[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第一章第一章3講

1、,,我們首先引入的計算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為,古典概型,一、古典概型,假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果,假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會.,e1, e2, …，eN ,,常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.,e1, e2, …，eN,試驗結(jié)

2、果,,,,,,,,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為1－10 .把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.,因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得 . 也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,,,,,,,10個球中的任一個被取出的機(jī)會都是1/10,我們用 i

3、表示取到 i號球， i =1,2,…,10 .,稱這樣一類隨機(jī)試驗為古典概型.,2,且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同 .,S={1,2,…,10} ,,則該試驗的樣本空間,如i =2,稱這種試驗為有窮等可能隨機(jī)試驗 或古典概型.,定義1 若隨機(jī)試驗滿足下述兩個條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個樣本點； (2) 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.,二、古典概型中事件概率的計算,記 A=

4、{摸到2號球} P(A)=?,P(A)=1/10,記 B={摸到紅球} P(B)=?,P(B)=6/10,2,這里實際上是從“比例” 轉(zhuǎn)化為“概率”,記 B={摸到紅球} P(B)=6/10,靜態(tài),動態(tài),當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.,,這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題 .,定義2 設(shè)試驗E是古典概型, 其樣本空間S由n個樣本點組成 , 事件A由k個樣本點

5、組成 . 則定義事件A的概率為：,稱此概率為古典概率(Classical Probabilities). 這種確定概率的方法稱為古典方法 .,排列組合是計算古典概率的重要工具 .,請回答：,1、怎樣的一類隨機(jī)試驗稱為古典概型？,2、如何計算古典概型中事件的概率？ 為什么這樣計算？,下面我們就來介紹如何計算古典概率.,這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計算古典概率所用到的,1. 加法原理,設(shè)完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法

6、，,第二種方式有n2種方法,,…；,第m種方式有nm種方法,,無論通過哪種方法都可以完成這件事，,則完成這件事總共有n1 + n2 + … + nm 種方法 .,例如，某人要從甲地到乙地去,,甲地,乙地,可以乘火車,,也可以乘輪船.,火車有兩班,輪船有三班,乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?,3 + 2 種方法,回答是,2. 乘法原理,設(shè)完成一件事有m個步驟，,第一個步驟有n1種方法，,第二個步驟有n2種方法,,必須通過每一步

7、驟,才算完成這件事，,例如，若一個男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？,可以有 種打扮,加法原理和乘法原理是兩個很重要計數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ) .,三、排列、組合的幾個簡單公式,排列和組合的區(qū)別：,順序不同是不同的排列,3把不同的鑰匙的6種排列,而組合不管順序,從3個元素取出2個的排列總數(shù)有6種,,從3個元素取出2個的組合總數(shù)有3種,1、

8、排列: 從n個不同元素取 k個（1 k n)的不同排列總數(shù)為：,k = n時稱全排列,排列、組合的幾個簡單公式,例如：n=4, k =3,第1次選取,第2次選取,第3次選取,從n個不同元素取 k個（允許重復(fù)）（1 k n)的不同排列總數(shù)為：,例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張,,共有4.4.4=43種可能取法,2、組合: 從n個不同元素取 k個（1 k n)的不同組合總數(shù)為：,你能證明嗎？,,

9、3、組合系數(shù)與二項式展開的關(guān)系,令 a=-1,b=1,,利用該公式，可得到許多有用的組合公式：,令 a=b=1,得,4、n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為,,n個元素,因為,請回答：,對排列組合，我們介紹了幾個計算公式？,排列： 選排列，全排列，,下面我們就用這些公式來計算.,分組分配.,組合；,允許重復(fù)的排列 ;,四、古典概率計算舉例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同

10、樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為,故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：,這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次 .,解：七個字母的排列總數(shù)為7！,這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的

11、把握懷疑這是魔術(shù).,具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).,,解：,=0.3024,允許重復(fù)的排列,問：,錯在何處？,例2 某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.,計算樣本空間樣本點總數(shù)和所求事件所含樣本點數(shù)計數(shù)方法不同.,從10個不同數(shù)字中取5個的排列,,例3 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,這是一

12、種無放回抽樣.,解：令B={恰有k件次品}P(B)=？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,次品,正品,……,M件次品,N-M件正品,,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為,而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故,例4 n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只 . 問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？,例5 假設(shè)每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的 , 即都等于

13、 1/365 ,求 64 個人中至少有2人生日相同的概率.,64 個人生日各不相同的概率為,故64 個人中至少有2人生日相同的概率為,解,,課堂練習(xí),1o 電話號碼問題 在7位數(shù)的電話號碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.,2o 骰子問題 擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的概率.,“等可能性”是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點是等可能的.,1、在應(yīng)用古典概型

14、時必須注意“等可能性”的條件.,需要注意的是：,在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計算事件的概率.,2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.,例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？,下面的算法錯在哪里？,錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.,,從5雙中取1雙，從剩下的 8只中取2只,例如：從5雙不同的鞋子中任取4

