數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系 畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系 </p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　引言1<

2、/b></p><p>　　1 數(shù)列收斂與級數(shù)收斂間的關(guān)系1</p><p>　　2 反常積分的收斂、條件收斂和絕對收斂之間的關(guān)系2</p><p>　　3 正向級數(shù)的斂散性與反常積分斂散性之間的關(guān)系2</p><p>　　4 級數(shù)的條件收斂和絕對收3</p><p>　　5函數(shù)列的收斂、一致收斂與內(nèi)閉一

3、致收斂間的關(guān)系4</p><p>　　5.1收斂于的定義4</p><p>　　5.2函數(shù)列一致收斂與收斂間的關(guān)系4</p><p>　　5.3收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系5</p><p>　　5.4一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系6</p><p>　　6函數(shù)項級數(shù)間的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系7

4、</p><p>　　6.1 函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列之間的關(guān)系7</p><p>　　7函數(shù)項級數(shù)的絕對收斂與一致收斂8</p><p>　　7.1函數(shù)項級數(shù)中絕對收斂和一致收斂的相互獨立性8</p><p>　　7.2函數(shù)項級數(shù)的絕對收斂和一致收斂的相互關(guān)聯(lián)性9</p><p>　　8 含參量反常積分的一致收斂與

5、函數(shù)項級數(shù)一致收斂間的關(guān)系10</p><p><b>　　參考文獻11</b></p><p><b>　　致 謝12</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系</p><p>　　摘要 對數(shù)學(xué)分析中的各種收斂關(guān)系進行了匯總,對各種收斂之間的內(nèi)容進行了分析、比較.列出了它們之間

6、的它們之間的異同,為的是讀者在遇到有關(guān)收斂問題的難題時,可以方便查找、翻閱.</p><p>　　關(guān)鍵詞 數(shù)列;級數(shù);反常積分;收斂;一致收斂;內(nèi)閉一致收斂</p><p>　　Relationships of the convergence between numbers a series of numbers and series </p><p><b&

7、gt;　　Yanjun Li</b></p><p>　　(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu, 741000)</p><p>　　Abstract the convergence of mathematical analysis summarizes

8、the relationship of various analyses and comparisons of the convergence between content. Between the similarities and differences between them are listed in order when readers are experiencing issues related to convergen

9、ce problems, you can easily find it, read it.</p><p>　　KeyWords Series, series,improper integral,convergence,uniformly convergent,closed in uniform convergence.</p><p>　　數(shù)學(xué)分析中各種收斂間的關(guān)系</p>

10、<p><b>　　引言</b></p><p>　　文章通過對數(shù)學(xué)分析中的各種收斂關(guān)系的匯總,對各種收斂之間的內(nèi)容進行了分析、比較.列出了它們之間的它們之間的異同,為的是讀者在遇到有關(guān)收斂問題的難題時,可以方便查找、翻閱.同時,也對數(shù)學(xué)分析中的各種收斂的理解更為方便.</p><p>　　1 數(shù)列收斂與級數(shù)收斂間的關(guān)系</p><p&

11、gt;　　定義1 如果是數(shù)列,且,,當時,有</p><p>　　,我們就說數(shù)列常數(shù).常數(shù)就是數(shù)列的極限,記或者.</p><p>　　若,則稱不收斂或稱發(fā)散.</p><p>　　定義2 級數(shù)的收斂,給定一個數(shù)列,把它的各項用“+”號連接起來,就得到表達式稱為或者級數(shù),記為.的前n項和記為.</p><p>　　如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂

12、于s,就稱級數(shù)收斂,記作s=.</p><p>　　1.1 數(shù)列的收斂與級數(shù)的收斂間的關(guān)系</p><p>　　級數(shù)是由數(shù)列的每一項加起來的,故 </p><p>　　1>若級數(shù)收斂,則必有收斂,且必有=0,否則如果不收斂于0,則必,使得,由Cauchy收斂準則,發(fā)散,這與收斂矛盾.</p><p>　　2>發(fā)散,不一定發(fā)散。如

