數(shù)學(xué)分析中的若干數(shù)學(xué)思想【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析中的若干數(shù)學(xué)思想 </p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課,

2、內(nèi)容十分豐富, 課時多, 它是學(xué)習(xí)常微分方程, 復(fù)變函數(shù), 實(shí)變函數(shù), 概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)等后繼課程的階梯, 也是深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析因?yàn)槠鋬?nèi)容的廣泛性與深刻性, 包含著多種數(shù)學(xué)思想與方法。要學(xué)好這門課程, 就要學(xué)習(xí)其中的數(shù)學(xué)思想，這對數(shù)學(xué)系的師生是件很重要的事情, 它直接影響學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)與提高關(guān)系著我們培養(yǎng)的學(xué)生能否適應(yīng)社會的需要, 勝任他們所從事的工作的大問題。</p><p>　　數(shù)

3、學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。</p><p>　　數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中

4、提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，它在拓廣數(shù)學(xué)知識過程中隊方法、技巧起著統(tǒng)攝作用。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析的發(fā)展經(jīng)歷了艱難的開始，從牛頓萊布尼茨建立了微積分的基本方法，并將其應(yīng)用到各種問題的解決

5、中去取得了很好的效果，緊接著，受到包括神學(xué)家及一些數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，由此引發(fā)了史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)；到柯西研究前人的理論，將微積分嚴(yán)密化，并發(fā)展了成熟的函數(shù)論，極限論，進(jìn)行級數(shù)收斂性的研究，之后，魏爾斯特拉斯又將數(shù)學(xué)分析算數(shù)化，建立了實(shí)數(shù)論，至此，數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)全部打好，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)順利解決。</p><p>　　《數(shù)學(xué)分析》作為數(shù)學(xué)系最重要的基礎(chǔ)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了數(shù)學(xué)分析在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重

6、的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這堅實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析出于對微積分在理論體系上的嚴(yán)格化和精確化，從而確立了在整個自然科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運(yùn)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。</p><p>　　數(shù)學(xué)分析中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，課程目的是訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維等理性思維能力、邏輯表述能力和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體精神，注重加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力。</p>

7、;<p>　　文獻(xiàn)[1]是歷史的一個概述，該書論述了從古代一直到20世紀(jì)頭幾十年的重大數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)展，目的是介紹中心思想，特別著重于那些在數(shù)學(xué)歷史中的主要時期中逐漸冒出來并成為最突出的、并且對于促進(jìn)和形成爾后的數(shù)學(xué)活動有影響的主流工作。本書所關(guān)心的還有：對數(shù)學(xué)本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數(shù)學(xué)家對于他們自己的成就的理解。</p><p>　　文獻(xiàn)[2]分五個時段講述了數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展

8、、中世紀(jì)的數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)。該書主要研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡單地說就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此，該書不僅包括了具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且還涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容。</p><p>　　從該書中，我們可以看到數(shù)學(xué)思想、方法、理論、

9、概念的演變史，數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會的互動關(guān)系，還有數(shù)學(xué)思想的傳播與交流史等。 </p><p>　　文獻(xiàn)[3]是一本論述數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的方法的著作。而數(shù)學(xué)的精神、思想和方法卻是創(chuàng)造數(shù)學(xué)著作、發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷地向前發(fā)展的根源。該書敘述了貫穿在整個數(shù)學(xué)中的精神、思想和方法的主要內(nèi)容，該書認(rèn)為而這種精神、思想、方法之間又是不能截然地分開的，就是說，通過精神活動產(chǎn)生思想，為了實(shí)現(xiàn)思想而研究出方法，

10、作為其結(jié)果，就得出了許多數(shù)學(xué)定理、法則和公式，而在實(shí)際中，由于這些思想、方法促進(jìn)新精神的活動，新精神的活動又進(jìn)一步產(chǎn)生出新思想、新方法。</p><p>　　文獻(xiàn)[4]是一部近代的數(shù)學(xué)名著，一直受到數(shù)學(xué)界的推崇。作為Rudin的分析學(xué)經(jīng)典著作之一，該書在西方各國乃至我國均有著廣泛而深遠(yuǎn)的影響，被許多高校用做數(shù)學(xué)分析課的必選教材。該書涵蓋了高等微積分學(xué)的豐富內(nèi)容，最精彩的部分集中在基礎(chǔ)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、函數(shù)項序列與級數(shù)、多

