數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></

3、p><p>　　數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí), 是建立數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想. 任何數(shù)學(xué)知識(shí)的理解, 數(shù)學(xué)概念的掌握, 數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用, 數(shù)學(xué)理論的建立, 無(wú)一不是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)和運(yùn)用. 由于數(shù)學(xué)思想的深入研究, 人們對(duì)數(shù)學(xué)分析也有了更深的理解并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中也隱含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 本文將介紹數(shù)學(xué)思想方法的涵義和研究數(shù)學(xué)思想方法的意義, 再著重分析歸納數(shù)學(xué)分析中蘊(yùn)含的主要的數(shù)學(xué)思想方法,

4、 即函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學(xué)建模思想，并結(jié)合典型的例子來(lái)體現(xiàn)這些思想. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)思想方法; 數(shù)學(xué)概念; 數(shù)學(xué)分析</p><p>　　Mathematical Thought in Mathematical Analysis</p><p><b>　　Abstract</b></p&

5、gt;<p>　　Mathematical thought is the natural understanding of mathematical concepts, methods and theory, it is the guiding thought to establish mathematical theory and solve mathematical problems. Any understandin

6、g of mathematical knowledge, mastery of mathematical concepts, the application of mathematical methods and establishment of mathematical theory is the embodiment and application of mathematical thought. As the in-depth s

7、tudy of mathematical thought, people had a deeper understanding of mathemati</p><p>　　Keywords: Mathematical thought; Mathematical concept; Mathematical analysis</p><p><b>　　目錄</b>&l

8、t;/p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 數(shù)學(xué)思想方法3</p><p>　　2.1數(shù)學(xué)思想方法的涵義3</p><p>　　2

9、.2研究數(shù)學(xué)思想方法的意義和目的3</p><p>　　3 數(shù)學(xué)分析中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法5</p><p><b>　　3.1函數(shù)思想5</b></p><p><b>　　3.2極限思想6</b></p><p><b>　　3.3化歸思想8</b></p&g

10、t;<p>　　3.4數(shù)形結(jié)合思想10</p><p>　　3.5數(shù)學(xué)建模思想13</p><p><b>　　4 小結(jié)16</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)17</b></p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p>&l

11、t;b>　　1 前言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂, 如果把數(shù)學(xué)的知識(shí)比喻為金子, 那么數(shù)學(xué)思想方法就是 “點(diǎn)金術(shù)”. 數(shù)學(xué)的知識(shí)可以記憶一時(shí), 而數(shù)學(xué)的思想與方法卻永遠(yuǎn)發(fā)揮作用, 可以終身受益, 它是數(shù)學(xué)的力量所在, 是數(shù)學(xué)教育的根本目的之所在. </p><p>　　長(zhǎng)期以來(lái), 由于人們過(guò)于注重記述數(shù)學(xué)研究成果, 而忽視交流和刊發(fā)取得成果的真實(shí)經(jīng)過(guò)

12、和思想方法. 因此, 數(shù)學(xué)思想方法的研究進(jìn)展緩慢. 但是隨著社會(huì)和科技的發(fā)展, 人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性. 從20世紀(jì)70年代開(kāi)始我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治在研究數(shù)學(xué)思想方法方面做了很多工作, 并在1979年撰寫(xiě)了《淺談數(shù)學(xué)方法論》, 這是中國(guó)學(xué)者在數(shù)學(xué)思想方法這一領(lǐng)域的第一部著作. 1983年, 他又在《數(shù)學(xué)方法論選講》中明確指出, 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)方法論的主要研究對(duì)象. 在此期間, 由解恩澤和徐本順編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)思想方法》提出

13、了數(shù)學(xué)思想方法研究的對(duì)象和范圍. 自20世紀(jì)90年代開(kāi)始, 涉及到數(shù)學(xué)思想方法的著作越來(lái)越多. </p><p>　　由于數(shù)學(xué)思想的深入研究, 人們對(duì)數(shù)學(xué)分析也有了更深的理解并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中也隱含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 近十多年來(lái), 各類(lèi)期刊雜志上也刊登了許多關(guān)于數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法的文章. </p><p>　　1995年葛仁福發(fā)表了《略談數(shù)學(xué)分析中類(lèi)比化歸思想》, 他認(rèn)為類(lèi)比化歸是