13、=1,知=1,但=,收斂,但發(fā)散.</p><p>　　3> 發(fā)散,則必發(fā)散,否則就有=0,與發(fā)散相矛盾. </p><p>　　2 反常積分的收斂、條件收斂和絕對收斂之間的關(guān)系</p><p>　　2.1反常積分的收斂、條件收斂和絕對收斂的定義</p><p>　　定義1 設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間,且在任何有限區(qū)間上可積,如果存在極限,

14、記作,并稱收斂;如果不存在,則稱級數(shù)發(fā)散.</p><p>　　定義2 當收斂時稱絕對收斂,收斂但不絕對收斂時稱條件收斂.</p><p>　　2.2 條件收斂與絕對收斂間的關(guān)系</p><p>　　1>條件收斂不一定絕對收斂.例 因為對任意的時,都有;而當p>0時,單調(diào)趨于0,由Dirichlet判別法知總是收斂的.</p><

15、p>　　,因為其中滿足Dirichlet判別法的條件,是的,但是是的,所以當</p><p><b>　　0<p 時不.</b></p><p>　　2〉絕對收斂,則必條件收斂.</p><p>　　證 由收斂,據(jù)Cauchy準則,M,當時,總有,利用積分的絕對值不等式,再利用Cauchy準則,知收斂. </p>&

16、lt;p>　　3 正向級數(shù)的斂散性與反常積分斂散性之間的關(guān)系 </p><p>　　上的非負遞減函數(shù),則正向級數(shù)與同斂</p><p>　　證 根據(jù)已知,為上的非負遞減函數(shù),,在,故有相加后就可得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　如果收斂,由（*）的左邊,,有</p>

17、<p><b>　　,從而收斂.</b></p><p>　　反之,若收斂,則由（*）右邊,對任一正整數(shù)m有</p><p><b>　?。?*）</b></p><p>　　因為(x)為非負減函數(shù),故對任何的整數(shù),都有 聯(lián)系（**）得反常積分收斂.</p><p>　　例 討論級數(shù)的

18、斂散性.</p><p>　　解 令,由上面的結(jié)論可知的斂散性與的斂散性相同;由于在反常積分中,當時收斂,當時發(fā)散,故當時收斂,時發(fā)散.</p><p>　　4 級數(shù)的條件收斂和絕對收</p><p>　　如果各項的絕對值所組成的收斂,則稱絕對收斂;如果級數(shù),但是,就稱.</p><p>　　（由條件收斂與絕對收斂的定義可以得出正向級數(shù)或負向

19、級數(shù)的收斂就 絕對收斂,即對正向級數(shù)和負向級數(shù)而言,其條件收斂和絕對收斂是一樣的.</p><p>　　4.1 對一般項級數(shù)而言,若絕對收斂必條件收斂</p><p>　　證 由于級數(shù)收斂,據(jù)Cauchy準則,對</p><p><b>　　,有,由于</b></p><p>　　由Cauchy收斂準則是收斂的.<

20、/p><p>　　反過來條件收斂不能推出絕對收斂.</p><p>　　例 是的,卻不是的,由于該級數(shù)是,通項為,是單調(diào)遞減且,滿足Leibniz判別法的條件,所以原級數(shù)是的,是發(fā)散的. </p><p>　　5函數(shù)列的收斂、一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　5.1定義1 收斂于的定義</p><p>　

21、　為一列定義在,就說為定義在數(shù)集上的函數(shù)列,可以簡寫為或設(shè)，把代入可以得到函數(shù)列,如果數(shù)列,就稱在點收斂,稱為的收斂點,如果在數(shù)集上的每一點都收斂,.</p><p>　　收斂于的定義 ,對每個固定的. </p><p><b>　　定義2 </b></p><p>　　若對當時,對一切的,則稱函數(shù)列D上一致收斂于.</p&

22、gt;<p><b>　　定義3 的定義</b></p><p>　　函數(shù)列與函數(shù),上,在上一致收斂于,則稱.</p><p>　　5.2函數(shù)列一致收斂與收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　證 ,即對0,當切的</p><p&

23、gt;<b>　　,所以對每個確定的</b></p><p><b>　　即收斂于.</b></p><p><b>　　未必有.</b></p><p><b>　　例 在上的斂散性</b></p><p>　　解 =即在上收斂于.</p>

