二階常系數(shù)線性齊次微分方程

1、,第五節(jié)二階常系數(shù)線性齊次微分方程,一、二階常系數(shù)線性齊次微分 方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性齊次微分 方程的解法,,,,的方程，稱(chēng)為二階線性微分方程.當(dāng) 時(shí)，方程(1)成為,形如,,,,定理11.1 設(shè)y1(x)， y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個(gè)解，則 也是方程(3)的解

2、，其中C1, C2是任意常數(shù).,一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu),證,,,,,,,這個(gè)定理表明，二階線性齊次微分方程任何兩個(gè)解y1(x)， y2(x)的線性組合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,,,,例1 對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次微分方程,容易驗(yàn)證：

3、 都是它的解.由定理11.1 知,也是它的解.但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C，顯然它不是所給方程的通解.,,,,問(wèn)題：方程(3)的兩個(gè)特解y1(x)， y2(x)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，,才是方程(3)的通解？,,,,定義6.1 設(shè)y1(x) 與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，如果存在不為零的常數(shù)k (或存在不全為零的常數(shù)k1 , k2)，使得對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的一切x ，有,成立，則稱(chēng)

4、函數(shù)y1(x) 與y2(x) 在該區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱(chēng)y1(x) 與y2(x) 線性無(wú)關(guān).,例如，例1中 是線性相關(guān)的， 是線性無(wú)關(guān)的.,,,,定理6.2 如果函數(shù)y1(x) 與y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則,就是方程(3)的通解,其中C1,

5、 C2為兩個(gè)任意常數(shù).,,,,例2,,,,,,,二、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法,把 代入方程(3)，整理后得,稱(chēng)一元二次方程(5)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的特征方程.,,,,是方程(3)的解，,特征方程(5)的根為,即 線性無(wú)關(guān).因此方程(3)的通解為,,,,于是得到方程(3)的一個(gè)特解 ，須找出方程(3)

6、的另一個(gè)特解y2，且,,,,,,,取一個(gè)滿(mǎn)足上式且不為常數(shù)的u(x),即可得到所求的y2,將上式積分兩次,得,可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)的另一個(gè)特解,線性無(wú)關(guān)，方程(3)的通解為,是方程(3)的復(fù)數(shù)形式特解.利用歐拉公式,,,,再由定理6.1可知，函數(shù),也是方程(3)的解，且,,,,求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：,1.寫(xiě)出特征方程，并求出特征方程的兩個(gè)根；,2 .根據(jù)兩個(gè)特征根的不同情況，按