礎(chǔ)和基本手段，它一直貫穿于該學(xué)科的始終. 極限的思想方法不僅在整個(gè)分析學(xué)的建立和發(fā)展中起著基本作用，而且還廣泛應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)分支和自然科學(xué). 同時(shí)，考研數(shù)學(xué)中也少不了有關(guān)于極限的題目.&

13、lt;/p><p>　　極限的思想方法作為人類發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并解決數(shù)學(xué)問題的一種重要手段，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，社會(huì)生產(chǎn)力的不斷提高，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上將發(fā)揮越來越重要的作用. 因此，探討如何求極限、怎樣使求極限變得容易，是一個(gè)非常具有現(xiàn)實(shí)意義的重要問題. 求極限不僅要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要清楚認(rèn)識(shí)各種極限的類型，并熟練應(yīng)用多種求極限的基本方法.眾所周之，求極限的方法繁多且變化靈活，不易掌握

14、. 本文在總結(jié)各種常用的求極限方法的同時(shí)，更重要的是，也會(huì)提出一些創(chuàng)新的極限求解方法，希望能夠開拓思路，起到拋磚引玉的作用. </p><p><b>　　1.綜述</b></p><p>　　1.1極限的產(chǎn)生與發(fā)展</p><p>　　早在兩千多年前，我國(guó)的惠施就在莊子的《天下篇》中有一句著名的話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，惠施提出了

15、無(wú)限變小的過程，這是我國(guó)古代極限思想的萌芽.</p><p>　　我國(guó)三國(guó)時(shí)期的大數(shù)學(xué)家劉徽（約225年～295年）的割圓術(shù)，通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓周，劉徽計(jì)算了圓內(nèi)接正3072邊形的面積和周長(zhǎng)，從而推得.在國(guó)外一千多年以后歐洲人安托尼茲才算到同樣精確度的小數(shù).這扇窗口閃爍著我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)水平和才能的光輝.劉徽的割圓術(shù)不僅僅是先導(dǎo)，而且是一面旗幟，為研究復(fù)雜的逼近數(shù)列打開了先河.</

16、p><p>　　16世紀(jì)前后，歐洲資本主義的萌芽和文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)促進(jìn)了生產(chǎn)力和自然科學(xué)的發(fā)展. 17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了微積分. 隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，遇到的數(shù)量關(guān)系也日益復(fù)雜，例如研究天體運(yùn)行的軌道等問題已超出直觀范圍.在這種情況下，微積分的薄弱之處也越來越暴露出來，嚴(yán)格的極限定義就顯得十分迫切需要. 經(jīng)過近百年的爭(zhēng)論，直到19世紀(jì)上半葉人們通過對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究和總結(jié)，明確的認(rèn)

17、識(shí)了極限的概念. </p><p>　　德國(guó)著名數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯通過靜態(tài)刻板的定義，描述了無(wú)限的過程，刻畫了極限，對(duì)于數(shù)列如果找到一個(gè)實(shí)數(shù)，無(wú)論預(yù)先指定多么小的正數(shù)，都能夠在數(shù)列中找到一項(xiàng)，使得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與的差的絕對(duì)值都小于，就把這個(gè)實(shí)數(shù)叫做數(shù)列的極限.</p><p>　　1.2極限問題的類型</p><p>　　數(shù)列極限定義 設(shè)為實(shí)數(shù)數(shù)列，為定

18、數(shù)，任意，總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限.</p><p>　　不等式刻畫了與的無(wú)限接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)可以任意地小，說明與可以接近到任何程度. 然而，盡管有其任意性，但一經(jīng)給出正整數(shù)就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出，又既是任意小的正數(shù)，那么, 的平方等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義中不定式中的可用, 的平方等來代替. 同時(shí)，正由于是任意小正數(shù)，我們可限定小

19、于一個(gè)確定的正數(shù).</p><p>　　函數(shù)極限定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作.</p><p>　　2.常見的極限求解方法</p><p>　　數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，本章將介紹幾種常見的極限求解方法，這些

