《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章-隨機(jī)事件

1、例1 設(shè)A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C 表示出來.,解,解,解,解,,S,,A,,B,,BA,,例6 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% ， 1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,,解,由全概率公式得,,,30%,,20%,50%,,2%,1%,1

2、%,例7,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由貝葉斯公式得,分析,這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.,例2,解,解,例2,解,例1,例4 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 [ 2, 5 ]上服從均勻分布, 現(xiàn)對 X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測 ,試求至少有兩次觀測值大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“對 X 的觀測值大于 3 ”的事件,,解,即

3、 A={ X >3 }.,因而有,設(shè)Y 表示3次獨(dú)立觀測中觀測值大于3的次數(shù),,則,解,例6,Y 的分布律為,解,第一步 先求Y=2X+8 的分布函數(shù),解,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,例3,第二步 由分布函數(shù)求概率密度.,例4,解,(2) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),,即有,解,例3,解,實(shí)例6 設(shè) ( X , Y ) 的分布律為,1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有,證明,2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,

4、C 是常數(shù), 則有,證明,例如,二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),4. 設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有,3. 設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有,證明,說明 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.,證明,5. 方差的性質(zhì),(1) 設(shè) C 是常數(shù), 則有,(2) 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有,證明,(3) 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在, 則,證明,推廣,解

5、,例3,4. 協(xié)方差的計(jì)算公式,5. 性質(zhì),2. 幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的定義,(1)樣本平均值,(2)樣本方差,其觀察值,其觀察值,(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差,其觀察值,(4) 樣本 k 階(原點(diǎn))矩,其觀察值,(5)樣本 k 階中心矩,其觀察值,4. 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布,定理一,定理二,證明,且兩者獨(dú)立, 由 t 分布的定義知,定理三,矩估計(jì)法的定義,用樣本矩來估計(jì)總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù),這種估計(jì)法稱為矩估計(jì)

6、法.,矩估計(jì)法的具體做法:,矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.,解,根據(jù)矩估計(jì)法,,例2,解,例3,解方程組得到a, b的矩估計(jì)量分別為,解,解方程組得到矩估計(jì)量分別為,例4,求最大似然估計(jì)量的步驟:,,費(fèi)舍爾,最大似然估計(jì)法是由費(fèi)舍爾引進(jìn)的.,,,最大似然估計(jì)法也適用于分布中含有多個(gè)未知參數(shù)的情況. 此時(shí)只需令,對數(shù)似然方程組,對數(shù)似然方程,解,例5,這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.,正態(tài)總體均值方差的置信區(qū)間與上下限,單個(gè)正態(tài)總體,無偏性