14、一種重要的思想方法. 數(shù)學(xué)分析中許多概念都可通過(guò)類(lèi)比化歸來(lái)揭示其本質(zhì), 甚至得到另外的新概念. 在進(jìn)行級(jí)數(shù)理論教學(xué)時(shí), 完全可以同數(shù)列的極限理論聯(lián)系起來(lái). 此外, 數(shù)學(xué)分析中還有許多的內(nèi)容都滲透著類(lèi)比化歸的思想. 2000年盧潔發(fā)表了《論函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)的辯證數(shù)學(xué)思想》, 文章主要針對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)這一重要內(nèi)容, 從三方面——級(jí)數(shù)展開(kāi)的形式、展開(kāi)的內(nèi)涵和展開(kāi)的條件, 深入揭示它們所蘊(yùn)含的豐富多彩的辯證數(shù)學(xué)思想. 2001年趙麗棉發(fā)表

15、了《試析數(shù)學(xué)分析的數(shù)學(xué)思想方法特點(diǎn)》, 在文章中她闡述了五種數(shù)學(xué)思想方法. 第一是極限思想方法. 第二是數(shù)學(xué)模型方法. 如導(dǎo)數(shù)與積分都是為解決求瞬時(shí)速度切線斜率最值求積等實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生的因而它們的形成過(guò)程無(wú)不體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程而這些基本概念的應(yīng)用更是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的具體體現(xiàn). 第三是關(guān)系映射反演方法, 簡(jiǎn)稱為RMI法. 第四是數(shù)形結(jié)合思想方法. 第五是一般化與特殊化的方法. 2007年孔君香在《數(shù)學(xué)分析中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想》這一論文

16、中對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中體現(xiàn)的函數(shù)思想、極限思想、連續(xù)</p><p>　　本文將綜合整理上述文章中的數(shù)學(xué)思想, 介紹幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想, 如函數(shù)思想、極限思想、化歸思想等重要思想以及它們?cè)跀?shù)學(xué)分析中的體現(xiàn). 本文的第一部分主要介紹了數(shù)學(xué)思想方法的涵義以及研究數(shù)學(xué)思想方法的意義和目的. 在此基礎(chǔ)上, 第二部分闡述了數(shù)學(xué)的函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及建模思想, 并且每種思想都通過(guò)若干典型的例子來(lái)說(shuō)明它們

17、在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用. </p><p><b>　　2 數(shù)學(xué)思想方法</b></p><p>　　2.1數(shù)學(xué)思想方法的涵義</p><p>　　關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法, 其作為數(shù)學(xué)教育的重要組成部分, 己經(jīng)越來(lái)越引起人們的關(guān)注. 那么, 什么是數(shù)學(xué)思想方法呢? 數(shù)學(xué)思想方法是不是就是數(shù)學(xué)思想加數(shù)學(xué)方法呢? 根據(jù)鄭毓信教授的觀點(diǎn), 數(shù)學(xué)思想方法不能理解

18、為數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單合成問(wèn)題. 結(jié)合多篇文章中關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的敘述, 我們可以這樣來(lái)理解這一概念. 一般來(lái)說(shuō), 數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反應(yīng)到人的意識(shí)之中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果, 它是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法, 屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí), 人們常用它代表某些內(nèi)容豐富、體系完整、具有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)成果. 它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精髓和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn), 主要的數(shù)學(xué)思想有: 函數(shù)與方程思想、極限思想、數(shù)形結(jié)合思想

19、、化歸思想、整體與局部思想、分類(lèi)討論思想等. 而數(shù)學(xué)方法則是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述事物的狀態(tài)關(guān)系和過(guò)程, 并加以推導(dǎo)、分析和運(yùn)算, 以形成對(duì)問(wèn)題的解析、判斷和預(yù)言的方法. 換言之, 數(shù)學(xué)方法是人們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種手段. 它在運(yùn)用時(shí)具有過(guò)程性、層次性和可操作性的特點(diǎn).</p><p>　　張奠宙教授認(rèn)為: “同一數(shù)學(xué)成就, 當(dāng)用它去解決別的問(wèn)題時(shí)稱之為方法, 當(dāng)評(píng)價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時(shí)就稱之為思想.” 數(shù)學(xué)思

