第十章二階線性偏微分方程的分類

1、第十章 二階線性偏微分方程的分類,本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類方法和偏微分方程的標準化. 特別對于常系數的二階線性偏微分方程的化簡方法也進行了詳細討論，這對后面的偏微分方程求解是十分有用的.,10.1 基本概念,(1) 偏微分方程 含有未知多元函數及其偏導數的方程，如,其中,是未知多元函數，而,是未知變量；,為,的偏導數. 有時為了書,寫方便，通常記,(2)方程的階 偏微分方程中未知函數偏導數的最高階數稱為方程

2、的階．,(3)方程的次數 偏微分方程中最高階偏導數的冪次數稱為偏微分方程的次數．,(4)線性方程 一個偏微分方程對未知函數和未知函數的所有（組合）偏導數的冪次數都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程．,(5)準線性方程 一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最高階偏導數是線性的，則稱方程為準線性方程．,(6)自由項 在偏微分方程中，不含有未知函數及其偏導數的項稱為自由項．,例如 ： 方程的通解和特解概

3、念,二階線性非齊次偏微分方程,的通解為,其中,是兩個獨立的任意函數．因為方程為,二階的，所以是兩個任意的函數．若給函數,指定為,特殊的,，則得到的解,稱為方程的特解．,n階常微分方程的通解含有n個任意常數，而n階偏微分方程的通解含有n個任意函數．,10.2 數學物理方程的分類,在數學物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導方程；穩(wěn)定場方程．這三類方程描寫了不同物理現象及其過程，后面我們將會看到它們的解也

4、表現出各自不同的特點．,我們在解析幾何中知道對于二次實曲線,其中,為常數，且設,則當,,時，上述二次曲線分別為雙,曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏,微分方程進行分類.,下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程為例，進行理論分析．而對于更多個自變量的情形盡管要復雜一些，但討論的基本方法是一樣的．,兩個自變量(x, y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為,（10.2.1）,其中,為,的已知函數．,定理10.2.1

5、 如果,是方程,(10.2.2),的一般積分，則,是方程,(10.2.3),的一個特解．,在具體求解方程(10.2.10)時，需要分三種情況討論判別式,1. 當判別式,以求得兩個實函數解,時，從方程(10.2.10)可,也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實的特征線．于是，令,即可使得,．同時，根據(10.2.4)式，就可以斷定,．所以，方程(10.2.6) 即為,(10.2.4),或者進一步作變換,于是有,所以,又可以進一步將

6、方程(10.2.11)化為,這種類型的方程稱為雙曲型方程．我們前面建立的波動方程就屬于此類型．,2．當判別式,時：這時方程,(10.2.10)一定有重根,因而只能求得一個解，例如，,，特征線為,一條實特征線．作變換,就可以使,由(10.2.4)式可以得出，一定有,，故可推出,．這樣就可以任意選取另一個變換，,只要它和,彼此獨立，即雅可俾式,即可．這樣，方程(10.2.6)就化為,此類方程稱為拋物型方程．熱傳導（擴散）方程就屬于這種類型

7、．,3. 當判別式,面的討論，只不過得到的,時：這時，可以重復上,和,是一,對共軛的復函數，或者說，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是,一對共軛復函數族．于是,是一對共軛的復變量．進一步引進兩個新的實變量,于是,所以,方程(10.2.11)又可以進一步化為,這種類型的方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型．,綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種

8、類型，只需討論判別式,即可.,10.3 二階線性偏微分方程標準化,對于二階線性偏微分方程,(10.3.1),若判別式為,，則二階,線性偏微分方程分為三類：,,時，方程稱為雙曲型;,時，方程稱為拋物型;,時，方程稱為橢圓型;,1.雙曲型偏微分方程,因為雙曲型方程對應的判別式,所以特征曲線是兩族不同的實函數曲線，,設特征方程的解為,令,(10.3.2),進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?(10.3.3),上式稱為雙曲型偏微分方程

9、的第一種標準形式，再作變量代換，令,或,則偏微分方程又變?yōu)?(10.3.4),上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式．,注：上式中的“*”號不代表共軛，僅說明是另外的函數。如,,,與,是兩個不同的函數。,2．拋物型偏微分方程,因為拋物型偏微分方程的判別式,線是一族實函數曲線．,，所以特征曲,其特征方程的解為,(10.3.5),因此令,進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?(10.3.6),上式稱為拋物型偏微分方程的標準形式．,3.橢圓型偏

10、微分方程,橢圓型偏微分方程的判別式,，所以特征曲線是,一組共軛復變函數族．其特征方程的解為,(10.3.7),若令,(10.3.8),作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?(10.3.9),上式稱為橢圓型偏微分方程的標準形式．,10.4 二階線性常系數偏微分方程的進一步化簡,如果二階偏微分方程的系數是常數，則標準形式的方程還可以進一步化簡．下面按三種類型分別介紹化簡的方法,1.雙曲型,對于下列含常系數的第一種標準形式的雙曲型標準方程還可進

11、一步化簡,注：上式中用小寫字母,代表常系數，以便與,我們不妨令,大寫字母代表某函數區(qū)別開來, 例如,．為了化簡，,從而有,(10.4.2),其中,由第二種標準形式的雙曲型偏微分方程（含常系數）可以進一步化簡,(10.4.3),式中,均為常系數．若令,則有,(10.4.4),(10.4.5),其中,對于含常系數的拋物型偏微分標準方程（含常系數）,（10.4.6）,還可以進一步化簡．上式中小寫字母,均為常系數．,為了化簡，不妨令,從而有,

12、(10.4.7),2.拋物型,3.橢圓型,對于下列第一種標準形式的橢圓型標準方程(含常系數),(10.4.8),還可以進一步進行化簡．上式中小寫字母的,為常系數．,為了化簡，不妨令,從而有,(10.4.9),其中,含有兩個自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以寫成下面的形式：,其中 L 是二階線性偏微分算符，G是x,y的函數．,線性偏微分算符有以下兩個基本特征：,10.5 線性偏微分方程解的特征,其中,均為常數．進一步有如下結論：,1

13、.齊次的線性偏微分方程的解有以下特性：,為方程的解時，則,也為方程的解；,(1).當,為方程的解，則,也是方程的解；,(2)若,2.非齊次的線性偏微分方程的解具有如下特性：,為非齊次方程的特解，,為齊次方程的通解，則,為非齊次方程的通解；,(1)若,(2),若,則,3．線性偏微分方程的疊加原理,需要指出:線性偏微分方程具有一個非常重要的特性，稱為疊,加原理，即若,是方程,（其中 L 是二階線性偏微分算符）的解.如果級數,收斂，且二階偏導