十?dāng)?shù)【高等數(shù)學(xué)】

1、1第十章級數(shù)一、內(nèi)容分析與教學(xué)建議無窮級數(shù)概念的形成是伴隨著極限概念的形成而形成的，無窮級數(shù)的理論是伴隨著微積分理論的發(fā)展而發(fā)展起來的。如今，無窮級數(shù)是表達函數(shù)、數(shù)值計算等方面的重要工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域。（一）數(shù)項級數(shù)1、可通過圓的內(nèi)接多邊形逼近圓的面積等實例引入級數(shù)的概念。級數(shù)的收斂、發(fā)散及收斂級數(shù)的和是本章最基本的概念，要求學(xué)生正確理解，至于級數(shù)的運算性質(zhì)，可結(jié)合例題說明性質(zhì)的應(yīng)用，及注意和有限數(shù)的運算性質(zhì)相比較。如等

2、等。?????????????????1111121121nnnnnnn2、正項級數(shù)的審斂法是其他級數(shù)審斂法的基礎(chǔ)，應(yīng)予以足夠重視。比較審斂法是個難點，這個方法要點是：將所討論的級數(shù)的一般項通過放大或縮小，使之與已知其審斂性的等比級數(shù)（或P–級數(shù)）一般項相聯(lián)系。要通過不斷運用使學(xué)生理解并掌握。3、任意項級數(shù)中，交錯級數(shù)占有重要地位，不但要求學(xué)生學(xué)會其證明定理、領(lǐng)會其方法，而且要給學(xué)生指出萊布尼茲判別法僅僅是充分條件，而非必要條件，另外，

3、判別一個任意項級數(shù)是否絕對收斂、條件收斂有技巧，因此要交給學(xué)生一個一般的判別步驟。4、義積分與無窮級數(shù)都是“無限求和”的概念，研究的思想及方法類似，可通過類比無窮級數(shù)審斂法，達到廣義積分的審斂法。本講是選學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)專業(yè)適當(dāng)取舍。（二）冪級數(shù)1、關(guān)于冪級數(shù)收斂域之特點，主要是通過阿貝爾定理來解決，可結(jié)合畫圖、分類討論說明收斂半徑存在，并提示收斂域是一個連成一片的完整區(qū)間（特例）。0?R注：新大綱規(guī)定，收斂區(qū)間=收斂域；2、關(guān)于收斂半徑

4、的求法，要交代其基本思想是正項級數(shù)判別法（通常用比值或根值），并通過幾個典型例題給出其一般常見情形收斂半徑之求法；3、將函數(shù)展開成冪級數(shù)以及求冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)是本章的又一難點，它們是一個問題的兩個方面，討論方法也是類同的?；舅枷胧寝D(zhuǎn)化為六個基本初等函3二、補充例題例1設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？na????1)1(nnna????????????111nnna并說明理由解：級數(shù)收斂，理由如下：???????

5、?????111nnna由于正項數(shù)列單調(diào)減少且有下界，故存在，且；若na0aann??0lim0?a0?a，則由萊不尼茲判別法知交錯級數(shù)收斂，這與題設(shè)矛盾，故，于????1)1(nnna0?a是知而是公比的幾11111????aannnnaa?????????????????1111??????????111nna111??a何級數(shù)，故收斂。由比較判別法知原級數(shù)收斂。?????11121?????????????????kkkkkkaa