20、想是隱含的, 數(shù)學(xué)方法則是外顯的. 數(shù)學(xué)思想是對(duì)應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論依據(jù), 數(shù)學(xué)方法則是實(shí)施相應(yīng)思想的手段. 它們之間是相互滲透、相互促進(jìn)和緊密聯(lián)系的, 而不是相互排斥和相互分離的. 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo), 并以數(shù)學(xué)方法為手段的. 因此, 人們常將兩者統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法. </p><p>　　作為一個(gè)應(yīng)用極為廣泛的概念, 劉兼在《21世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)研究展望》中給出了如下定義: 數(shù)學(xué)思想方法是指在認(rèn)識(shí)

21、或處理各種數(shù)學(xué)或者非數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思維過(guò)程中, 所表現(xiàn)出來(lái)的種種數(shù)學(xué)觀念及思維形式. </p><p>　　2.2研究數(shù)學(xué)思想方法的意義和目的</p><p>　　數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明主要是方法上的創(chuàng)新. 數(shù)學(xué)的發(fā)展絕不僅僅是知識(shí)的積累和增加, 它需要有新的思想方法的參與, 才會(huì)有創(chuàng)新, 發(fā)現(xiàn)和發(fā)明. 因此, 從宏觀意義上來(lái)說(shuō), 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵和動(dòng)力. 也就是說(shuō), 對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律

22、的研究及明確的認(rèn)識(shí), 我們顯然可以幫助努力去創(chuàng)造有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的良好環(huán)境. 華羅庚說(shuō): “新的數(shù)學(xué)方法和觀念, 常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要. 因?yàn)樗麄冇懈毡榈淖饔门c意義, 并能將數(shù)學(xué)引向深入發(fā)展. ” </p><p>　　從數(shù)學(xué)的教學(xué)工作而言, 數(shù)學(xué)思想方法事實(shí)上是對(duì)我們的數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求, 即我們不僅應(yīng)當(dāng)注意具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授, 而且也應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法方面的訓(xùn)練和培養(yǎng). 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是, 在這兩

23、者之間存在著相輔相成的辯證關(guān)系. 例如, 只有注意數(shù)學(xué)思想方法的分析, 我們才能把數(shù)學(xué)可講話、讀懂、講深. 所謂 “講話” 就是讓學(xué)生看到活生生的數(shù)學(xué)研究工作, 而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí); 所謂 “講懂” , 就是讓學(xué)生真正理解有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容, 而不是囫圇吞棗、死記硬背; 所謂 “講深” , 則是指使學(xué)生不僅能掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí), 而且也能領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法. 另外, 從數(shù)學(xué)思想方法而言, 只有與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)密切相結(jié)合, 并真正滲透于

24、其中, 才不會(huì)成為借題發(fā)揮、夸夸其談、紙上談兵的空頭文章. 因此, 學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)思想方法將對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、提高教師的數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)術(shù)水平起到積極的作用. </p><p>　　從更為基本的意義上說(shuō), 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是指具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí), 而且也是指數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí), 自覺(jué)地以數(shù)學(xué)思想方法來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí), 也可收到更好的學(xué)習(xí)效果. 即使大多數(shù)學(xué)習(xí)者將來(lái)必會(huì)用到任何超出中學(xué)水平的數(shù)學(xué)知識(shí), 但是數(shù)學(xué)的思想方法

25、對(duì)他們?nèi)杂兄謴V泛的指導(dǎo)意義. 另外, 即使就未來(lái)的數(shù)學(xué)工作者而言, 重要的問(wèn)題顯然也在于如何去作出新的創(chuàng)造, 而所學(xué)到的具體數(shù)學(xué)知識(shí)只是為這種創(chuàng)造性工作提供了一個(gè)必要的基礎(chǔ). 因此,我們應(yīng)充分肯定數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的重要意義. </p><p>　　數(shù)學(xué)的思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略, 是數(shù)學(xué)的靈魂. 因此, 在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法, 是提高思維水平, 領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值,

