淺談對(duì)數(shù)學(xué)分析中反例的理解與體會(huì)文獻(xiàn)綜述

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　淺談對(duì)數(shù)學(xué)分析中反例的理解與體會(huì)　　　　　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念，綜述范圍，簡(jiǎn)要說明有關(guān)主題的或爭(zhēng)論焦點(diǎn)）</p>

2、<p>　　本論文的主要寫作目的是通過對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，結(jié)合相關(guān)的文獻(xiàn)資料，借助反例更加深入的認(rèn)識(shí)某些概念和性質(zhì)，加深理解教材內(nèi)容，搞清楚命題成立的條件，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差.根據(jù)自身對(duì)反例的理解和體會(huì)，總結(jié)一下在數(shù)學(xué)分析中經(jīng)常用到的反例、反例構(gòu)造和反例的作用.首先我們來介紹一些概念：</p><p>　　定義1:　設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義.若，則稱在點(diǎn)處連續(xù).</p><p>　

3、　定義2: 若函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù).</p><p>　　定義3: 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù).若對(duì)任給的，存在，使得對(duì)任何，只要，就有</p><p>　　則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)</p><p>　　定義4：設(shè)函數(shù)定義在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi).當(dāng)給一個(gè)增量，時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為</p><p>　　如果存在常數(shù),使得能表

4、示成</p><p>　　則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微.</p><p>　　定義5：羅爾定理：若函數(shù)滿足如下條件，</p><p><b>　?。?）在上連續(xù)；</b></p><p><b>　　（2）在內(nèi)可導(dǎo)；</b></p><p><b>　　（3）.</b&

5、gt;</p><p>　　則在開區(qū)間至少存在，使得.</p><p>　　定義6：比值判別法，設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù).</p><p>　?。?）若對(duì)一切,成立不等式</p><p><b>　　則級(jí)數(shù)收斂；</b></p><p>　?。?）若對(duì)一切,成立不等式</p>

6、<p><b>　　則級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　定義7：設(shè)函數(shù).若,且在的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限</p><p>　　存在時(shí)，稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作</p><p><b>　　或</b></p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景，現(xiàn)狀和

7、發(fā)展方向，以及對(duì)這些問題的評(píng)述）</p><p>　　《數(shù)學(xué)分析》課程是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課程，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、實(shí)變函數(shù)與泛函分析等分析類課程的基礎(chǔ).對(duì)于剛進(jìn)大學(xué)的大學(xué)生來說，在從用非極限方法研究常量數(shù)學(xué)到用極限方法研究變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變過程中，本課程的學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵的作用.基本概念、基本理論、基本方法構(gòu)成數(shù)學(xué)分析的“三基”.對(duì)于基本概念、基本理論模糊的學(xué)生，很難想象他能學(xué)好數(shù)學(xué)分

8、析，所以使學(xué)生清楚基本概念、掌握基本理論，是一個(gè)重要而不易解決的問題.我們知道，判定一個(gè)命題的正確性必須經(jīng)過嚴(yán)密的退證，而要否定一個(gè)命題，卻只要舉一個(gè)與結(jié)論矛盾的例子就可以了.美國數(shù)學(xué)家 B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德指出：“冒著過于簡(jiǎn)單化的風(fēng)險(xiǎn)，我們可以說數(shù)學(xué)由證明與反例兩大類組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著這兩個(gè)主要的指標(biāo)，給出證明與構(gòu)造反例.一個(gè)數(shù)學(xué)問題，用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇.” 反例作為推翻錯(cuò)誤命題的

9、手段，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)的、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造、使用一個(gè)反例，對(duì)于說明一個(gè)命題不真，會(huì)收到很好的效果.下面我們介紹一下反例的作用.</p><p>　　反例在概念教學(xué)中的作用.在講純理論的數(shù)學(xué)問題是學(xué)生容易把前后所學(xué)的相似概念相互之間弄混淆，這樣導(dǎo)致的結(jié)果是在解題時(shí)出現(xiàn)答非所問的情況.</p><p>　　在這里以連續(xù)、可微、有連續(xù)微商這三個(gè)概念為例來說明“舉反例”的作用.在講述這三個(gè)概念后，學(xué)

