高階彈性常數(shù)

1、高階彈性常數(shù)高階彈性常數(shù)??導論(Introduction)??1廣義Hooker定理以及晶體的Neumann原理??2應變自由能與彈性常數(shù)的關系??3高階彈性常數(shù)的獲得與計算??4參考文獻[顯示部分]導論(Introduction)眾所周知的是二階彈性常數(shù)是一個二階四秩張量（Cijkl），三階彈性常數(shù)是三階六秩張量（Cijklmn）；更高階的彈性常數(shù)還包括四階彈性常數(shù)（Cijklmnpq），五階彈性常數(shù)（Cijklmnpqrs）和六階

2、彈性常數(shù)（Cijklmnpqrsuv），分別是八秩，十秩和12秩張量。目前研究報道的最高彈性常數(shù)為6階彈性常數(shù)。二階彈性常數(shù)的計算由于張量分量較少，同時在計算過程中主要是采用了線性Hooker定理，所施加的應變量很小，因此在材料力學性能表征中得到了廣泛的應用，三階彈性常數(shù)描述了非線性Hooker定理或者非線性力作用下的材料的力學響應問題。三階彈性常數(shù)矩陣形式十分復雜，即使對于立方晶體結構也有6個獨立分量，對于對稱性更低的晶體結構則分量更

3、多，如果采用能量－應變的方法來計算各個獨立分量，則計算量相當可觀。如立方晶體（點群Oh，O，Td）有六個獨立分量，則需要六個不同的應變模式，得到六個多元一次方程組，聯(lián)立求解得到各個分量數(shù)值。若采用應力－應變（Strain－Stressrelations）則可以明顯減少應變模式的數(shù)量，但主要問題在于這要求第一原理計算軟件具有計算晶體Cauchy應力張量的能力，然而，目前廣泛采用的DFT計算軟件，如VASP，Wine2K等等是不能直接得到C

4、auchy應力張量的，只能計算特定應變下的應變能數(shù)值。MaterialsStudio軟件中的CASTEP模塊是目前為數(shù)不多的具有直接計算應變結構Cauchy應力張量的軟件，因此CASTEP模塊在計算材料的二階彈性常數(shù)方面十分的方便。此外，對于三階彈性常數(shù)，目前沒有軟件可以直接計算，需要研究者自行設計方法進行計算。三階彈性常數(shù)可以描述材料在高壓下的力學響應情況，鑒于目前高壓物理學，行星結構科學等相關領域的飛速發(fā)展，對于超硬材料的非線性力學

5、常數(shù)受到了越來越多的關注。采用超聲腔共振法可以方便的測量材料的二階彈性常數(shù)，但對于非線性彈性常數(shù)，試驗方面進展十分的緩慢，時至今日，大部分超硬材料的高階彈性常數(shù)仍然是未知的。1廣義Hooker定理以及晶體的Neumann原理(ThegeneralizedHookersLawNeumannPrinciple)1.1廣義廣義Hooker定理定理(TheGeneralizedHookersLaw)與傳統(tǒng)線彈性力學中廣泛采用的Hooker定理相

6、比，廣義Hooker定理可以認為是包含了高階非線性應力和應變關系項的Hooker定理的Tayl級數(shù)展開形式，因此從數(shù)學意義上來講這種應力對應變的階數(shù)可以無限制的進行，正如前文所說，目前廣泛采用的彈性常數(shù)為應力對應變展開的線性項，展開系數(shù)即為Cijkl，Cijkl就是彈性常數(shù)，由于根據張量運算法則可知Cijkl是一個四秩張量，描述兩個二秩張量應力（stress）和應變（Strain）之間的關系。Cijkl矩陣元素有3^4個，考慮到Lagr

7、ange應變?yōu)閷ΨQ矩陣，同時應變自由能與應變路徑無關，可以用一個66的矩陣來描述，有36個矩陣元素。進一步的矩陣元素化簡來自于晶體結構點群對稱性對物理學性質的限制，即Neumann原理。例如對于三斜晶體（TriclinicCrystalThirdder6thranktens(Cijklmn)Cijklmnpq:Fourthder8thranktens566matrixwith336elementsfcubiccrystalclassth

8、eindependentnuberis11研修班北京大學研修班清華總載班Fourthder8thranktens(Cijklmnpq)研修班北京大學研修班清華總載班UsingVoigtnotationswehaveCijkl－Cij，Cijklmn－CijkCijklmnpq－CijklVoigtNotations:examples:C1111－C11，C111111－C111C11111111－C1111；C1122－C12；C112

9、233－C123；C11112233－C1123；C2332＝C2323＝C44etc.etc.11223323(32)13（31）12(21)1234561.2Neumann原理原理（NeumannPrinciple）Neumann原理指出，任何晶體結構的物理性質所具有的對稱性不低于晶體點群的對稱性，這表明張量分身最少具有晶體點群對稱性，將晶體點群對稱操作作用到各個張量分量Cijkl上，得到新的張量Cmnpq，則Cijkl＝Cmnpq