第十章 常微分方程和差分方程

1、第十章第十章常微分方程和差分方程常微分方程和差分方程在實(shí)際問(wèn)題中，我們研究的對(duì)象――變量往往是以函數(shù)關(guān)系的形式建立了變量間的客觀聯(lián)系，但卻很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，反而更容易建立這些變量、它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系，即得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，我們稱此方程為微分方程.通過(guò)求解這樣的微分方程，我們同樣可以建立所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，這樣的過(guò)程稱為解微分方程.現(xiàn)實(shí)世界中的許許多多問(wèn)題都可以在一定的條件下抽象為

2、微分方程，例如人口的增長(zhǎng)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)問(wèn)題等等都可歸結(jié)為微分方程的問(wèn)題；這時(shí)的微分方程習(xí)慣上稱為所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型，如人口模型、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型等.因此微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁，是數(shù)學(xué)及其他學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的研究工具.微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系.我們?cè)谶@一章主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的一階、二階微分方程的求解方法，線性微分方程的解的理論及求解方法.但是在經(jīng)濟(jì)管理

3、和許多的實(shí)際問(wèn)題中已知的數(shù)據(jù)大多數(shù)是按等時(shí)間間隔周期統(tǒng)計(jì)的，因而相關(guān)變量的取值是離散變化的.如何尋求它們之間的關(guān)系及變化規(guī)律呢？差分方程是研究這樣的離散型數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，本章在最后介紹差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.10.110.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念先看一個(gè)例子.例1設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，時(shí)刻的銷量為，由于產(chǎn)品性t)(tx能良好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因而時(shí)刻產(chǎn)品的銷售的增長(zhǎng)率與tdtdx成正比；同時(shí)

4、考慮到市場(chǎng)的容量是有限的，假設(shè)市場(chǎng)的容量為，統(tǒng))(txN計(jì)數(shù)據(jù)表明與尚未購(gòu)買產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量也成正比；則dtdx)(txN?可建立如下的微分方程：，)(xNkxdtdx??其中為比例系數(shù).可以求出該微分方程的解為，其中kkNtCeNtx???1)(為積分常數(shù).C的微分方程的解稱為該微分方程的特解微分方程的特解.例如：（是任意常數(shù)）是微分方程Cxxy???1022C的通解，是微分方程的通104???xyxCxCycossin21??0

5、????yy解；而，，是微分方程的特xxy1022??51022???xxy104???xy解，是微分方程的特解.xxycos5sin3??0????yy10.1.510.1.5微分方程的通解與特解的關(guān)系微分方程的通解與特解的關(guān)系微分方程的通解通過(guò)一定的條件確定其中的每一個(gè)任意常數(shù)的數(shù)值，這時(shí)的微分方程的解即為特解；確定每一個(gè)任意常數(shù)的值的條件稱為微分微分方程的初始條件方程的初始條件；微分方程與初始條件合稱微分方程的初始問(wèn)題微分方程的初

6、始問(wèn)題.例如是微分方程的通解；加上條件xCxCycossin21??0????yy，可確定，從而得到10???xy10???xy11?C12??C是微分方程的特解；其中條件，xxycossin??0????yy10???xy是微分方程的初始條件；把10???xy0????yy?????????????11000xxyyyy稱為微分方程的初值問(wèn)題.微分方程的解的圖形是一條曲線稱為微分方程的積分曲線積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線特解是這