10、生往往很難理解三個(gè)概念間的區(qū)別與聯(lián)系.為此，可以提出如下四個(gè)問題：</p><p>　　1. 在處可微，則在處是否連續(xù)？</p><p>　　2．在處連續(xù)，則在處是否可微？</p><p>　?。? 在處可微，則在處是否有連續(xù)微商？</p><p>　　４. 在處可微，則在處領(lǐng)域內(nèi)是否連續(xù)？</p><p>　　上面例

11、子不僅說明在一點(diǎn)可微推不出在該點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，而且使學(xué)生對(duì)“可微”這一概念有進(jìn)一步理解；在處可微，知識(shí)對(duì)于當(dāng)時(shí)，在總的趨勢(shì)上的一種約束.通過上面分析可以概述為下面定理：</p><p>　　設(shè)在的領(lǐng)域內(nèi)有定義，而且，其中是以為極限的互不相交的點(diǎn)集，</p><p><b>　　若：</b></p><p><b>　　則：</b&

12、gt;</p><p>　　可見，“舉反例”不僅能幫學(xué)生搞清楚各個(gè)概念＼定理間的區(qū)別和聯(lián)系，而且在考慮了較多的典型例子之后，還可以總結(jié)出一些一般性結(jié)論.初學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)生，容易犯這樣的毛?。阂惶岬健斑B續(xù)”，腦子中就出現(xiàn)“筆不離紙劃出一條直線或曲線.”事實(shí)上，這僅是初步模型，它的好處是直觀，對(duì)于一些定理可以一目了然地看出其幾何意義.但這個(gè)初步模型往往使學(xué)生把“連續(xù)”、“可微”甚至“光滑”相混淆.因這種“筆不離紙劃出

13、的曲線”往往使學(xué)生覺得連續(xù)、可微、光滑的概念是同等的，一遇到“連續(xù)而不可微”、“可微而不光滑”的說法時(shí)，頭腦中便無所反映，所以單有一個(gè)初步的直觀模型還不夠，還必須掌握一批典型例子來嚴(yán)格區(qū)別各個(gè)概念、定理，不發(fā)生混淆，這對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說是非常重要的.</p><p>　　“反例”在掌握基本定理中的作用.在數(shù)學(xué)分析中有些基本定理是非常難理解的，這時(shí)在教學(xué)或?qū)W習(xí)時(shí)嘗試著舉出一些反例來幫助理解，這樣就達(dá)到事半功倍的效

14、果.</p><p>　　在命題學(xué)習(xí)中，用生動(dòng)的反例駁斥錯(cuò)誤的命題是非常簡(jiǎn)潔、有效、重要的.反例可以用來說明正確命題的使用范圍，這對(duì)我們初學(xué)者非常有益，不僅能澄清一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，對(duì)基本定理和基本性質(zhì)作出正確的理解，也能促使學(xué)生們形成嚴(yán)密推理、重視條件的習(xí)慣，避免發(fā)生“失之毫厘謬以千里”的事情.</p><p>　　羅爾定理：若函數(shù)滿足如下條件，</p><p>&l

15、t;b>　?。?）在上連續(xù)；</b></p><p><b>　?。?）在內(nèi)可導(dǎo)；</b></p><p><b>　　（3）.</b></p><p>　　則在開區(qū)間至少存在，使得.</p><p>　　該定理中的三個(gè)條件缺一不可.</p><p>　　1

16、）不滿足條件（1）時(shí)，給出使結(jié)論不成立的反例；</p><p>　　2）不滿足條件（2）時(shí)，給出使結(jié)論不成立的反例；</p><p>　　3）不滿足條件（3）時(shí)，給出使結(jié)論不成立的反例；</p><p>　　4）定理中的零點(diǎn)不唯一時(shí)，給出使結(jié)論不成立的反例.</p><p>　　“反例”可以糾正錯(cuò)誤，完善數(shù)學(xué)理論中的作用.有些數(shù)學(xué)分析中的法則

17、在解題時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)條件都符合但做出來的結(jié)果是錯(cuò)誤的，這時(shí)要求我們對(duì)一些法則做一些考證，來說明其正確的使用條件.</p><p>　　學(xué)習(xí)洛比達(dá)法則時(shí)，我們有這樣的問題：若符合洛比達(dá)法則的條件，則通過法則是否就一定能求得極限呢？舉出反例說明即使不定式符合洛比達(dá)法則的條件，也未必用該法則就一定能夠求得極限，從而更加完善了數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中有關(guān)洛比達(dá)法則的理論.</p><p>　　利用“反例”說明

