第二章極限與連續(xù)

1、1第二章極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限A、數(shù)列｛Un｝中的數(shù)稱為數(shù)列的項，Un為數(shù)列的一般項或通項。正整數(shù)n稱為數(shù)列的下標。給定數(shù)列｛Un｝，各項的取值由其下標唯一確定，所以數(shù)列｛Un｝可以視為定義在正整數(shù)集N上的函數(shù)，即稱為下標函數(shù)。B、已知數(shù)列｛Un｝，當n無限增大時，Un無限趨近于某一個常數(shù)A，則A為數(shù)列｛Un｝的極限。即limn???Un=A或Un→A（n→∞）①若數(shù)列｛Un｝有極限，則稱數(shù)列｛Un｝收斂，或Un存在li

2、mn???②若數(shù)列｛Un｝無極限，則稱數(shù)列｛Un｝發(fā)散，或Un不存在limn???※有界數(shù)列：|Un|≤M（n∈N，M＞0）※收斂數(shù)列必定有界，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限【前提必須是在某一趨向下】A、x→∞時函數(shù)f（x）的極限a、已知f（x），x→∞時，f（x）無限趨近于某一個常數(shù)A，則稱當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限存在，且稱當A為x→∞時，f（x）的極限?！倦p邊極限】記作：f（x）=A或f（x）→A，（x→∞

3、）limx??b、已知f（x），x→∞時，f（x）無限趨近于某一個常數(shù)A，則稱當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限存在，且稱當A為x→∞時，f（x）的極限?！締芜厴O限】記作：f（x）=A或f（x）→A，（x→∞）limx???c、已知f（x），x→∞時，f（x）無限趨近于某一個常數(shù)A，則稱當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限存在，且稱當A為x→∞時，f（x）的極限?！締芜厴O限】記作：f（x）=A或f（x）→A，（x→∞）limx???綜上：f（x）

4、=Af（x）=f（x）=Alimx??limx???limx???B、x→x0時f（x）的極限a、f（x）在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義，x→x0時f（x）無限趨近于某常數(shù)A。即當x→x0時f（x）的極限存在，且稱A為x→x0時f（x）的極限。記作：f（x）=A或f（x）→A，（x→x0）0limxx?b、f（x）在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義，x→x0時f（x）無限趨近于某常數(shù)A。即常數(shù)A為x→x0時f（x）的左極限。記作：f（x）=A或f（

5、x）→A，（x→x0）或f（x00）=A0limxx??c、f（x）在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義，x→x0時f（x）無限趨近于某常數(shù)A。即常數(shù)A為x→x0時f（x）的右極限。【左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限】記作:f（x）=A或f（x）→A，（x→x0）或f（x00）=A0limxx??綜上：f（x）=Af（x）=f（x）=A0limxx?0limxx??0limxx??3a、若極限limf（x）存在，則極限值唯一?！疚ㄒ恍浴縝、f（x）存

6、在，則函數(shù)f（x）在x0的某空心鄰域內(nèi)有界?！揪植坑薪缧浴?limxx?c、若f（x）=A【局部保號性】0limxx?①、A＞0（或A＜0），則函數(shù)f（x）在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f（x）＞0（或＜0）②、x0的某空心鄰域內(nèi)恒有f（x）≥0（或f（x）≤0）則有A≥0（或A≤0）c、若f（x）=A，若g（x）=Ｂ，且在的某個空心鄰域內(nèi)恒有f（x）≥g（x），則Ａ≥Ｂ0limxx?0limxx?0xB、函數(shù)極限的運算法則a、limf（x）

7、與limg（x）存在，則lim[f（x）g（x）]與lim[f（x）?g（x）]存在若有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=B，lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）=ABb、limf（x）與limg（x）存在，若有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=Blim[f（x）?g（x）]=limf（x）?limg（x）=A?B==（B≠0）()lim()fxgxlim()lim()fxgxABd、由上a、b運算性質(zhì)可得如下推

8、論：①極限limf（x）存在，C為常數(shù)，則有??lim()lim()cfxcfx?②極限limf（x）存在，（n可為正數(shù)也可為負數(shù)也可以是分數(shù)）????lim()lim()nnfxfx?※求函數(shù)極限的幾種方法：①、多項式與分式函數(shù)：消去0因子法（即通過因式分解消去不利因子）②、有理化：分子分母都乘以相應無理式的共軛因式③、利用無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小簡化（只針對時）x??④、無窮小分子法：（給公式的那個~）…101010100()

9、....lim()....()nnnmmxmnmaxaxaanmbxbxbbnm?????????????⑤、之后馬上就會說的利用兩個重要極限。⑥、最麻煩的那個變量代換（注意趨向）⑦、不會就用洛必達法則做，以后第四章再說~~C、極限存在性定理a、夾逼定理：若在的某空心鄰域【要求＞0】內(nèi)恒有0x000000()()xxxx?????0?()()()gxfxhx??【要求同一趨向下】。且有==A則極限存在，且有=A【對于0limxx?()g