26、建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念的必由之路. </p><p>　　數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語(yǔ)言及工具, 將同語(yǔ)言、宗教和藝術(shù)意義, 是人類(lèi)文化影響全局的部分.尤其是數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、行為科學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用, 使得現(xiàn)代科學(xué)的任何部分幾乎都已帶上了抹不掉的數(shù)學(xué)印記. 而數(shù)學(xué)思想方法, 是在人們頭腦中起到長(zhǎng)久作用的數(shù)學(xué)的觀念和文化, 數(shù)學(xué)的精神和態(tài)度, 它使人表達(dá)清楚、思維敏捷、工作有條理; 使人善于處世與做事, 使人實(shí)事求是,

27、 鍥而不舍; 使人得到文化方面的修養(yǎng), 從而更好地理解并改造社會(huì).</p><p>　　3 數(shù)學(xué)分析中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法</p><p>　　隨著數(shù)學(xué)思想方法理論的完善, 人們將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域, 而數(shù)學(xué)分析中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也被逐漸挖掘. 它主要包括以下幾個(gè)方面, 即函數(shù)思想、極限思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學(xué)建模思想. 下面我們就來(lái)一一介紹以上幾種思想.&l

28、t;/p><p><b>　　3.1函數(shù)思想</b></p><p>　　17世紀(jì)以前, 人們對(duì)數(shù)學(xué)的需要還停留在常量數(shù)學(xué)的范圍內(nèi), 1692年萊布尼茲首次使用了 “function” 一詞. 函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學(xué)進(jìn)人了變量數(shù)學(xué). 函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系, 建立函數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題的思想方法. 它是一種由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究變化過(guò)程的思想.

29、 而變量之間的對(duì)應(yīng)則是函數(shù)的本質(zhì)特征.</p><p>　　函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象, 也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ). 函數(shù)與方程有非常密切的關(guān)系, 方程的根可視為其相應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值. 即在研究方程問(wèn)題時(shí), 特別是證明方程根的存在性及其個(gè)數(shù)時(shí), 如果我們采用函數(shù)的思想, 問(wèn)題也就迎刃而解. 因此, 在解題中如果充分合理地運(yùn)用函數(shù)的思想方法, 有時(shí)會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便. 正如偉大的數(shù)學(xué)家所說(shuō)的: “一般

30、的教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會(huì)的重要事情是用變量和函數(shù)來(lái)思考, 函數(shù)的思想貫穿于數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用的每一場(chǎng)合.”</p><p>　　函數(shù)思想的運(yùn)用使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理達(dá)到了統(tǒng)一. 例如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值以及拉格朗日中值定理證明中都要用到導(dǎo)函數(shù), 即通過(guò)函數(shù)的思想方法解決問(wèn)題; 除了數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題之外, 許多物理問(wèn)題、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決, 也都要把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù), 而這些問(wèn)題的解決無(wú)一不是通過(guò)對(duì)函數(shù)的研究.&l

31、t;/p><p>　　例3.1證明下列不等式:</p><p>　　證 設(shè) 則 故當(dāng)時(shí), , 嚴(yán)格遞增; 當(dāng)時(shí), 則當(dāng)時(shí), , 嚴(yán)格遞減. 又由于在處連續(xù), 則當(dāng)時(shí)</p><p><b>　　從而證得</b></p><p>　　我們?cè)谧C明不等式時(shí), 可以將不等式問(wèn)題化為函數(shù)問(wèn)題, 為解決問(wèn)題帶來(lái)方便.</p>

32、<p>　　例3.2 求數(shù)列的最大項(xiàng).</p><p><b>　　解 把數(shù)列寫(xiě)出來(lái)即</b></p><p>　　如果通過(guò)比較的方法來(lái)求解是不切實(shí)際的. 因此我們可以利用函數(shù)的方法進(jìn)行運(yùn)算. 在這里我們作函數(shù) 并在上展開(kāi)來(lái)討論. 因?yàn)?</p><p>　　令得在處達(dá)到最大值. 因?yàn)橹恍璞容^和的大小即可. 由于</p&g

