數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系 畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系 </p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　引言1<

2、/b></p><p>　　1 數(shù)列收斂與級(jí)數(shù)收斂間的關(guān)系1</p><p>　　2 反常積分的收斂、條件收斂和絕對(duì)收斂之間的關(guān)系2</p><p>　　3 正向級(jí)數(shù)的斂散性與反常積分?jǐn)可⑿灾g的關(guān)系2</p><p>　　4 級(jí)數(shù)的條件收斂和絕對(duì)收3</p><p>　　5函數(shù)列的收斂、一致收斂與內(nèi)閉一

3、致收斂間的關(guān)系4</p><p>　　5.1收斂于的定義4</p><p>　　5.2函數(shù)列一致收斂與收斂間的關(guān)系4</p><p>　　5.3收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系5</p><p>　　5.4一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系6</p><p>　　6函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)間的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系7

4、</p><p>　　6.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列之間的關(guān)系7</p><p>　　7函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與一致收斂8</p><p>　　7.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂和一致收斂的相互獨(dú)立性8</p><p>　　7.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和一致收斂的相互關(guān)聯(lián)性9</p><p>　　8 含參量反常積分的一致收斂與

5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂間的關(guān)系10</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)11</b></p><p><b>　　致 謝12</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系</p><p>　　摘要 對(duì)數(shù)學(xué)分析中的各種收斂關(guān)系進(jìn)行了匯總,對(duì)各種收斂之間的內(nèi)容進(jìn)行了分析、比較.列出了它們之間

6、的它們之間的異同,為的是讀者在遇到有關(guān)收斂問(wèn)題的難題時(shí),可以方便查找、翻閱.</p><p>　　關(guān)鍵詞 數(shù)列;級(jí)數(shù);反常積分;收斂;一致收斂;內(nèi)閉一致收斂</p><p>　　Relationships of the convergence between numbers a series of numbers and series </p><p><b&

7、gt;　　Yanjun Li</b></p><p>　　(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu, 741000)</p><p>　　Abstract the convergence of mathematical analysis summarizes

8、the relationship of various analyses and comparisons of the convergence between content. Between the similarities and differences between them are listed in order when readers are experiencing issues related to convergen

9、ce problems, you can easily find it, read it.</p><p>　　KeyWords Series, series,improper integral,convergence,uniformly convergent,closed in uniform convergence.</p><p>　　數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系</p>

10、<p><b>　　引言</b></p><p>　　文章通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)分析中的各種收斂關(guān)系的匯總,對(duì)各種收斂之間的內(nèi)容進(jìn)行了分析、比較.列出了它們之間的它們之間的異同,為的是讀者在遇到有關(guān)收斂問(wèn)題的難題時(shí),可以方便查找、翻閱.同時(shí),也對(duì)數(shù)學(xué)分析中的各種收斂的理解更為方便.</p><p>　　1 數(shù)列收斂與級(jí)數(shù)收斂間的關(guān)系</p><p&

11、gt;　　定義1 如果是數(shù)列,且,,當(dāng)時(shí),有</p><p>　　,我們就說(shuō)數(shù)列常數(shù).常數(shù)就是數(shù)列的極限,記或者.</p><p>　　若,則稱不收斂或稱發(fā)散.</p><p>　　定義2 級(jí)數(shù)的收斂,給定一個(gè)數(shù)列,把它的各項(xiàng)用“+”號(hào)連接起來(lái),就得到表達(dá)式稱為或者級(jí)數(shù),記為.的前n項(xiàng)和記為.</p><p>　　如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂

12、于s,就稱級(jí)數(shù)收斂,記作s=.</p><p>　　1.1 數(shù)列的收斂與級(jí)數(shù)的收斂間的關(guān)系</p><p>　　級(jí)數(shù)是由數(shù)列的每一項(xiàng)加起來(lái)的,故 </p><p>　　1>若級(jí)數(shù)收斂,則必有收斂,且必有=0,否則如果不收斂于0,則必,使得,由Cauchy收斂準(zhǔn)則,發(fā)散,這與收斂矛盾.</p><p>　　2>發(fā)散,不一定發(fā)散。如

