函數(shù)方程講義(二) - institute of statistical science, …

1、1函數(shù)方程講義(二)張幼賢提供一、線性遞迴方程式：一、線性遞迴方程式：1一階線性遞迴方程定義：定義：可以表示為其0)()2()1()(1321??????????bknfanfanfanfak?中及b為給定常數(shù)的方程式稱為線性遞迴方程。1a2a1?ka?定理：定理：若f(1)=a，則一階線性遞迴方程f(n1)=cf(n)b(1)其中a，b，c為常數(shù)的解為(2)???????????????1)1(11)()(1cbnaccbcabacn

2、fnn如果如果【解】：(Ⅰ)首先我們來證明c≠1的情形，我們將(1)式改寫為??pnfcpnf????)()1(比較它和(1)的係數(shù)，可知cpp=b，即1??cbp?????????????1)(1)1(cbnfccbnf這表示為一個(gè)以c為公比的等比數(shù)列。首項(xiàng)為????????1)(cbnf，為第項(xiàng)，所以11)1(?????cbacbf1)(??cbnfn(3)1)1(1)(??????nccbacbnf(當(dāng)c≠1)1)()(1????

3、???cbcabacnfnn(Ⅱ)若c=1，則(1)式為f(n1)=f(n)b3，當(dāng)c≠1cbccbanfn????????????11)(1(5)且f(n)=a(n1)b，當(dāng)c=1。(6)(a)因此，當(dāng)c≠1，時(shí)，為一常數(shù)函數(shù)且當(dāng)c=1，b=cba??1cbnf??1)(0時(shí)，f(n)=a亦為一常數(shù)函數(shù)。(b)當(dāng)時(shí)，將隨n的增大而趨近於無限大，故當(dāng)1?c1??nca≠(i.e.)，而為一定數(shù)，所以由(5)式可知也cb?101???cb

4、acb?1)(nf隨n的增大而趨近於無限大(cf.(5))；當(dāng)c=1且，由(6)可知也隨0?b)(nfn的增大而趨近於無限大。(c)當(dāng)時(shí)，將隨n的增大而趨近於0，所以當(dāng)(i.e.1?c1?nccba??1)01???cba且為一常數(shù)，由(5)可知，f(n)可隨n的增大而趨於。cb?1cb?1(d)當(dāng)c=1，且a≠時(shí)，由(5)可知cb?1????????????????????為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)nabbbanabbanf11)1)(11