11、變量函數(shù)以及微分形式的積分等章節(jié)。</p><p>　　文獻(xiàn)[5]筆者通過緒論試圖描述數(shù)學(xué)基本輪廓，勾畫數(shù)學(xué)全貌。第一、二章分別介紹古代（17世紀(jì)初期以前）的近代（17世紀(jì)中期~19世紀(jì)中期）重要數(shù)學(xué)思想和有影響的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想。第三章介紹現(xiàn)代（19世紀(jì)末期以來）主要數(shù)學(xué)分支的思想發(fā)展。第四章是現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)簡介。本書介紹了古代、近代重要的數(shù)學(xué)思想和有影響的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想 論述了主要數(shù)學(xué)分支的思想發(fā)展和現(xiàn)代數(shù)

12、學(xué)基礎(chǔ)。</p><p>　　文獻(xiàn)[6]是大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程的輔導(dǎo)用書，內(nèi)容涉及極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、定積分、無窮級數(shù)與無窮乘積、多元微分學(xué)、多元積分學(xué)以及含參變量積分。該書對較基礎(chǔ)性的知識點(diǎn)，只是簡要地加以介紹，而將重點(diǎn)放在解題思路的挖掘與提煉上。該書是作者十余年數(shù)學(xué)分析選論課程教學(xué)實(shí)踐的結(jié)晶，其中不乏許多創(chuàng)新性的見解。</p><p>　　文獻(xiàn)[7]詳盡地分析了基本理論的難點(diǎn)，對抽象

13、化的問題進(jìn)行了具體化合幾何直觀的說明，對重點(diǎn)內(nèi)容的意義及應(yīng)留意的事項作了較多的注釋，該書例題的選取也具有典型性、實(shí)用性、新穎性。另外，該書較細(xì)致地介紹了一些一般教科書中難以展開討論的問題。</p><p>　　文獻(xiàn)[8]作者認(rèn)為數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論，實(shí)數(shù)系最重要的特征是連續(xù)性,有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性,才能討論極限,連續(xù),微分和積分。正是在討論在函數(shù)的各種極限運(yùn)算的合法性的過程中,人們逐漸建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系

14、。作者對數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中體現(xiàn)的函數(shù)思想、極限思想、連續(xù)思想、導(dǎo)數(shù)思想、微分思想、積分思想、級數(shù)思想的認(rèn)識與應(yīng)用進(jìn)行一般性的分析和探討。</p><p>　　文獻(xiàn)[9]借助實(shí)例, 初步探討了分段法在《數(shù)學(xué)分析》解題方面巧妙的運(yùn)用，并進(jìn)一步論述了分段思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要性。作者認(rèn)為分段與結(jié)合和哲學(xué)中部分與整體有異曲同工之妙，面對一大題，通過分段的方法將其部分化，理解其中千絲萬縷的細(xì)枝末節(jié)，剖析問題本質(zhì)，統(tǒng)籌處理。分段思

15、想有助于培養(yǎng)邏輯思維能力。在解決數(shù)學(xué)問題時，借助分段法，從思想上也有一種邏輯感。</p><p>　　文獻(xiàn)[10]作者認(rèn)為反例教學(xué)是一種簡潔，明晰的教學(xué)輔助方法，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，化歸，猜想，實(shí)驗(yàn)，歸納等思想，它對理解數(shù)學(xué)分析的概念與原理都有極其重要的作用。作者從反例的類型，反例的構(gòu)造方法，反例的作用三個方面進(jìn)行探討，對數(shù)學(xué)分析中的反例進(jìn)行了比較系統(tǒng)的分析，總結(jié)了幾個構(gòu)造反例常見的方法。</p>&

