jnxyj《數(shù)學(xué)分析》函數(shù)極限存在條件

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。－－泰戈爾３函數(shù)極限存在條件函數(shù)極限存在條件教學(xué)目的教學(xué)目的：理解并運用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點教學(xué)重點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點教學(xué)難點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則運用。教學(xué)方法教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)

2、加深理解，掌握運用。教學(xué)程序教學(xué)程序：?引言在討論數(shù)列極限存在條件時，我們曾向大家介紹過“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準(zhǔn)則”。我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對于函數(shù)是否也有類似的結(jié)果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢來判斷其極限的存在性呢？這是本節(jié)的主要任務(wù)。本節(jié)的結(jié)論只對這種類型的函數(shù)極限進行論述，但其結(jié)論對其它類型的函數(shù)極限也是成立的。0xx?首先介紹一個很主要的結(jié)果——海涅(Heine)定理（歸結(jié)原則）。一、歸結(jié)原則一、歸結(jié)原則定理１定

3、理１（Heine定理定理）設(shè)在內(nèi)有定義，存在對任何含于且以f00()Ux??0lim()xxfx??00()Ux??0x為極限的數(shù)列，極限都存在且相等。??nxlim()nnfx??注１注１是數(shù)列，是數(shù)列的極限。所以這個定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列??()nfxlim()nnfx??()fx的極限問題來討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”。由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來推斷函數(shù)極限性質(zhì)。??()nfx注２注２從Heine定理可以得到一個說明不存在的方

4、法，即“若可找到一個數(shù)列，0lim()xxfx???nx，使得不存在；”或“找到兩個都以為極限的數(shù)列，使0limnnxx???lim()nnfx??0x????nnxx???都存在但不相等，則不存在。lim()lim()nnnnfxfx???????0lim()xxfx?例１例１證明不存在。01limsinxx?注３注３對于這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更00xxxxxx??????????強的形式。如當(dāng)時有：0xx??定

5、理２定理２設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，對任何以為極限的遞減f0x00()Ux?0lim()xxfxA????0x數(shù)列，有.??00()nxUx??lim()nnfxA???二、單調(diào)有界定理二、單調(diào)有界定理相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例0xx??敘述如下:定理３定理３設(shè)為定義有上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。f00()Ux?0lim()xxfx??注：定理３可更具體地敘述如下：為定義在

6、上的函數(shù)，若（１）在上遞增有下界，則存在，且f00()Ux?f00()Ux?0lim()xxfx??；（２）在上遞減有上界，則存在，且000()lim()inf()xxxUxfxfx?????f00()Ux?0lim()xxfx??.000()lim()sup()xxxUxfxfx?????三函數(shù)極限的函數(shù)極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則定理４定理４（Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在任給，存在正數(shù)f00()Ux??0lim