20、方法均有各自的特點(diǎn)，因?yàn)檫@些常見的方法是研究極限求解的基礎(chǔ)，需要我們?nèi)ド羁痰睦斫獠⒃鷮?shí)的掌握.我們羅列出一些常用的求法.</p><p>　　2.1簡(jiǎn)單求極限的方法</p><p>　　我們知道，在同一趨近過程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；有界量乘以無(wú)窮小量等于無(wú)窮小量；有限個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和 、差、積仍為無(wú)窮小量，以及利用函數(shù)的連續(xù)性可以求出某些函數(shù)的極限.</p>

21、<p><b>　　例1 求極限.</b></p><p>　　解 當(dāng)時(shí)，分母的極限為0，而分子的極限不為0，可以先求出所給函數(shù)的倒數(shù)的極限</p><p><b>　　,</b></p><p>　　利用無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量，故 .</p><p><b>　　例2

22、 求極限.</b></p><p>　　解 運(yùn)用極限運(yùn)算的四則運(yùn)算法則，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量，為有界

23、量，所以</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2利用兩個(gè)重要極限公式求極限</p><p>　　我們所熟悉的兩個(gè)重要極限是</p>

24、<p><b>　　(i)則,</b></p><p><b>　　(ii)則,</b></p><p>　　其中，第一個(gè)重要極限是“”型；第二個(gè)重要極限是“”型.</p><p>　　利用重要極限求函數(shù)極限時(shí)，關(guān)鍵在于把要求的函數(shù)極限化成重要極限的標(biāo)準(zhǔn)型或者它們的變形，這就要抓住重要極限公式的特征，并且能夠根據(jù)

25、它們的特征，辨認(rèn)它們的變形，有時(shí)會(huì)利用到歸結(jié)原則.</p><p><b>　　例3 求極限</b></p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　例4 求極限.</b></p><p><b>　　解 ，當(dāng)時(shí)，有</b>

26、;</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而由歸結(jié)原則（?。┯?lt;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是，由數(shù)列極限的迫斂性得</p><p><b>　　.</b></p><p>

27、　　2.3利用洛必達(dá)法則求極限</p><p>　　定理1 若函數(shù)與滿足</p><p><b>　　(i) </b></p><p>　　(ii) 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；</p><p>　　(iii) （可為實(shí)數(shù)，也可為或）,則 </p><p><b>　　.<

28、/b></p><p><b>　　例5 求極限.</b></p><p><b>　　解 利用,得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　應(yīng)用洛必達(dá)法則計(jì)算待定型極限需要注意的問題</p><p>　　(1)

29、審查計(jì)算的極限是不是待定型，如果不是待定型就不能運(yùn)用洛必達(dá)法則，因?yàn)樗粷M足洛必達(dá)法則的條件.</p><p>　　(2)除計(jì)算“”或者“”兩種待定型外，計(jì)算其它五種待定型都要用對(duì)數(shù)或代數(shù)運(yùn)算將它們化為待定型“”或者“”,然后再應(yīng)用洛比達(dá)法則.</p><p>　　(3)在求極限的過程中，有可約的因子或者極限不是零的因子，可以先約去或從極限符號(hào)內(nèi)取出.</p><p&g

30、t;　　(4)要特別注意，一般來說，應(yīng)用洛必達(dá)法則計(jì)算待定型極限都比較簡(jiǎn)單.但是對(duì)少數(shù)的待定型極限應(yīng)用洛比達(dá)法則，并不簡(jiǎn)單.</p><p>　　2.4利用極限的四則運(yùn)算法則求極限</p><p>　　定理2（極限的四則運(yùn)算法則） 若，，則</p><p><b>　　(i) ，</b></p><p><b&

31、gt;　　(ii)，</b></p><p><b>　　(iii)若，則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　綜上所述，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商.</p><p><b>　　例6 求極限.</b>&

32、lt;/p><p><b>　　解 =.</b></p><p>　　2.5利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限</p><p>　　以下是當(dāng)時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系</p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小代換法 設(shè) 都是同一極限過程中的無(wú)窮小量，且有 存在，則 也存在，且有</p><p><b>　　.&

33、lt;/b></p><p><b>　　例7 求極限.</b></p><p><b>　　解 因?yàn)?，故 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例8 求極限</b></p><p

34、>　　解 有等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系 </p><p>　　2.6利用定積分求極限</p><p>　　由于定積分是積分和的極限，因此，某些和式問題可以化為定積分的計(jì)算，使運(yùn)算得以完成.</p><p><b>　　例9 求極限.</b></p><p><b>　　解 </b></p>

