函數(shù)、極限、連續(xù)重要概念公式定理

1、一、函數(shù)、極限、連續(xù)一、函數(shù)、極限、連續(xù)重要概念公式定理重要概念公式定理（一）數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)（一）數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列極限的定義：數(shù)列極限的定義：給定數(shù)列如果存在常數(shù)對(duì)任給存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)恒有??nxA0??NnN?則稱是數(shù)列的當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)的極限或稱數(shù)列收斂于記為.若nxA???A??nxn??nxAlimnnxA???的極限不存在則稱數(shù)列發(fā)散.??nx??nx收斂數(shù)列的性質(zhì)：收斂數(shù)列的性質(zhì)：(1)唯一性：

2、唯一性：若數(shù)列收斂即則極限是唯一的??nxlimnnxA???(2)有界性：有界性：若則數(shù)列有界即存在使得對(duì)均有.limnnxA?????nx0M?n?nxM?(3)局部保號(hào)性：局部保號(hào)性：設(shè)且則存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)有.limnnxA?????00AA??或NnN???00nnxx??或(4)若數(shù)列收斂于則它的任何子列也收斂于極限.AA（二）函數(shù)極限的定義（二）函數(shù)極限的定義名稱名稱表達(dá)式表達(dá)式任給任給存在存在當(dāng)…時(shí)恒有恒有當(dāng)時(shí)以0xx???

3、fx為極限A??0limxxfxA??0??0??00xx??????fxA???當(dāng)時(shí)以x????fx為極限A??limxfxA???0??0X?xX???fxA???當(dāng)時(shí)00xx??以為右極限??fxA????00lim0xxfxAdeffx??????0??0??00xxx??????fxA???當(dāng)時(shí)00xx??以為左極限??fxA????00lim0xxfxAdeffx??????0??0??00xxx??????fxA???當(dāng)時(shí)

4、x???以為極限??fxA????limxfxAdeff????????0??0X?xX???fxA???當(dāng)時(shí)以x?????fx為極限A????limxfxAdeff????????0??0X?xX????fxA???（三）函數(shù)極限存在判別法（三）函數(shù)極限存在判別法(了解記憶了解記憶)1海涅定理：海涅定理：對(duì)任意一串都有??0limxxfxA???0nxx???012nxxn?????limnnfxA???2.充要條件：充要條件：(1)

5、????000lim()limlimxxxxxxfxAfxfxA?????????(2).lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA????????????定理定理6無(wú)窮小量的性質(zhì)：無(wú)窮小量的性質(zhì)：(1)有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和為無(wú)窮小量(2)有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量(3)無(wú)窮小量乘以有界變量為無(wú)窮小量定理定理7在同一變化趨勢(shì)下無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量定理定理8極限的運(yùn)算法則：極限的運(yùn)算法則：

6、設(shè)則????limlimfxAgxB??(1)lim(()())fxgxAB???(2)lim()()fxgxAB??(3)()lim(0)()fxABgxB????定理定理9數(shù)列的極限存在則其子序列的極限一定存在且就等于該數(shù)列的極限定理定理10初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內(nèi)連續(xù)定理定理11設(shè)連續(xù)則也連續(xù)??fx??fx（六）重要公式（六）重要公式(重點(diǎn)記憶內(nèi)容重點(diǎn)記憶內(nèi)容應(yīng)考必備應(yīng)考必備)(1)0sinlim1xxx??(2).(通過(guò)變量

7、替換這兩個(gè)公式可寫成更加一般的形式：設(shè)101lim(1)elim(1)enxxnxn???????且則有)??lim0fx???0fx?????sinlim1fxfx?????1lim1fxfxe??????(3)10110100110limnnnnmmxmmnmaxaxaxaanmbbxbxbxbnm?????????????????????????????????????(4)函數(shù)在處連續(xù).??fx0xx???????000fxfx

8、fx?????(5)當(dāng)時(shí)以下各函數(shù)趨于的速度x???????ln0(1)axxxxaaax?????速度由慢到快??ln0(1)!annnnaaann?????速度由慢到快(6)幾個(gè)常用極限??lim01nnaa????lim1nnn???limarctan2xx?????limarctan2xx??????limarccot0xx????limarccotxx?????.lime0xx????limexx?????0lim1xxx??