33、t;<p>　　故當(dāng)時(shí), 數(shù)列取最大值</p><p>　　數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)的一類(lèi)特殊函數(shù). 從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā), 將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題, 是解決數(shù)列問(wèn)題的一種有效方法. 同理, 我們也可以將這種思想方法用在級(jí)數(shù)問(wèn)題中. </p><p><b>　　3.2極限思想</b></p><p>　　所謂極限的思想是用有限描

34、述無(wú)限、由近似過(guò)渡到精確的一種思想方法, 它更是一種工具、一種過(guò)程, 特別是關(guān)于變化趨勢(shì) “無(wú)窮小” 的過(guò)程. 如果讓你解決一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題, 并且一下子又能加以解決, 這時(shí)你不妨將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為個(gè)按一定順序串聯(lián)起來(lái)的但比較容易解決的問(wèn)題, 這些問(wèn)題一個(gè)比一個(gè)更加逼近原來(lái)的問(wèn)題. 隨著這些問(wèn)題的順次解決, 你也就應(yīng)用極限的方法得到了原來(lái)的答案. </p><p>　　極限思想是經(jīng)過(guò)一系列的階段而形成并完善的, 它主

35、要有四個(gè)時(shí)期. 第一個(gè)時(shí)期是極限思想的萌芽時(shí)期. 這就是莊周所描述的 “一尺之捶, 日取其半, 萬(wàn)世不竭” . 第二個(gè)時(shí)期是極限思想的形成時(shí)期. 當(dāng)時(shí)劉徽為了生產(chǎn)實(shí)際的需要, 如糧倉(cāng)的建造、四季的確定, 就對(duì)作進(jìn)一步的研究. 它在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了割圓術(shù), 從而開(kāi)創(chuàng)了對(duì)研究的先河. 第三個(gè)時(shí)期是極限思想的發(fā)展時(shí)期. 隨著社會(huì)的發(fā)展, 生產(chǎn)實(shí)際的需要, 微積分的發(fā)展, 都需對(duì)極限的概念作進(jìn)一步的研究, 牛頓與萊布尼茲等科學(xué)家對(duì)此作

36、了較大貢獻(xiàn). 第四個(gè)時(shí)期是極限思想的嚴(yán)格化時(shí)期, 魏爾斯特拉斯、波爾察諾、柯西等科學(xué)家的研究, 使極限概念得到了嚴(yán)格化, 這也是微積分發(fā)展史上的一個(gè)重要標(biāo)志. 通過(guò)上述時(shí)期, 極限思想逐步形成和發(fā)展并在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)分析中獲得了廣泛的應(yīng)用. 這種思想不但在現(xiàn)代分析中有廣泛的應(yīng)用, 而且對(duì)人們認(rèn)識(shí)世界、認(rèn)識(shí)白然、認(rèn)識(shí)人類(lèi)社會(huì)都有不可估量的作用. </p><p>　　極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想, 數(shù)學(xué)分析就是以極

37、限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科. 有了極限的概念以后, 在此基礎(chǔ)上又建立了連續(xù)的概念、導(dǎo)數(shù)的概念、積分的概念以及級(jí)數(shù)的概念等等. 極限的思想方法的應(yīng)用使許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題得以解決, 這也是數(shù)學(xué)分析區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的主要方面. </p><p>　　例3.3 曲邊梯形由非負(fù)連續(xù)曲線以及軸、直線與所圍成, 求此曲邊梯形的面積. </p><p><b>　

38、　解題思路為:</b></p><p>　　(1) 將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形 (如圖3.1) .</p><p>　　(2) 當(dāng)趨向于無(wú)窮, 且當(dāng)所有的都很小時(shí), 每個(gè) (1) 中的曲邊梯形都可看成小矩形. 第個(gè)小曲邊梯形面積</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　

39、此時(shí)</b></p><p>　　(3) 當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 即當(dāng)</p><p><b>　　無(wú)限接近于0時(shí), </b></p><p>　　也就無(wú)限趨近于這個(gè)曲邊梯形的面積S, 故</p><p>　　積分這個(gè)重要概念是從求曲邊梯形面積的實(shí)際問(wèn)題中用極限思想方法升華而得到的. 也就是說(shuō), 積分都是建立在極限之