13、=1,知=1,但=,收斂,但發(fā)散.</p><p>　　3> 發(fā)散,則必發(fā)散,否則就有=0,與發(fā)散相矛盾. </p><p>　　2 反常積分的收斂、條件收斂和絕對(duì)收斂之間的關(guān)系</p><p>　　2.1反常積分的收斂、條件收斂和絕對(duì)收斂的定義</p><p>　　定義1 設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)間,且在任何有限區(qū)間上可積,如果存在極限,

14、記作,并稱收斂;如果不存在,則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　定義2 當(dāng)收斂時(shí)稱絕對(duì)收斂,收斂但不絕對(duì)收斂時(shí)稱條件收斂.</p><p>　　2.2 條件收斂與絕對(duì)收斂間的關(guān)系</p><p>　　1>條件收斂不一定絕對(duì)收斂.例 因?yàn)閷?duì)任意的時(shí),都有;而當(dāng)p>0時(shí),單調(diào)趨于0,由Dirichlet判別法知總是收斂的.</p><

15、p>　　,因?yàn)槠渲袧M足Dirichlet判別法的條件,是的,但是是的,所以當(dāng)</p><p><b>　　0<p 時(shí)不.</b></p><p>　　2〉絕對(duì)收斂,則必條件收斂.</p><p>　　證 由收斂,據(jù)Cauchy準(zhǔn)則,M,當(dāng)時(shí),總有,利用積分的絕對(duì)值不等式,再利用Cauchy準(zhǔn)則,知收斂. </p>&

16、lt;p>　　3 正向級(jí)數(shù)的斂散性與反常積分?jǐn)可⑿灾g的關(guān)系 </p><p>　　上的非負(fù)遞減函數(shù),則正向級(jí)數(shù)與同斂</p><p>　　證 根據(jù)已知,為上的非負(fù)遞減函數(shù),,在,故有相加后就可得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　如果收斂,由（*）的左邊,,有</p>

17、<p><b>　　,從而收斂.</b></p><p>　　反之,若收斂,則由（*）右邊,對(duì)任一正整數(shù)m有</p><p><b>　?。?*）</b></p><p>　　因?yàn)?x)為非負(fù)減函數(shù),故對(duì)任何的整數(shù),都有 聯(lián)系（**）得反常積分收斂.</p><p>　　例 討論級(jí)數(shù)的

18、斂散性.</p><p>　　解 令,由上面的結(jié)論可知的斂散性與的斂散性相同;由于在反常積分中,當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散,故當(dāng)時(shí)收斂,時(shí)發(fā)散.</p><p>　　4 級(jí)數(shù)的條件收斂和絕對(duì)收</p><p>　　如果各項(xiàng)的絕對(duì)值所組成的收斂,則稱絕對(duì)收斂;如果級(jí)數(shù),但是,就稱.</p><p>　?。ㄓ蓷l件收斂與絕對(duì)收斂的定義可以得出正向級(jí)數(shù)或負(fù)向

19、級(jí)數(shù)的收斂就 絕對(duì)收斂,即對(duì)正向級(jí)數(shù)和負(fù)向級(jí)數(shù)而言,其條件收斂和絕對(duì)收斂是一樣的.</p><p>　　4.1 對(duì)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)而言,若絕對(duì)收斂必條件收斂</p><p>　　證 由于級(jí)數(shù)收斂,據(jù)Cauchy準(zhǔn)則,對(duì)</p><p><b>　　,有,由于</b></p><p>　　由Cauchy收斂準(zhǔn)則是收斂的.<

20、/p><p>　　反過(guò)來(lái)?xiàng)l件收斂不能推出絕對(duì)收斂.</p><p>　　例 是的,卻不是的,由于該級(jí)數(shù)是,通項(xiàng)為,是單調(diào)遞減且,滿足Leibniz判別法的條件,所以原級(jí)數(shù)是的,是發(fā)散的. </p><p>　　5函數(shù)列的收斂、一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　5.1定義1 收斂于的定義</p><p>　

21、　為一列定義在,就說(shuō)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列,可以簡(jiǎn)寫(xiě)為或設(shè)，把代入可以得到函數(shù)列,如果數(shù)列,就稱在點(diǎn)收斂,稱為的收斂點(diǎn),如果在數(shù)集上的每一點(diǎn)都收斂,.</p><p>　　收斂于的定義 ,對(duì)每個(gè)固定的. </p><p><b>　　定義2 </b></p><p>　　若對(duì)當(dāng)時(shí),對(duì)一切的,則稱函數(shù)列D上一致收斂于.</p&

