均值不等式及其證明

1、1平均值不等式及其證明平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多種方法，這里，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節(jié)介紹和討論，如數學歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式平均值不等式一般地，假設為n

2、個非負實數，它們的算術平均值記為12...naaa12...nnaaaAn????幾何平均值記為。11212(...)...nnnnnGaaaaaa??算術平均值與幾何平均值之間有如下的關系。，1212......nnnaaaaaan????即，nnAG?當且僅當時，等號成立。12...naaa???上述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達形式簡單，容易記住，但它的證明和應用非常靈活、廣泛，有多種不同的方法。為

3、使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學習。1.2平均值不等式的證明平均值不等式的證明證法一（歸納法）（1）當時，已知結論成立。2n?（2）假設對nk?（正整數2k?）時命題成立，即對012...iaik??有。11212...(...)kknaaaaaak????那么，當1nk??時，由于121...kkaaaa?????121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG????????????

4、??112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG????????1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG???????1121112(1)kkkkkkkGGkG????????1(1)kkG???從而，有11kkAG???證法三（歸納法）（1）當時，已知結論成立。2n?（2）假設對nk?（正整數2k?）時命題成立，即對012...iaik??有。1212......kkkaaakaaa????那么，當1nk?