40、上的. 此外, 導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念是從求瞬時(shí)速度的實(shí)際問(wèn)題中總結(jié)出來(lái)的. 而數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)問(wèn)題、微分問(wèn)題、級(jí)數(shù)問(wèn)題也都是以極限為基礎(chǔ)的. 總之, 極限思想方法貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)分析課程. </p><p><b>　　3.3化歸思想</b></p><p>　　我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí), 思考的重點(diǎn)就是把所需要解決的為題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題. 也就是說(shuō), 在求解不易直接或正面找到解題

41、途徑的問(wèn)題時(shí), 我們往往轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式, 從側(cè)面或反面尋找突破口, 直到最終把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)或若干個(gè)已知的或簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 這就是數(shù)學(xué)思維中一種重要的思想——化歸思想.</p><p>　　匈牙利著名的數(shù)學(xué)家露莎曾說(shuō)過(guò), “對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程來(lái)說(shuō)是很典型的, 他們往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的進(jìn)攻, 而不是不斷地把它變形, 直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題. ”</p><p>　　化歸的基本目的是

42、: 化難為易, 化繁為簡(jiǎn), 化暗為明. 化歸的基本思想是: 我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候, 經(jīng)常將需要解決的問(wèn)題, 通過(guò)化歸途徑轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題, 而問(wèn)題是相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 問(wèn)題的解答是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決而得到. 化歸思想主要包括三部分, 即化歸對(duì)象, 化歸目標(biāo)與化歸途徑. 其用框圖可直觀表示為圖3.2.</p><p>　　在數(shù)學(xué)中, 化歸就伴隨著所有的問(wèn)題解決, 將未知化歸為已知, 將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題, 將整

43、體問(wèn)題分割為部分問(wèn)題去研究等等, 都是化歸思維的具體體現(xiàn). 例如在數(shù)學(xué)分析中我們經(jīng)常會(huì)將函數(shù)的極值、單調(diào)性以及凹凸性的問(wèn)題化歸為導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題; 將復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題化歸為基本初等函數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題; 將曲邊梯形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積分別化歸為定積分和重積分的問(wèn)題.</p><p><b>　　例3.4求極限</b></p><p>　　解 因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的泰勒展開(kāi)式為:<

44、/p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p><b>　　所以原極限為:</b></p><p>　　此極限為錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和. 并且我們知道的泰勒展開(kāi)式與這個(gè)式子比較接近, 可以用該級(jí)數(shù)解決此問(wèn)題. 即將極限轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)來(lái)求解

45、. </p><p><b>　　例3.5求</b></p><p><b>　　解 設(shè)</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　利用定積分定義, 得:</p><p><b>　　所以原極限為:</b>

46、</p><p>　　此題為求有限和的極限, 通過(guò)恒等變形, 可以轉(zhuǎn)化為定積分的一般求解過(guò)程. 即將極限轉(zhuǎn)化為定積分的問(wèn)題來(lái)求解. </p><p><b>　　3.4數(shù)形結(jié)合思想</b></p><p>　　所謂數(shù)形結(jié)合, 就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 通過(guò)數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想. 華羅庚教授說(shuō)過(guò): “數(shù)缺形時(shí)少直觀, 形少數(shù)時(shí)

47、難入微”. 數(shù)與形式客觀事物的不可分離的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象, 它們各自有特定的含義, 但它們之間又相互滲透, 相輔相成, 在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化. </p><p>　　在數(shù)學(xué)分析中科學(xué)合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析并解決問(wèn)題時(shí)能讓許多問(wèn)題直觀形象. 例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的極限時(shí), 就可以借助圖形來(lái)描述當(dāng)時(shí), 函數(shù)的變化趨勢(shì).這樣就能把抽象的問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化, 能夠變抽象思維為形象思維, 有助于我們把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本

48、質(zhì). </p><p>　　數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念、定理都有相應(yīng)地幾何圖形, 而這些幾何圖形能加深我們對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)與理解. 例如一元函數(shù)在點(diǎn)可微的幾何意義是曲線在點(diǎn)處存在不垂直于軸的切線. 二元函數(shù)在點(diǎn)可微的幾何意義是曲面在點(diǎn)處存在切平面. 第一個(gè)函數(shù)為我們研究可微的問(wèn)題提供了直觀的幾何模型, 第二個(gè)問(wèn)題則為全微分的研究提供了幾何模型. 如折線在頂點(diǎn)處不存在切線（如圖3.3）, 所以一元函數(shù)在處不可微;

