函數(shù)的極限與連續(xù)

1、1第一章第一章函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)極限是微積分學(xué)中最基本、最重要的概念之一，極限的思想與理論，是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，連續(xù)、微分、積分等重要概念都?xì)w結(jié)于極限.因此掌握極限的思想與方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提條件.本章將在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，介紹極限與連續(xù)的概念.11函數(shù)函數(shù)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念定義定義1.1設(shè)有一非空實(shí)數(shù)集D，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得對(duì)于每一個(gè)，都有fDx?一個(gè)惟一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)法則是定義在D上的

2、一個(gè)函數(shù).記作y=f(x)，其中為yfx自變量自變量，y為因變量因變量，習(xí)慣上稱y是的函數(shù)，D稱為定義域定義域.x當(dāng)自變量x取定義域D內(nèi)的某一定值時(shí)，按對(duì)應(yīng)法則f所得的對(duì)應(yīng)值y0，稱為函數(shù)y=f(x)在0xx=x0時(shí)的函數(shù)值，記作f(x0)，即y0=f(x0).當(dāng)自變量x取遍D中的數(shù)，所有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y構(gòu)成的集合稱為函數(shù)的值域值域，記作M，即??DxxfyyM???)(例1已知，求，，1)(2???xxxf)0(f)1(f)(xf?解1

3、100)0(2?????f1111)1(2?????f11)()()(22?????????xxxxxf例2求下列函數(shù)的定義域.（1）(2)142??xy)1ln(62?????xxxy解（1），所以定義域?yàn)?012????xx)1()11()1(?????????x（2），所以定義域?yàn)????????01062xxx?????????132xx??31??x由函數(shù)定義可知，定義域與對(duì)應(yīng)法則一旦確定，則函數(shù)隨之惟一確定.因此，我們把函數(shù)

4、的定義域和對(duì)應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則均相同，那么可以認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).反之，如果兩要素中有一個(gè)不同，則這兩個(gè)函數(shù)就不是同一函數(shù).例如：與因?yàn)榧催@兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法xxxf22cossin)(??1)(?x?1cossin22??xx則相同，而且定義域均為R，所以它們是相同的函數(shù).又如與，雖然，但由于這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，11)(2???xxxf1)(??xx?112??xx1??x所以這兩個(gè)函數(shù)不

5、是同一函數(shù).通常函數(shù)可以用三種不同的形式來(lái)表示：表格法、圖形法和解析法（或稱公式法）.三種形式各有其優(yōu)點(diǎn)和不足，實(shí)際問(wèn)題中往往把三種形式結(jié)合起來(lái)使用.二、函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)性單調(diào)性設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)有定義，若對(duì)（）內(nèi)的任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有)(xfy?baba21xx21xx?，則稱在（）內(nèi)單調(diào)增加；若當(dāng)時(shí)，有，則稱)()(21xfxf?)(xfy?ba21xx?)()(21xfxf?在（）內(nèi)單調(diào)減少，區(qū)間（）稱為單調(diào)區(qū)間.)(x

6、fbaba2、奇偶性奇偶性3（2）冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）其在第一象限內(nèi)的圖形如圖12所示.?xy??圖12（3）指數(shù)函數(shù)（），定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋瑘D形如圖13所示.xay?10??aa)0(??)(a圖13（4）對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域，值域?yàn)镽，圖形如圖13（b）所示.)10(log???aaxya)0(??（5）三角函數(shù)，，，，，.其xysin?xycos?xytan?xycot?xysec?xycsc?中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都為R，值域都