時(shí)間序列分析講義 第01章 差分方程

1、時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程1第一章差分方程差分方程是連續(xù)時(shí)間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時(shí)間序列方法的基礎(chǔ)，也是分析時(shí)間序列動(dòng)態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列或者金融時(shí)間序列方法主要處理具有隨機(jī)項(xiàng)的差分方程的求解問題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的重要內(nèi)容。1.1一階差分方程假設(shè)利用變量表示隨著時(shí)間變量變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則便是在時(shí)tytty間可以觀測到的數(shù)據(jù)。假設(shè)受到前期取值和其他外生變量的影

2、響，并滿足下述tty1?tytw方程：(1.1)tttwyy????110??在上述方程當(dāng)中，由于僅線性地依賴前一個(gè)時(shí)間間隔自身的取值，因此稱具有ty1?ty這種結(jié)構(gòu)的方程為一階線性差分方程一階線性差分方程。如果變量是確定性變量，則此方程是確定性差分tw方程；如果變量是隨機(jī)變量，則此方程是隨機(jī)差分方程。在下面的分析中，我們假設(shè)tw是確定性變量。tw例1.1貨幣需求函數(shù)貨幣需求函數(shù)假設(shè)實(shí)際貨幣余額、實(shí)際收入、銀行儲(chǔ)蓄利率和商業(yè)票據(jù)利率的對

3、數(shù)變量分別表示為、、和，則可以估計(jì)出美國貨幣需求函數(shù)為：tmtIbtrctrctbttttrrImm019.0045.019.072.027.01??????上述方程便是關(guān)于的一階線性差分方程?？梢酝ㄟ^此方程的求解和結(jié)構(gòu)分析，判斷tm其他外生變量變化對貨幣需求的動(dòng)態(tài)影響。1.1.1差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示為外生變量及其初值的函數(shù)形式，可以通過以前的數(shù)據(jù)計(jì)算出方程變量的當(dāng)前值。由于方程結(jié)構(gòu)對于每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)都是

4、成立的，因此可以將(1.1)表示為多個(gè)方程：：0?t01100wyy??????：1?t10101wyy???????：tt?tttwyy????110??依次進(jìn)行疊代可以得到：1011211010110101)()1()(wwywwyy????????????????????0111122113121102)1(wwwyy?????????????????(1.2)itiittiitwyy????????0111010????上述表達(dá)

5、式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通過代入方程進(jìn)行驗(yàn)證。上述通過疊代將表示為前期變量和初始值的形式，從中可以看出對這些變量取值的依賴性和動(dòng)態(tài)變tyty化過程。1.1.2.差分方程的動(dòng)態(tài)分析：動(dòng)態(tài)乘子(dynamicmultiplier)在差分方程的解當(dāng)中，可以分析外生變量，例如的變化對階段以后的的影響。0wtty假設(shè)初始值和不受到影響，則有：1?ytww1?時(shí)間序列分析方法講義第1章差分方程3，????????????????

6、???00011)(jjjjtjtjjtjtjwywy??????1||???上述分析的是外生變量的暫時(shí)擾動(dòng)，如果發(fā)生一個(gè)單位的變化，而且其后的tw也都發(fā)生一個(gè)單位的變化，這意味著變化是持久的。這時(shí)持久擾動(dòng)對于時(shí)tsws?)(jt?刻的的影響乘數(shù)是：jty?(1.7)0111111????????????????????????jjjtjttttjtwywywy當(dāng)時(shí)，對上式取極限，并將其識(shí)為擾動(dòng)所產(chǎn)生的持久影響：1||1??(1.8)1

7、1111)(lim???????????????????jtjttttjtjwywywy?例1.3貨幣需求的長期收入彈性貨幣需求的長期收入彈性在例1.1中我們已經(jīng)獲得了貨幣的短期需求函數(shù)，從中可以求出貨幣需求的長期收入彈性為：68.072.0119.0?????ttttttdIdwdwdmdIdm這說明收入增加1%最終將導(dǎo)致貨幣需求增加0.68%，這是收入對于貨幣需求反饋的持久影響效果。如果換一個(gè)角度考察擾動(dòng)的影響，那么我們需要分析一個(gè)

8、單位的外生擾動(dòng)對于以后ty路徑的累積影響，這時(shí)可以將這種累積影響表示為：(1.9)?????????110jtjtwy由此可見，如果能夠估計(jì)出差分方程中的系數(shù)，并且了解差分方程解的結(jié)構(gòu)，則可以對經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行穩(wěn)定性的動(dòng)態(tài)分析。另外，我們也發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生變量對外生變量反應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)比較敏感地依賴差分方程中的系數(shù)。1.2階差分方程階差分方程p如果在方程當(dāng)中允許依賴它的階前期值和輸入變量，則可以得到下述階線性差typp分方程(將常數(shù)項(xiàng)歸納到外生變量

9、當(dāng)中)：(1.10)tptptttwyyyy????????????2211為了方便起見，將上述差分方程表示成為矩陣形式：(1.11)tttvF???1??其中：，，?????????????????????121ptttttyyyy????????????????????0001000000100011321??????????ppF??????????????????????000?ttwv其實(shí)在方程(1.11)所表示的方程系統(tǒng)當(dāng)中