49、 錐面在頂點(diǎn)處不存在切平面（如圖3.4）因此二元函數(shù)在點(diǎn)處不可微. </p><p>　　例3.6（拉格朗日中值定理的證明）若函數(shù)滿足如下條件: 在閉區(qū)間上連續(xù); 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得</p><p>　　. （1）</p><p><b>　　證 作輔助函數(shù)</

50、b></p><p>　　顯然, , 且在上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件. 故存在, 使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　移向后即得到所要證明的（1）式. 拉格朗日中值定理的幾何意義是: 在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn), 該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線, 我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù), 正是曲線與直線

51、AB</p><p>　　之差（如圖3.5）. </p><p>　　因此, 所構(gòu)造的輔助函數(shù)一經(jīng)作出, 定理的證明就是輕而易舉的事了, 由此我們可看到幾何圖形在此定理的證明中起到至關(guān)重要的作用.</p><p>　　例3.7 計(jì)算二重積分, 其中為由直線, 及所圍成的三角形區(qū)域 (如圖3.6) . </p><p>　　解 當(dāng)把看作型區(qū)域時(shí)

52、, 相應(yīng)的</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　在重積分或曲面積分的題中, 我們一旦作出了函數(shù)的圖像, 也就把握了計(jì)算的方向或是證明的思路. </p>&

53、lt;p><b>　　3.5數(shù)學(xué)建模思想</b></p><p>　　數(shù)學(xué)建模是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界的為一定目的而作的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 它用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、圖標(biāo)等刻畫(huà)客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律. 數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)表達(dá)式, 是對(duì)所研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模擬, 是一種理想化合和抽象化的方法, 是科學(xué)研究中的一種重要方法. </p><p>　　數(shù)學(xué)建

54、模是由對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化、建立數(shù)學(xué)模型, 求解數(shù)學(xué)模型, 解釋驗(yàn)證步驟組成的過(guò)程, 可以說(shuō)有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方就有數(shù)學(xué)建模. 數(shù)學(xué)建模的一般步驟為: </p><p>　　(1) 閱讀、審題: 要做到簡(jiǎn)縮問(wèn)題, 刪掉次要語(yǔ)句, 深入理解關(guān)鍵字句; 為便于數(shù)據(jù)處理, 最好運(yùn)用表格（或圖形）處理數(shù)據(jù), 便于尋找數(shù)量關(guān)系. </p><p>　　(2) 建模: 將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、符號(hào)化, 盡量借鑒

55、標(biāo)準(zhǔn)形式, 建立數(shù)學(xué)關(guān)系式. </p><p>　　(3) 合理求解純數(shù)學(xué)問(wèn)題. </p><p>　　(4) 解釋并回答實(shí)際問(wèn)題. </p><p>　　用框圖可直觀表示為圖3.7</p><p>　　數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要理念就是培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力, 因而加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系已逐漸成為人們關(guān)注的熱點(diǎn). 近年來(lái), 數(shù)學(xué)分析教育為了切合社

56、會(huì)發(fā)展的實(shí)際, 也逐漸與自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)等學(xué)科逐步接軌, 并在工商管理、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生與計(jì)算機(jī)技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用. 在數(shù)學(xué)分析中涉及到數(shù)學(xué)建模的實(shí)際問(wèn)題還有很多, 例如利用導(dǎo)數(shù)求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度, 以及我們上文的例子中提到過(guò)的求曲邊梯形的面積的問(wèn)題都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的. 此外, 還有利用定積分求不規(guī)則平面圖形的面積和不規(guī)則空間圖形的體積, 利用重積分確定物體的質(zhì)量、物體的重心問(wèn)題等等. </p&g

57、t;<p>　　例3.8 設(shè)有一吊橋, 其鐵鏈成拋物線型, 兩端系于相距高度相同的支柱上, 鐵鏈之最低點(diǎn)在懸點(diǎn)下處, 求鐵鏈與支柱所成之角.</p><p>　　解 建立坐標(biāo)系,則懸點(diǎn)坐標(biāo)為 (見(jiàn)圖3.8) 鐵鏈方程為 因?yàn)?lt;/p><p>　　所以鐵鏈在處的切線傾角 鐵鏈在處與支柱的夾角為</p><p>　　在這道題中, 可將鐵鏈與支柱所成之角抽象