22、gt;<p><b>　　定義3 的定義</b></p><p>　　函數(shù)列與函數(shù),上,在上一致收斂于,則稱.</p><p>　　5.2函數(shù)列一致收斂與收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　證 ,即對(duì)0,當(dāng)切的</p><p&

23、gt;<b>　　,所以對(duì)每個(gè)確定的</b></p><p><b>　　即收斂于.</b></p><p><b>　　未必有.</b></p><p><b>　　例 在上的斂散性</b></p><p>　　解 =即在上收斂于.</p>

24、<p><b>　　下證 在上,考慮</b></p><p><b>　　=,</b></p><p>　　所以對(duì)某個(gè)給定的,無(wú)論n取得多么大,.</p><p>　　所以,這時(shí)只需取將有</p><p><b>　　所以在上.</b></p><

25、;p>　　5.3收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　5.3.1 ,.</b></p><p><b>　　證,上,在上</b></p><p>　　,故在,由的任意性,可以,都能找到a,b,使得,在區(qū)間D上.</p><p>　　5.3.2 函數(shù)列,未必有.</p&g

26、t;<p>　　例 函數(shù)列上收斂于0,但在.</p><p>　　證 有=0,所以上收斂于取和</p><p><b>　　，</b></p><p>　　使得,故在上不一致,故在.</p><p>　　5.4一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　的充

27、要條件是在上.</b></p><p>　　證 ,由于在上一致收斂于,必在上一致收斂于,即在上內(nèi)閉一致收斂于.</p><p>　　由于在上內(nèi)閉一致收斂于,由于為閉區(qū)間,故,故有在上一致收斂于.</p><p>　　開(kāi)區(qū)間上如果,則必有函數(shù)列在上內(nèi)閉一致收斂于</p><p>　　證 在上一致收斂于,故,有在上一致收斂于,即在上內(nèi)

28、閉一致收斂于.</p><p>　　開(kāi)區(qū)間上,如果內(nèi)閉一致收斂于,不一定有一致收斂于.</p><p>　　例 在上內(nèi)閉一致收斂于0,但在上非一致收斂于0.</p><p>　　證 ,對(duì)一切的有,所以在上內(nèi)閉一致收斂于0.</p><p><b>　　又取,,</b></p><p>　　所以在上

29、非一致收斂于0.</p><p>　　6函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)間的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　定義1 若為定義在上的一函數(shù)列,就為在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作,稱為.</p><p>　　定義2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于的定義</p><p>　　若的部分和函數(shù)在數(shù)集上以為極限,即=,則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂于.</p>&l

30、t;p>　　定義3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于及內(nèi)閉一致收斂于的定義 </p><p>　　為的部分和函數(shù)列,如果,稱;如果 上一致收斂,就稱.</p><p>　　6.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列之間的關(guān)系</p><p>　　與數(shù)列跟數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系一樣研究方法也大體一樣,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是由函數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行疊加而成的,故必有</p><p>　

31、　1> 收斂,則必有=0,即收斂于0,否則如果則會(huì)由Cauchy準(zhǔn)則,發(fā)散;</p><p>　　2〉 發(fā)散,不一定發(fā)散.</p><p>　　例 ,上不收斂,即在上發(fā)散;,=0,即收斂于0.</p><p>　　3〉 若發(fā)散,則必發(fā)散,否則必有=0,就與發(fā)散矛盾,</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂收斂間的

32、關(guān)系跟函數(shù)列的完全一樣.</p><p>　　7函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與一致收斂</p><p>　　為中所具有的概念,但是卻是中所引出來(lái)的,在函數(shù)級(jí)數(shù)中,如果把收斂域中某一特定點(diǎn)帶入,就將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)變?yōu)?此時(shí)便出現(xiàn)了在收斂域中各點(diǎn)是否和它本身是否交織在一起的問(wèn)題.</p><p>　　7.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂和一致收斂的相互獨(dú)立性</p><p

33、>　　里,與一致收斂是相互獨(dú)立的兩個(gè)概念,兩者沒(méi)什么必然的聯(lián)系,可以舉出一些絕對(duì)收斂但不是一致收斂,一致收斂但非絕對(duì)收斂的例子.</p><p><b>　　例1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).</b></p><p><b>　　證 ,,</b></p><p>　　當(dāng),所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在R上絕對(duì)收斂.</p><

