函數(shù)極限存在的條件

1、33函數(shù)極限存在的條件函數(shù)極限存在的條件重點難點重點難點1.歸結原則也稱為海涅定理它的意義在于把函數(shù)極限歸結為數(shù)列極限問題來處理從而我們可以利用歸結原則和數(shù)列極限的有關性質(zhì)來證明上一節(jié)中所述的函數(shù)極限所有性質(zhì).2.單調(diào)有界定理是判定極限是否存在的一個重要原則同時也是求極限的一個有用的方法.一般情形運用單調(diào)有界定理研究變量極限時需要首先利用單調(diào)收斂定理判定極限的存在性然后在運用運算法則求這個極限.3.柯西準則是函數(shù)極限存在的充要條件.函數(shù)

2、極限的柯西準則是以數(shù)列的柯西準則為基礎的.該準則在數(shù)列極限、極限和廣義積分理論中占據(jù)了重要的地位.因此應當認真理解柯西準則并能用柯西準則討論某些比較簡單的問題.基本內(nèi)容基本內(nèi)容在討論數(shù)列極限存在條件時，我們曾向大家介紹過判別數(shù)列極限存在的“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準則”.我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對于函數(shù)是否也有類似的結果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢來判斷其極限的存在性呢？本節(jié)的結論只對這種類型的函數(shù)極限進行論述，但其結論對其它

3、類型的函數(shù)0xx?極限也是成立的。首先介紹一個很主要的結果——海涅(Heine)定理（歸結原則）。一、歸結原則一、歸結原則定理定理3.8(3.8(歸結原則歸結原則)設在內(nèi)有定義.存在的充要條件是:對f????00xU??xfxx0lim?任何含于且以為極限的數(shù)列極限都存在且相等.????00xU0x??nx??nnxf??lim分析分析充分性的證法:只須證明若對任意數(shù)列且有??nx0limxxnn???0xxn?則.因為在已知條件中具有

4、這種性質(zhì)的數(shù)列是任意的??Axfnn???lim??Axfxx??0lim??nx(當然有無限多個)所以從已知條件出發(fā)直接證明其結論是困難的.這時可以考慮應用反證法.也就是否定結論假設根據(jù)極限定義的否定敘述只要能構造某一個數(shù)列??Axfxx??0lim但是與已知條件相矛盾.于是充分性得到證明.nx0limxxnn???0xxn???Axfnn???lim注1歸結原則也可簡述為對任何有?????Axfxx0lim?????nxxn0??.

5、limAxfnn???注2雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限反之亦然.在極限論中海涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后有關函數(shù)極限的定理都可借助已知相應的數(shù)列定理定理3.103.10設為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)則右極限存在.f)(00xU?)(lim0xfxx??注6(

6、1)設為定義在上的有界函數(shù).若遞增則若f)(00xU?f)(inf)0()(000xfxfxUx????遞減則.f)(sup)0()(000xfxfxUx????(2)設為定義在上的遞增函數(shù)則f)(00xU.)(sup)0()(000xfxfxUx????)(inf)0()(000xfxfxUx????三函數(shù)極限的柯西收斂準則函數(shù)極限的柯西收斂準則定理定理3.11(3.11(柯西準則柯西準則)設函數(shù)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是：f)(0

7、?xU?)(lim0xfxx?任給存在正數(shù)使得對任何有.0??)(???)(0?xUxx?????????)()(xfxf[分析分析]充分性的證明可以利用數(shù)列極限的柯西準則和函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁——海涅定理來證.分兩步：1)對任何以為極限的數(shù)列數(shù)列的0x??)(0?xUxn????)(nxf極限都存在2)證明對任何以為極限的數(shù)列數(shù)列的極限都相0x??)(0?xUxn????)(nxf等.注7可以利用柯西準則證明函數(shù)極限的不存在:)(

8、lim0xfxx?設函數(shù)在內(nèi)有定義.不存在的充要條件是：存在對f)(0?xU?)(lim0xfxx?00??任意正數(shù)存在有.)(???)(0?xUxx????0)()(?????xfxf如在例1中我們可取對任何設正整數(shù)令210??0???1?n211????????nxnx則有而于是按柯西準則極限不存在.)0(??Uxx???011sin1sin??????xxxx1sinlim0?小結小結1.證明函數(shù)極限存在或求函數(shù)極限的方法.(1)