24、<p><b>　　下證 在上,考慮</b></p><p><b>　　=,</b></p><p>　　所以對某個給定的,無論n取得多么大,.</p><p>　　所以,這時只需取將有</p><p><b>　　所以在上.</b></p><

25、;p>　　5.3收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　5.3.1 ,.</b></p><p><b>　　證,上,在上</b></p><p>　　,故在,由的任意性,可以,都能找到a,b,使得,在區(qū)間D上.</p><p>　　5.3.2 函數(shù)列,未必有.</p&g

26、t;<p>　　例 函數(shù)列上收斂于0,但在.</p><p>　　證 有=0,所以上收斂于取和</p><p><b>　　，</b></p><p>　　使得,故在上不一致,故在.</p><p>　　5.4一致收斂與內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p><b>　　的充

27、要條件是在上.</b></p><p>　　證 ,由于在上一致收斂于,必在上一致收斂于,即在上內(nèi)閉一致收斂于.</p><p>　　由于在上內(nèi)閉一致收斂于,由于為閉區(qū)間,故,故有在上一致收斂于.</p><p>　　開區(qū)間上如果,則必有函數(shù)列在上內(nèi)閉一致收斂于</p><p>　　證 在上一致收斂于,故,有在上一致收斂于,即在上內(nèi)

28、閉一致收斂于.</p><p>　　開區(qū)間上,如果內(nèi)閉一致收斂于,不一定有一致收斂于.</p><p>　　例 在上內(nèi)閉一致收斂于0,但在上非一致收斂于0.</p><p>　　證 ,對一切的有,所以在上內(nèi)閉一致收斂于0.</p><p><b>　　又取,,</b></p><p>　　所以在上

29、非一致收斂于0.</p><p>　　6函數(shù)項級數(shù)間的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　定義1 若為定義在上的一函數(shù)列,就為在上的函數(shù)項級數(shù),記作,稱為.</p><p>　　定義2 函數(shù)項級數(shù)收斂于的定義</p><p>　　若的部分和函數(shù)在數(shù)集上以為極限,即=,則稱函數(shù)項級數(shù)在上收斂于.</p>&l

30、t;p>　　定義3 函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于及內(nèi)閉一致收斂于的定義 </p><p>　　為的部分和函數(shù)列,如果,稱;如果 上一致收斂,就稱.</p><p>　　6.1 函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列之間的關(guān)系</p><p>　　與數(shù)列跟數(shù)項級數(shù)的關(guān)系一樣研究方法也大體一樣,函數(shù)項級數(shù)是由函數(shù)列的每一項進行疊加而成的,故必有</p><p>　

31、　1> 收斂,則必有=0,即收斂于0,否則如果則會由Cauchy準則,發(fā)散;</p><p>　　2〉 發(fā)散,不一定發(fā)散.</p><p>　　例 ,上不收斂,即在上發(fā)散;,=0,即收斂于0.</p><p>　　3〉 若發(fā)散,則必發(fā)散,否則必有=0,就與發(fā)散矛盾,</p><p>　　函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂及內(nèi)閉一致收斂收斂間的

32、關(guān)系跟函數(shù)列的完全一樣.</p><p>　　7函數(shù)項級數(shù)的絕對收斂與一致收斂</p><p>　　為中所具有的概念,但是卻是中所引出來的,在函數(shù)級數(shù)中,如果把收斂域中某一特定點帶入,就將函數(shù)項級數(shù)變?yōu)?此時便出現(xiàn)了在收斂域中各點是否和它本身是否交織在一起的問題.</p><p>　　7.1函數(shù)項級數(shù)中絕對收斂和一致收斂的相互獨立性</p><p

33、>　　里,與一致收斂是相互獨立的兩個概念,兩者沒什么必然的聯(lián)系,可以舉出一些絕對收斂但不是一致收斂,一致收斂但非絕對收斂的例子.</p><p><b>　　例1 函數(shù)項級數(shù).</b></p><p><b>　　證 ,,</b></p><p>　　當,所以函數(shù)項級數(shù)在R上絕對收斂.</p><