15、只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？,正確的答案是：,請思考：還有其它解法嗎？,2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.,3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：,有n個人，每個人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.,3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：,有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/3

16、65. 求這n (n ≤365)個人的生日互不相同的概率.,3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：,有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為1/ N(N ≥ n) ，求指定的n個站各有一人下車的概率.,3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型：,某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.,你還可以舉出其它例子，留作課下練習(xí).,,2o 生日問題 某班

17、有20個學(xué)生都是同一年出生的,求有10個學(xué)生生日是1月1日,另外10個學(xué)生生日是12月31日的概率.,課堂練習(xí),1o 分房問題 將張三、李四、王五3人等可能地分配到3 間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.,這一講，我們介紹了古典概型. 古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應(yīng)用.,是常見的幾種模型 .,箱中摸球,分球入箱,隨機(jī)取數(shù),分組分配,課下可通過作業(yè)進(jìn)一步掌握.,早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到，只考慮有限

18、個等可能樣本點的古典方法是不夠的.,把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.,幾何方法的要點是：,1、設(shè)樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為μ(S);,2、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，這里“隨機(jī)投擲一點”的含義是指該點落入S 內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).,3、設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為 μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲

19、一點，該點落在區(qū)域A的概率為,（*）,4、假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點的含義如前述，則事件A的概率仍可用（*）式確定，只不過把 理解為長度或體積即可.,蒲豐投針試驗,法國自然哲學(xué)家蒲豐先生經(jīng)常搞點有趣的試驗給朋友們解悶。,數(shù)學(xué)家蒲豐 (Buffon，Georges Louis）(1707-1788),,1777年的一天，蒲豐先生又在家里為賓客們做一次有趣的試驗，他先在一張白紙上畫滿

20、了一條條距離相等的平行線。然后，他抓出一大把小針，每根小針的長度都是平行線之間距離的一半。蒲豐說：“請諸位把這些小針一根一根地往紙上隨便扔吧?！笨腿藗兒闷娴匕研♂樢桓桓赝埳蟻y扔。,,最后蒲豐宣布結(jié)果：大家共投針2212次，其中與直線相交的就有704次。用704 去除 2212，得數(shù)為3.142。他笑了笑說：“這就是圓周率π的近似值。”這時，眾賓客嘩然：“圓周率π? 這根本和圓沾不上邊呀?”,,蒲豐先生卻好像看透了眾人的心思，

21、斬釘截鐵地說：“諸位不用懷疑，這的確就是圓周率π的近似值。你們看，連圓規(guī)也不要，就可以求出π的值來。只要你有耐心，投擲的次數(shù)越多，求出的圓周率就越精確?！边@就是數(shù)學(xué)史上有名的“投針試驗”。 下面我們來看蒲豐先生是怎樣求出的：,蒲豐投針試驗,例6　1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( b<a )的針,試求針與某一平

22、行直線相交的概率.,解,由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.,蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義,單擊圖形播放/暫停 ESC鍵退出,利用蒙特卡羅(Monte Carlo)法進(jìn)行計算機(jī)模擬.,實際上，許多隨機(jī)試驗的結(jié)果并不都是有限個，而且，即使是有限個，也未必是等可能的.,而幾何方法的正確運(yùn)用，有賴于“等可能性”的正確規(guī)定.,考慮用一個天平稱物時的誤差，這個試驗的結(jié)果就有無限多個，而且這些結(jié)果也不具有前述幾何概率定義中的“等可能性”.,那么

23、，如何知道誤差落在某個范圍內(nèi)的概率呢？,對于這個問題，學(xué)了下一講后，你就能回答了.,再如，一射手向一目標(biāo)射擊，“中靶” 與“脫靶”一般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？,,,,那么,兩人會面的充要條件為,例6 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內(nèi), 在預(yù)定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間 t( t<T ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這段時間內(nèi)各時刻到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時刻互不牽

24、連.求甲、乙兩人能會面的概率.,會面問題,解,故所求的概率為,,,若以 x, y 表示平面上點的坐標(biāo) ,,則有,,費爾馬大定理（1637年）,1637年，法國業(yè)余大數(shù)學(xué)家費爾馬（Pierre de Fremat）在“算術(shù)”的關(guān)于勾股數(shù)問題的頁邊上，寫下猜想：,費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。,歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。令無數(shù)人耗盡心力，空留浩嘆。,1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n

25、，最多只有有限多個a，b，c振動了世界，獲得費爾茲獎（數(shù)學(xué)界最高獎）。,童年就癡迷于此的英國學(xué)者懷爾斯，潛心研究數(shù)年，終于在1993年6月23日劍橋大學(xué)牛頓研究所的“世紀(jì)演講”最后，宣布證明了費爾馬大定理。 1995年，A.Wiles用108頁論文證明了費爾馬大定理。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發(fā)表在美國《數(shù)學(xué)年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。 1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