34、p><b>　　但該級(jí)數(shù)的余項(xiàng)</b></p><p><b>　　,使得</b></p><p>　　所以在R上非一致收斂.</p><p>　　例2 在R上一致收斂,但,非絕對(duì)收斂.</p><p>　　證 ,即級(jí)數(shù)的部分和在R上一致有界;</p><p>　　,單

35、調(diào)減小,并且,也就是,跟據(jù)Dirichlet判別法知,在R上一致.</p><p>　　但,有,而發(fā)散,所以非絕對(duì)收斂.</p><p>　　7.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和一致收斂的相互關(guān)聯(lián)性</p><p>　　的絕對(duì)收斂與一致收斂雖然沒(méi)有什么必然的聯(lián)系,但是在一定條件下,卻能得到絕對(duì)收斂和一致收斂同時(shí)成立的結(jié)論,即的判別法.</p><p>

36、;　　定義在上,是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),也就是絕對(duì)收斂,對(duì)于,都有,我們就稱在D上一致.</p><p>　　例 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上一致收斂,因?yàn)?有,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的.</p><p>　　7.3 對(duì)于各項(xiàng)單調(diào)的級(jí)數(shù),還可以有：</p><p>　　如果各項(xiàng)單調(diào)的級(jí)數(shù)在的兩個(gè)端點(diǎn)處,則此級(jí)數(shù)必在上絕對(duì)且一致收斂.</p><p>　　證 因?yàn)榕c都收斂

37、,令,則</p><p>　　,由迫斂性知,收斂;由于在上單調(diào),從而有,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知在上絕對(duì)且一致收斂.</p><p>　　8 含參量反常積分的一致收斂與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　在I上的充分必要條件為對(duì)的單調(diào)遞增數(shù)列在I上. </p>&l

38、t;p>　　證 因?yàn)樵贗上,所以對(duì)</p><p>　　時(shí),對(duì)于所有的,又因?yàn)?故對(duì),都存在正整數(shù)N,只要滿足,就能得到對(duì)于一切的,從而得出</p><p>　　,這就表明了級(jí)數(shù)=在I上.</p><p>　　反證 如果在I上不一致收斂,則,使得對(duì),</p><p>　　,使得,現(xiàn)取,則存在,使得,一般的取,則有</p>

39、<p>　　,使得,由上述所得到的函數(shù)列是遞增數(shù)列,且,現(xiàn)考察級(jí)數(shù),由知存在某個(gè)正數(shù),對(duì),只要,就=,這與級(jí)數(shù)在I上一致收斂相矛盾,從而在I上一致收斂.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010.</p><p>　　[2]吉

40、米多維奇,數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1981.</p><p>　　[3] 蘇婷,周靜.含參量反常積分一致收斂法探討[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,28（2）:42-45.</p><p>　　[4] 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,1992.</p><p>　　[5] 陳傳璋,金福臨.數(shù)學(xué)分析[M].

41、北京：高等教育出版社,1993.</p><p>　　[6]宋澤成.含參量瑕積分的一致收斂法探討[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,30(5):12-15. </p><p>　　[7] 黃慧,陳輝.含參量反常積分的一致收斂性[J].高等數(shù)學(xué)研究,14（1）.3-4.1993.</p><p>　　[8] 陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,

42、2000.</p><p>　　[9] 程其囊,張奠宇.事變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)：第三版[M].北京：高等教育出版,1982.</p><p>　　[10]楊曼英.關(guān)于函數(shù)列收斂與一致收斂的一點(diǎn)思考[J].婁底師專學(xué)報(bào),2004.</p><p>　　[11]滕文凱.收斂與一致收斂[J].承德名族師專學(xué)報(bào),2000.</p><p>　　[12

43、]馬雪雅,齊曉波.函數(shù)列的收斂與一致收斂[J].昌吉學(xué)院學(xué)報(bào),2006.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　在論文的選題及撰寫(xiě)過(guò)程中得到我的指導(dǎo)教師**老師的悉心指導(dǎo),在此表示衷心的感謝.*老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺.在論文寫(xiě)作的這段時(shí)間里,她時(shí)刻關(guān)心著我的論文完成情況,并時(shí)常給我指出論文中的缺點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方,最后才能使得我順利完