二階變系數(shù)非線性偏微分方程之間Miura變換的分類.pdf

1、本文研究形如uxx=F（x，t，u，ux，ut）的二階非線性偏微分方程由形如{vx=w(x，t，v）+u，vt=ζ(x,t,v,u)+η(x,t,v,v)ux.的可積系統(tǒng)所定義的Miura變換u(→)v的分類問題，其中函數(shù)F，w，ζ，η都顯含自變量x和t.由于從可積系統(tǒng)的第一個方程可解出u=vx-w(x，t，v)，將之代入可積系統(tǒng)的第二個方程即可得到v所滿足的非線性偏微分方程，因此在分類過程中不必預(yù)先假設(shè)v方程的具體形式。
　　

2、 本文證明了這樣的非線性偏微分方程及其相應(yīng)的可積系統(tǒng)等價于以下四類。
　　 第一類:非線性偏微分方程為uxx=ft+gα+gr-hf-hu-αx-rx+（g-αu）ux+ut，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=f(χ，t)+g(χ，t)v+u，vt=α(x,t，u)+h(x，t)v+r（x,t）+ux，其中f(x，t)，r(x，t)，α(x，t，u)(≠0)是相應(yīng)變量的任意光滑函數(shù)，而光滑函數(shù)g，h滿足gt=hx。此時v滿足非線性偏微分方

3、程vt=α(x，t，vx-f-gv)+hv+r+vxx-fx-gxv-gvx;
　　 第二類:非線性偏微分方程為uxx=p(x,t，u)+(c2+2c3u)ux+ut,相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=W(x，t，v)+u，vt=ζ（x，t，v，u）+ux，其中函數(shù)w,ζ，p由下列公式確定w(x，t，v)=λ-c3x/c3v+e-c3v，ζ(x，t，v，u)=-c3x/c3u-c3e-c3vu+e-c3v（-3c3x/c3+c3λ-c2）

4、-c3t/c3v-c1-c2u-c3u2+G(x,t)，p(x，t，u)=wt+wvζ-ζx-ζv（w+u），c1(x，t)，c2(x，t)，c3(x，t)(≠0)，λ(x，t)是任意光滑函數(shù)，而函數(shù)G由下列公式確定G(x，t)=c1-λc2+λ2c3-λx+c2x-5λc3x/c3+c3t+3c3xx+c2c3x/c32.此時v滿足非線性偏微分方程vt=ζ(x，t,v，vx-w）+vxx-wx-wvvx.
　　 第三類:非線性

5、偏微分方程為uxx=-hu2+（λt+μr+μβ-hλ-rx-βx）u+（-uβu+μ）ux+ux2/u+uut，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=λ(x，t)+μ(x，t)v+u，vt=h(x，t)v+r(x，t)+β(x，t，u)+ux/u，其中λ(x，t)，r(x，t)，β(x，t，u)(≠0)是相應(yīng)變量的任意光滑函數(shù)，而光滑函數(shù)μ，h滿足μt=hx。此時v滿足非線性偏微分方程vt=h(x,t)v+r(x，t)+β(x，t，vx-λ(x，t

6、)-μ(x，t）v）+vxx-λx-μxv-μvx/vx-λ(x,t)-μ(x,t)v;
　　 第四類:非線性偏微分方程為uxx=p（x，t，u）+[c1ulnu+(c1+c2)u-3c1x/c1+λc1]ux+ux2+uut，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=w(x，t，v）+u，vt=ζ(x，t，v，u)+ux/u，其中w(x，t，v)=λ-c1x/c1v+e-c1v，ζ(x，t，v，u)=c1t/c12+c1xc2/c12+c1c2

7、x/c12-[c1e-c1v+λc1-2c1x/c1+c1u]lnu-c2u-c2e-c1v-c1t/c1v-c2λ，p(x，t，u)=uwt+uwvζ-uζx-uζv(w+u)，c1(x，t)(≠0)，c2(x，t)，λ(x，t)是任意光滑函數(shù)。此時v滿足非線性偏微分方程vt=ζ(x,t,v，vx-w)+vxx-wx-wvvx/vx-w.作為上述Miura變換的應(yīng)用，本文最后給出幾個例子，選取u方程的平凡解，通過求解相應(yīng)的可積系統(tǒng)而得