16、lt;p>　　文獻(xiàn)[11]作者認(rèn)為輔助函數(shù)法是數(shù)學(xué)證明中經(jīng)常使用的一種非常有用的方法，是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助問題的一種，構(gòu)造輔助函數(shù)是將原來的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為容易解決的輔助函數(shù)問題。這一構(gòu)造過程是一個從特殊到一般的過程，而運(yùn)用輔助函數(shù)返回去解決原數(shù)學(xué)問題又是一個從一般到特殊的過程。本文講述了輔助函數(shù)的基本特點(diǎn)及構(gòu)造原則、幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法應(yīng)用（原函數(shù)法、參數(shù)變易法、泰勒公式法、常數(shù)k 值法、微分方程法）。</p>

17、<p>　　文獻(xiàn)[12]本文主要講述了形式主義思想方法及其歷史淵源、對立統(tǒng)一思想方法及其歷史淵源、兩種思想方法的相互關(guān)系及作用。作者認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法源于人類的社會實(shí)踐與數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)思想方法與哲學(xué)思想方法有著密切的關(guān)系。由于哲學(xué)思想方法有唯心主義、形而上學(xué)與唯物主義、辯證法之分,因此,與其相對應(yīng),數(shù)學(xué)思想方法就有形式主義與對立統(tǒng)一之別。它們是相輔相成、缺一不可的，正是由于它們的密切配合與相互作用,才使數(shù)學(xué)得到了持續(xù)不斷的發(fā)展。

18、其中對立統(tǒng)一的思想方法側(cè)重于突破與創(chuàng)新;而形式主義的思想方法則側(cè)重于整理與表達(dá)。</p><p>　　文獻(xiàn)[13]作者認(rèn)為教師在傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識加強(qiáng)基本點(diǎn)技能訓(xùn)練的時候,更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法，本文從唯物辯證法的思想、數(shù)學(xué)模型化的思想、類比推理思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想、嚴(yán)格的邏輯推理方法、概念法、對稱性方法這十個方面講述了數(shù)學(xué)思想方法。</p><p>　　文獻(xiàn)

19、[14]首先簡單的介紹數(shù)學(xué)思想方法的涵義,接著具體地概括了數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法,并指出了數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)分析中的重要意義.同時根據(jù)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),給出加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)建議。</p><p>　　文獻(xiàn)[15]作者認(rèn)為數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)系最重要的一門基礎(chǔ)課, 內(nèi)容多, 理論深, 應(yīng)用廣, 方法雜。因此, 解剖分析它的知識結(jié)構(gòu), 探索它的教學(xué)原則和教學(xué)方法是極為重要的。本文作者根據(jù)自己多年的教學(xué)體會從數(shù)

20、學(xué)分析的知識結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)分析思想方法、數(shù)學(xué)分析中常用的一些方法三方面進(jìn)行探索。</p><p>　　文獻(xiàn)[16]作者按數(shù)學(xué)的三大版塊———代數(shù)、幾何和分析按章依次加以闡述，對思想和方法的基本研究。在相對淺顯的字里行間，滲透著思想骨架，即數(shù)學(xué)的學(xué)科性。全書從自然數(shù)談起，然后引申到數(shù)論和數(shù)系的擴(kuò)充，直到集合這個最一般的客體。又轉(zhuǎn)入幾何作圖，并與數(shù)域代數(shù)聯(lián)系在一起。后面，作者從射影幾何、非歐幾何一直談到拓?fù)鋵W(xué)。最后重點(diǎn)闡

21、述微積分及其應(yīng)用。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析是一門重要的大學(xué)基礎(chǔ)課程, 很多后繼課程都以它為基礎(chǔ), 可視為它的延伸、深化和應(yīng)用, 而它的基本思想和方法更是無所不在。因此熟練地運(yùn)用它的基本方法, 透徹地理解它的基本思想, 是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，同時也是深入理解初等數(shù)學(xué)理論背景的必要基礎(chǔ)。只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能深刻體

22、會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而具備解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)意識和思維方法。數(shù)學(xué)思想方法在科學(xué)研究中具有舉足輕重的地位和作用，具體體現(xiàn)在：能提供簡潔精確的形式化語言；能提供數(shù)量分析及計算的方法；能提供邏輯推理的工具。因此它具有普遍性和可操作性。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 克萊因．古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1979．<

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