18、數(shù)學(xué)方法的局限性.書本的編輯者不一定在編輯的時(shí)候做到百分之百的精準(zhǔn)，他們可能會(huì)出現(xiàn)一些細(xì)小的瑕疵或遺漏一些節(jié)點(diǎn)上的具體說明.這時(shí)我們可以運(yùn)用構(gòu)造反例的方法來說明其局限性.</p><p>　　如正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法：若，則</p><p><b>　　若，則收斂；</b></p><p><b>　　若，則發(fā)散.</b>&

19、lt;/p><p>　　對(duì)于比值判別法，有的書上直接說時(shí)此判別法失效，但有的書上沒有說時(shí)此判別法失效.</p><p>　　在此舉出兩個(gè)反例說明在的情況下，有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，但有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)卻發(fā)散.</p><p>　　利用“反例”來證明命題不真.當(dāng)然在證明一個(gè)問題是否正確時(shí)，構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆蠢墙鉀Q問題最好的方法之一.</p><p>　　在多元

20、函數(shù)微分學(xué)中，若函數(shù)在點(diǎn)的領(lǐng)域存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)與，而且它們?cè)邳c(diǎn)連續(xù)，則.</p><p>　　有的學(xué)生就模糊地認(rèn)為命題：“二階混合偏導(dǎo)數(shù)不相等的二元函數(shù)是不可微函數(shù)”是真命題，但實(shí)際上卻是個(gè)假命題.</p><p>　　“反例”有助于激發(fā)求知欲，教師在教學(xué)過程中適時(shí)的加入反例對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)無非是非常好的方法.</p><p>　　在學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)教師針對(duì)有些問題給出

21、特例，說明其為一反例再交給我們思考，在此基礎(chǔ)上的思索，往往更能引起同學(xué)們較大的學(xué)習(xí)探究興趣.而通過教師有效地引導(dǎo)和學(xué)生間積極的討論，在問題解決的同時(shí)，更激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈求知欲.</p><p>　　“反例”誘發(fā)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造力，提升思維能力.</p><p>　　反例的尋找與構(gòu)造過程也是一項(xiàng)積極的、創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，更是一個(gè)探索、發(fā)現(xiàn)的過程.在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，恰當(dāng)開發(fā)和利用反例

22、，特別是通過解題尋找反例來提升解題能力，不僅能幫助我們有效的提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，更能培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性，從而更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這么基礎(chǔ)學(xué)科.</p><p>　　反例構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)技能，由于數(shù)學(xué)本身的抽象性，使得反例的構(gòu)造不是一件輕而易舉的事，教材由于篇幅的限制，常常直接給出反例，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)感到反例雖好，但不知從何而來.在教學(xué)中注意反例的構(gòu)造分析，向?qū)W生展示反例構(gòu)造的思維過程，經(jīng)常進(jìn)行反例構(gòu)造的思維訓(xùn)練，將有助

23、于學(xué)生形成批判性和創(chuàng)造性的良好思維習(xí)慣，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.</p><p>　　構(gòu)造方法1、利用特例構(gòu)造法構(gòu)造反例.構(gòu)造反例的方法有很多這里給出的是特例構(gòu)造法.特例構(gòu)造法是利用一些典型的反例來科學(xué)的湊合，就可提出所需的反例.</p><p>　　例：對(duì)于在處連續(xù)，是否存在的領(lǐng)域，使在該領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)？這個(gè)問題我們通過分析構(gòu)造合適的反例來解決問題.</p><

24、p>　　構(gòu)造方法2、利用性質(zhì)構(gòu)造法構(gòu)造反例.性質(zhì)構(gòu)造法就是根據(jù)所需反例本身的性質(zhì)和特征，用一定的技巧構(gòu)造反例的方法.</p><p>　　例：函數(shù)在點(diǎn)處沿任意方向的導(dǎo)數(shù)都存在而且相等，不一定有在點(diǎn)連續(xù)、可微，甚至連二重極限也不存在，如何構(gòu)造這樣一個(gè)函數(shù)呢？ </p><p>　　構(gòu)造方法3、利用類比法構(gòu)造反例.類比法是根據(jù)已知反例的特點(diǎn)與思維方法，在新的范圍內(nèi)造出類似的反例的方法.&

