二階非線性偏微分方程之間Miura變換的分類.pdf

1、本文研究形如uxx=F(u，ux，ut)的非線性偏微分方程由形如{vx=ω(v)+uvt=ζ(v，u)+η(v，u)ux的可積系統(tǒng)所定義的Miura變換的分類問題.由于從如上可積系統(tǒng)中的第一個方程可解得u=vx-ω(V)，代入可積系統(tǒng)中的第二個方程即可得到V所滿足的偏微分方程，因此在分類過程中不必對v的方程附加任何限制條件.本文證明了這樣的非線性偏微分方程等價于如下四類：
　　 第一類是uxx=p(u)-p'(u)ux+ut(其

2、中p是任意非線性光滑函數(shù))，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=λ+v+u，vt=λ+v+u+p(u)+ux,其中λ是任意常數(shù).此時v滿足非線性偏微分方程vt=p(vx-λ-V)+vxx；
　　 第二類是Burgers方程uxx=2uux+ut，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=λ+u+e-v,vt=λ2-u2+ux+(λ-u)e-v，其中λ是任意常數(shù).此時v滿足非線性偏微分方程vt=-v2x+2λvx+2vxe-v+vxx，該方程與Burgers方

3、程等價；
　　 第三類是uxx=p(u)-[μ-1/μ(u-p(u)/u+p'(u))]ux+u2x/u+uut(其中p是任意光滑函數(shù)，μ是任意非零常數(shù))，相應(yīng)的可積系統(tǒng)為{vx=λ+μv+u，vt=v+1/μ(λ+u+p(u)/u)+ux/u,其中λ是任意常數(shù).此時v所滿足的方程為vt=v+1/μ(vx-μv+p(vx-μv-λ)/vx-μv-λ)+vxx-μvx/vx-μv-λ；
　　 第四類是uxx=λux+ueu