常微分方程試卷及答案

1、第 1 頁(yè)2010-2011 學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試 AB 卷答案理學(xué) 院 年級(jí) 信息及計(jì)算科學(xué) 專業(yè)填空題（每題 4 分，共 20 分）1. 形如（ 連續(xù)）的方程是 一階線性微分 ) ( ) ( ' x Q y x P y ? ? ) ( ), ( x Q x P方程，它的通解為. ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? c dx dx x P e x

2、 Q dx x P e y ) ( ) ( ) (2. 形如 的方程是 3 階__齊次__(“齊次”還是”非齊次”)___常__系數(shù)的微分方程,它的 0 y y ???? ?特征方程為 . 3 1 0 ? ? ?3. 形如 的方程為 歐拉 方程, 可通過(guò)變換11 11 1 1 0n nn nn n n nd y d y dy x a x a x a y dx dx dx??? ? ? ? ? ? ? ??把它轉(zhuǎn)化成常系數(shù)方程. t

3、 x e ?4. 滿足初始條件： =0, =1 的特解 2 ( 1) 0, y dx x dy ? ? ? x y 11 ln 1 y x ? ? ?5．5.微分方程 的解存在且唯一的條件 0 0 0 0 ( , ), ( ) , : , dy f x y y x y R x x a y y b dx ? ? ? ? ? ? 滿足是:在 R 上連續(xù)且滿足利普希茨條件 ( , ) f x y一、下列微分方程

4、的解（每題 5 分，共 30 分）1． = dxdy2 ) (1y x ?解：令 x+y=u,則 = -1 ………………………. ……………………….3 dxdydxdu-1=u-arctgu=x+c dxdu2 1uy-arctg(x+y)=c. ………………………. ……………………….52． ? ? ? ? 0 5 3 2 4

5、3 ? ? ? ? xdy ydx y xdy ydx x解：兩邊同乘以 得： y x 2………………………. ……………………….3 ? ? ? ? 0 5 3 2 4 3 5 2 4 2 3 ? ? ? ? ydy x dx y x ydy x dx y x故方程的通解為：………………………. ……………………….5 c y x y x ? ? 5 3 2 4第 3 頁(yè)二、求下列方程（組）的通解（每題 10 分，共 30 分）1．求

6、一曲線，使其任一點(diǎn)的切線在 軸上的截距等于該切線的斜率. OY解： 設(shè) 為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在 點(diǎn)的切線 在 軸上的截距為： ( , ) p x y p l Y………………………. ……………………….3 dy y x dx ?由題意得 dy y x x dx ? ?即 1 1 dy y dx x ? ?也即

7、 ydx xdy dx ? ? ? ?兩邊同除以 ，得 …………………. ………………….5 2 x 2ydx xdy dxx x? ? ? ?即 ………………………. ……………………….7 ( ) ln y d d x x ? ?即 …………………

8、……. ……………………….10 ln y cx x x ? ?為方程的解。2. 滿足初值條件 ' 2' 4 3x x yy x y? ? ? ? ? ? ?(0) 3(0) 3xy? ? ? ? ?解:方程組的特征值 , ………………………. ……………………….2 1 2 5, 1 ? ? ? ? ?對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 應(yīng)滿足 1 5 ? ?12u u u? ? ? ? ?

9、? ?對(duì)任意常數(shù) , , 取 , 得………………………. ……………………….4 0 ? ? 2 u ??? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 12 u ? ? ? ? ? ? ?對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 應(yīng)滿足 2 1 ? ? ?12v v v? ? ? ? ? ? ?對(duì)任意常數(shù) , , 取 , 得………………………. ……………………….6 0 ? ? v ??? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 11 v ? ? ? ? ?