25、lt;/p><p>　　例：有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和是連續(xù)函數(shù)，有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的積食連續(xù)函數(shù)；但是無窮個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、無窮個(gè)連續(xù)函數(shù)的積就不一定是連續(xù)函數(shù).</p><p>　　通過上面的總結(jié)，了解了構(gòu)造反例的一些方法.我們可以針對(duì)具體的題目進(jìn)行構(gòu)造反例的方法解題.</p><p>　　題目：設(shè)在區(qū)域?qū)B續(xù)，對(duì)滿足利普希茨條件，即對(duì)任何有，其中為常數(shù)，則函數(shù)在 內(nèi)連續(xù).<

26、;/p><p>　　通過對(duì)上面問題的分析與總結(jié)，將原題目擴(kuò)展成更多的類似題目：</p><p>　?。?）若將原題中的利普希茨條件改為關(guān)于對(duì)變量是一致連續(xù)的，原來題目的結(jié)論是否成立?</p><p>　　(2) 若將原題中的利普希茨條件改為對(duì)變量連續(xù)而且單調(diào)，原來題目的結(jié)論是否成立?</p><p>　?。?）原來題目中的條件不變，是否可以證明在

27、內(nèi)一致連續(xù)？</p><p>　　（4）若將原題中的利普希茨條件改為在內(nèi)有界，原來題目的結(jié)論是否成立?</p><p>　　（5）若將原題中的條件改為分別對(duì)和是一致連續(xù)的，是否可以推出在內(nèi)一致連續(xù)？</p><p>　?。?）若將原題中的條件改為在內(nèi)滿足利普希茨條件的連續(xù)函數(shù)，是否可以推出在一致連續(xù)？

28、 </p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行簡(jiǎn)要總結(jié)，提出自己的見解并對(duì)進(jìn)一步發(fā)展方向作出預(yù)測(cè)）</p><p>　　反例的引入、構(gòu)造、對(duì)命題的再分析等，重視和體驗(yàn)這樣的過程，不僅能增加知識(shí)、拓寬思路、活躍思維、提高自學(xué)能力，也能提高分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實(shí)踐證明，通過反例可以使學(xué)生澄清對(duì)某些概念和性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí)，加深理解教材內(nèi)容，

29、搞清命題成立條件，克服對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏差.合理使用反例還可以使教學(xué)更加豐富生動(dòng)，可以使一些看似困難的問題意外地得到輕松解決，可以使學(xué)生對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的定義、概念、定理理解得更加透徹，并通過反例提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.</p><p>　　但是，在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用反例，一要注意主次：學(xué)生的任務(wù)是學(xué)習(xí)概念、定理和方法，對(duì)于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo).舉反例中在說明結(jié)構(gòu)、辨清是非，因此我們不可一味把太多的注意

30、力放在構(gòu)造或例舉反例上，反例應(yīng)該作為圍繞主要內(nèi)容而進(jìn)行有效的輔助學(xué)習(xí)手段.二要注意適當(dāng)：反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的，既要簡(jiǎn)單又要能說明問題.學(xué)生自己構(gòu)造的反例難度應(yīng)適當(dāng)，以免浪費(fèi)很多時(shí)間和精力.</p><p>　　四、參考資料（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京:高等教育出版社，2001．</p><p&

31、gt;　　[2] （美）B.R.蓋爾鮑姆，（美）J.M.H.奧姆斯特德著.高枚譯.分析中的反例[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.</p><p>　　[3] 司清亮．“反例”在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用[J]．新鄉(xiāng)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001．</p><p>　　[4] 李志林．?dāng)?shù)學(xué)分析中反例的重要應(yīng)用[J]．北京電力高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008．</p><p&

32、gt;　　[5] 段龍偉，解紅霞．談?wù)劇稊?shù)學(xué)分析》教學(xué)中應(yīng)用反例的幾點(diǎn)體會(huì)[J]．太原教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2003．</p><p>　　[6] 肖宏治．反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用及構(gòu)造分析[J]．六盤水師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2005，6．</p><p>　　[7] 劉榮輝，王彥．淺析數(shù)學(xué)分析中的反例[J]．赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2009．</p><p>　　[8] 肖宏治．

33、反例在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用及構(gòu)造分析[J]．六盤水師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2005，6．</p><p>　　[9] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京:高等教育出版社，1999．</p><p>　　[10] 李偉平．?dāng)?shù)學(xué)分析教學(xué)中反例的構(gòu)造[J]．北京電力高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2010,01．</p><p>　　[11] 劉玉鏈，傅沛仁．?dāng)?shù)學(xué)分析講義[M]．北