01 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

1、第四章不定積分?jǐn)?shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的.恩格斯恩格斯)1(數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力主要來(lái)源于社會(huì)發(fā)展的環(huán)境力量.17世紀(jì)，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長(zhǎng)度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等.此類問題的研

2、究具有久遠(yuǎn)的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國(guó)南北朝時(shí)期的祖沖之、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對(duì)此類問題的研究興起于17世紀(jì)，先是窮竭法被逐漸修改，后來(lái)由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.由求運(yùn)動(dòng)速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分，構(gòu)成了微積分學(xué)的微分學(xué)部分；同時(shí)由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成了微積分學(xué)的積分學(xué)

3、部分.前面已經(jīng)介紹已知函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問題，現(xiàn)在我們要考慮其反問題：已知導(dǎo)數(shù)求其函數(shù)，即求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知函數(shù).這種由導(dǎo)數(shù)或微分求原來(lái)函數(shù)的逆運(yùn)算稱為不定積分.本章將介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法.第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)分布圖示分布圖示★問題的引入★原函數(shù)的概念★不定積分的概念★例1★例2★例3★例4★例5★微分運(yùn)算與積分運(yùn)算的關(guān)系★基本積分表★不定積分的性質(zhì)★直接積分法★例6★例7★例8★例9★例10★例11★例1

4、2★例13★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題41內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn)一、一、原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念二、二、不定積分的概念不定積分的概念注:由定義知求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)在中積)(xf)(xf?dxxf)(例4(E04)經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)可由下面函數(shù)給出32?q其中q是產(chǎn)量數(shù)已知生產(chǎn)的固定成本為2求生產(chǎn)成本函數(shù).解設(shè)所求生產(chǎn)成本函數(shù)為按題意，有)(qC32)(???qqC因?yàn)?2)3(2????qqq所以是的一個(gè)原函數(shù)，從

5、而qq32?32?q)(qC???dxq)32(023Cqq???).(0為為為為為C直接積分法直接積分法例5(E05)計(jì)算不定積分.dxx??232)1(解dxx2321????????dxxx????????????343221dxxdxxdx??????343221Cxxx????????134132134113212.37563735Cxxx????例6(E06)求不定積分.dxexx?2解?dxexx2??dxex)2(Cee

6、x??)2ln()2(.2ln12Cexx???例7求不定積分.dxxxxx????)1(122解????dxxxxx)1(122?????dxxxxx)1()1(22dxxx??????????1112?????dxxdxx1112.||lnarctanCxx???例8(E07)求不定積分.???dxxx4211解dxxx???42411dxxxx?????222111dxx???211.arcsinCx??例9(E08)求不定積分.