35、;<p><b>　　.</b></p><p>　　可取函數(shù)，上述和式恰好是,在上等分的積分和，所以</p><p>　　2.7利用泰勒公式求極限</p><p><b>　　常用泰勒公式展開</b></p><p><b>　　例10 求極限.</b><

36、;/p><p>　　解 利用泰勒公式，當(dāng)時(shí),，于是</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例11 求極限.</b></p><p>　　解 應(yīng)用泰勒公式，將函數(shù)，，展開到項(xiàng)，有</p><p>　　將它們代入上式，整理，得</p>

37、<p><b>　　.</b></p><p>　　2.8兩邊夾法則求極限</p><p>　　當(dāng)極限不易求出時(shí)，可考慮將所求極限變量，做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，是放大或縮小的新變量，易于求極限，且二者的極限值相等，則原極限存在，切等于此公共值.</p><p><b>　　例11 求極限.</b></p&g

38、t;<p>　　解 因?yàn)槭菍?duì)取整，則</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，, </b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，, 故</b></p><p><b>　　.</b></p>&

39、lt;p><b>　　例12 設(shè)求極限</b></p><p><b>　　解 當(dāng)分子時(shí)，有</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，當(dāng)時(shí)，, 所以</p><p><b>　　.</b></p>

40、<p>　　2.9利用單側(cè)極限求極限</p><p>　　可以用單側(cè)極限求解的問題類型如下 </p><p>　　(1) 求含的函數(shù)趨向無(wú)窮的極限，或求含的函數(shù)趨于0的極限;</p><p>　　(2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;</p><p>　　(3) 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;</p><p>　　(4

41、) 含偶次方根的函數(shù)以及的函數(shù)，趨向無(wú)窮的極限.</p><p>　　這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在.</p><p>　　例13 設(shè)函數(shù) ,求在的極限.</p><p><b>　　解 由于</b></p>

42、<p><b>　　,,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　.</b></p><

43、;p>　　2. 10利用中值定理求極限</p><p>　　拉格朗日(Lagrange）中值定理 若函數(shù)滿足如下條件</p><p>　　(i) 在閉區(qū)間上連續(xù) ；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　.</b

44、></p><p>　　例14 求函數(shù)極限 . </p><p><b>　　解 因?yàn)?</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　積分中值定理 若在上連續(xù)，則至

45、少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例15 求極限 為某實(shí)數(shù).</p><p>　　解 由積分中值定理，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因?yàn)闉榻橛谂c之間的某值，則</p><p&

46、gt;<b>　　或 ，</b></p><p>　　而，由無(wú)窮小量與有界量的乘積仍為無(wú)窮小量及迫斂性得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理（推廣的積分第一中值定理） 若函數(shù)與在上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則至少有一點(diǎn)，使得 </p><p><b>　　.<

47、;/b></p><p>　　例16 求函數(shù)極限.</p><p>　　解 由題 均在上連續(xù)，且不變號(hào)，由推廣的積分第一中值定理</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　以上所求極限的方法各有條件、各具

48、特色,因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同,我們必須根據(jù)其條件來判斷極限的類型,進(jìn)而根據(jù)類型來找到解決問題的方法.當(dāng)然,有些題目有可能可以用多種方法來解決,此時(shí),我們不可以死搬硬套,要從繁瑣中找復(fù)雜,在復(fù)雜中找簡(jiǎn)單,而關(guān)于如何做到這一點(diǎn),就必須在做題中不斷總結(jié)、摸索、領(lǐng)悟各種方法的精髓,才能熟練而有靈活的掌握與運(yùn)用各種求極限的方法.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p

49、><p>　　[1] 林源渠，方企勤. 數(shù)學(xué)分析解題指南.[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.</p><p>　　[2] 郝涌，李學(xué)志，陶有德. 數(shù)學(xué)分析選講.[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2010.</p><p>　　[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué).[M].北京：高等教育出版社，1996.</p><p>　　[4] 劉玉璉，楊

50、奎元，劉偉，呂風(fēng). 數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書.[M].北京：高等教</p><p>　　育出版社，2003.</p><p>　　[5] 孫清華，孫昊． 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧.[M]．華中科技大學(xué)出版社， 2003.</p><p>　　[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析上冊(cè)第三版.[M].高等教育出版社，2001.</p><p>