34、p><b>　　但該級數(shù)的余項</b></p><p><b>　　,使得</b></p><p>　　所以在R上非一致收斂.</p><p>　　例2 在R上一致收斂,但,非絕對收斂.</p><p>　　證 ,即級數(shù)的部分和在R上一致有界;</p><p>　　,單

35、調(diào)減小,并且,也就是,跟據(jù)Dirichlet判別法知,在R上一致.</p><p>　　但,有,而發(fā)散,所以非絕對收斂.</p><p>　　7.2函數(shù)項級數(shù)的絕對收斂和一致收斂的相互關(guān)聯(lián)性</p><p>　　的絕對收斂與一致收斂雖然沒有什么必然的聯(lián)系,但是在一定條件下,卻能得到絕對收斂和一致收斂同時成立的結(jié)論,即的判別法.</p><p>

36、;　　定義在上,是收斂的正項級數(shù),也就是絕對收斂,對于,都有,我們就稱在D上一致.</p><p>　　例 函數(shù)項級數(shù)上一致收斂,因為,有,而正項級數(shù)是收斂的.</p><p>　　7.3 對于各項單調(diào)的級數(shù),還可以有：</p><p>　　如果各項單調(diào)的級數(shù)在的兩個端點處,則此級數(shù)必在上絕對且一致收斂.</p><p>　　證 因為與都收斂

37、,令,則</p><p>　　,由迫斂性知,收斂;由于在上單調(diào),從而有,由正項級數(shù)的比較判別法及函數(shù)項級數(shù)的優(yōu)級數(shù)判別法知在上絕對且一致收斂.</p><p>　　8 含參量反常積分的一致收斂與函數(shù)項級數(shù)一致收斂間的關(guān)系</p><p>　　在I上的充分必要條件為對的單調(diào)遞增數(shù)列在I上. </p>&l

38、t;p>　　證 因為在I上,所以對</p><p>　　時,對于所有的,又因為,故對,都存在正整數(shù)N,只要滿足,就能得到對于一切的,從而得出</p><p>　　,這就表明了級數(shù)=在I上.</p><p>　　反證 如果在I上不一致收斂,則,使得對,</p><p>　　,使得,現(xiàn)取,則存在,使得,一般的取,則有</p>

39、<p>　　,使得,由上述所得到的函數(shù)列是遞增數(shù)列,且,現(xiàn)考察級數(shù),由知存在某個正數(shù),對,只要,就=,這與級數(shù)在I上一致收斂相矛盾,從而在I上一致收斂.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010.</p><p>　　[2]吉

40、米多維奇,數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1981.</p><p>　　[3] 蘇婷,周靜.含參量反常積分一致收斂法探討[J].周口師范學(xué)院學(xué)報,2011,28（2）:42-45.</p><p>　　[4] 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,1992.</p><p>　　[5] 陳傳璋,金福臨.數(shù)學(xué)分析[M].

41、北京：高等教育出版社,1993.</p><p>　　[6]宋澤成.含參量瑕積分的一致收斂法探討[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報,2008,30(5):12-15. </p><p>　　[7] 黃慧,陳輝.含參量反常積分的一致收斂性[J].高等數(shù)學(xué)研究,14（1）.3-4.1993.</p><p>　　[8] 陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,

42、2000.</p><p>　　[9] 程其囊,張奠宇.事變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)：第三版[M].北京：高等教育出版,1982.</p><p>　　[10]楊曼英.關(guān)于函數(shù)列收斂與一致收斂的一點思考[J].婁底師專學(xué)報,2004.</p><p>　　[11]滕文凱.收斂與一致收斂[J].承德名族師專學(xué)報,2000.</p><p>　　[12

43、]馬雪雅,齊曉波.函數(shù)列的收斂與一致收斂[J].昌吉學(xué)院學(xué)報,2006.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　在論文的選題及撰寫過程中得到我的指導(dǎo)教師**老師的悉心指導(dǎo),在此表示衷心的感謝.*老師嚴謹治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺.在論文寫作的這段時間里,她時刻關(guān)心著我的論文完成情況,并時常給我指出論文中的缺點和需要改進的地方,最后才能使得我順利完