58、成求傾斜角的問(wèn)題, 也可以看成曲線上某點(diǎn)的切線問(wèn)題, 也就是導(dǎo)數(shù)的模型.</p><p>　　例3.9半徑為的球體沉入水中, 其比重與水相同, 試問(wèn)將球體從水中撈出需作多少功? </p><p>　　解 如圖3.9所示建立坐標(biāo)系. 由于球體的密度與水的密度相同, 故將位于的球體抬到水面時(shí)不作功, 作功只是從離開(kāi)水面時(shí)才開(kāi)始, 且面的圓的方程為</p><p><

59、;b>　　.</b></p><p>　　故將的球體提升到位置時(shí)所作的微功為（為水的密度）</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故所作的功為</b></p><p>　　這道題是研究變力所作的功的問(wèn)題, 此外, 研究水壓力、引力等物理問(wèn)題時(shí)都需運(yùn)動(dòng)數(shù)

60、學(xué)建模的思想, 也就是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題, 在這里就是轉(zhuǎn)化成積分的模型來(lái)求解. </p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　　國(guó)內(nèi)研究數(shù)學(xué)思想方法的教授張奠宙指出: “每一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科都有其特有的數(shù)學(xué)思想, 賴以進(jìn)行研究 (或?qū)W習(xí)) 的導(dǎo)向, 以便掌握其精神實(shí)質(zhì). 只有把數(shù)學(xué)思想掌握了, 計(jì)算才能發(fā)生作用, 形式演繹體系才有靈魂. ” 可見(jiàn),

61、 思想方法是支撐數(shù)學(xué)發(fā)展的靈魂. 進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究有助于我們推動(dòng)數(shù)學(xué)研究, 對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展具有重要意義.</p><p>　　本文首先介紹了數(shù)學(xué)思想方法的涵義、研究數(shù)學(xué)思想方法的目的和意義, 以便我們更好地了解和掌握數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法. 其次敘述了數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)思想、極限思想以及化歸思想等, 并且每種思想方法都有詳細(xì)的例子加以說(shuō)明. 在研究數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用時(shí), 本文一共列舉了9個(gè)例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)

62、明. </p><p>　　此外, 數(shù)學(xué)分析中還蘊(yùn)含著諸多數(shù)學(xué)思想, 如類(lèi)比思想、整體思想以及分類(lèi)討論思想等等.這些思想方法既是聯(lián)系各類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶又為人們提供了學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的思維與策略. 因此在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)可以幫助學(xué)生形成較好的知識(shí)結(jié)構(gòu), 發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維, 培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 因此, 數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究將對(duì)中小學(xué)的教育教學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響. </p>

63、;<p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　葛仁福. 略談數(shù)學(xué)分析中類(lèi)比化歸思想 [J]. 連云港教育學(xué)院學(xué)報(bào), 1995, 1: 39~42.</p><p>　　盧潔. 函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)的辯證數(shù)學(xué)思想 [J]. 廣東職業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, 22(5): 22~26. </p><p>　　趙麗棉. 試析

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66、;<p>　　解恩澤, 徐本順. 數(shù)學(xué)思想方法 [M] . 濟(jì)南 : 山東教育出版社, 1989.</p><p>　　劉兼, 21世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育研究展望 [M] . 北京: 北京師范大學(xué)出版社, 1995.</p><p>　　于艷紅. 數(shù)學(xué)思想方法及其在微積分教學(xué)中的運(yùn)用研究 [D]. 大連: 遼寧師范大學(xué), 2010.</p><p>　　李榮

67、玲. 師范?？茖W(xué)?！督馕鰩缀巍返臄?shù)學(xué)思想方法教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究 [D]. 昆明: 云南師范大學(xué), 2007.</p><p>　　J. Jurgen. Limits and Continuity of Functions [M]. Springer Berlin Heidelberg, 2006.</p><p>　　Samuel S. McNeary. Introduction to comp