高一數(shù)學(xué)方程的根與函數(shù)的零點

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點,,,,,,學(xué)習(xí)重點：方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系。,,考察下列一元二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù)：（1）方程 x2-2x-3=0 與函數(shù)y= x2-2x-3；（2）方程 x2-2x+1=0 與函數(shù)y= x2-2x+1； （3）方程 x2-2x+3=0 與函數(shù)y= x2-2x+3.探究：1、上述三個方程的判別式和實根分別是什么？ 2、 上述二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐 標(biāo)分別是什么?

2、,探究（一）方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系,方程,x2－2x+1=0,x2－2x+3=0,y= x2－2x－3,y= x2－2x+1,函數(shù),函數(shù)的圖象,方程的實數(shù)根,x1=－1,x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,函數(shù)的圖象與x軸的交點,(－1,0)、(3,0),(1,0),無交點,x2－2x－3=0,,,,y= x2－2x+3,探究（一）方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系,方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根,函數(shù)y= ax2 +

3、bx+c(a≠0)的圖象,判別式△ =b2－4ac,△＞0,△=0,△＜0,函數(shù)的圖象與 x 軸的交點,有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2,沒有實數(shù)根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),沒有交點,兩個不相等的實數(shù)根x1 、x2,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。,方程f(x)=0有實數(shù)根,,函數(shù)零點的定義：,等價關(guān)系,函數(shù) 的零點情況呢

4、？,1,0個,1個,,,,探究二、零點存在定理,,,,,,,,,,,,x,y,0,－1,3,2,1,1,2,－1,－2,－3,－4,,,－2,4,觀察二次函數(shù)f(x)=x2－2x－3的圖象:,,有,<,有,<,討論：在區(qū)間[a,b]上需要滿足什么條件， 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 (a,b)上才有零點？,零點存在定理 ：,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)

5、·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。,,注:只要滿足上述兩個條件,就能判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在零點。,,,,,,,1 若 ，則函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)一定沒有零點嗎？,3 在定理的條件下，什么時候只有一個零點？,2 在定理條件下函數(shù)一定有零點，有幾個？,探究討論：,y=f(x)在區(qū)間[

6、a,b]上單調(diào)的,由表3-1和圖3.1—3可知,f(2)0，,即f(2)·f(3)<0，,說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點。,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。,解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3）,－4,－1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,理論遷移：

7、 例1、求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點個數(shù)。,,,零點在區(qū)間（2，3）之間,練習(xí)：,1.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,（1）－x2＋3x＋5＝0；,（2）2x(x－2)＝－3；,（3） x2 ＝4x－4；,（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.,2.利用計算器或計算機作出函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：,（1）f(x)= －x3－3x+5；,（2）f(x)=2

8、x · ln(x－2)－3；,（3）f(x)=ex－1+4x－4;,（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.,有,沒有,,有,沒有,有,沒有,有,沒有,,,,,1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函數(shù)f(x)的圖象，如下：,,,它與x軸有兩個交點，所以方程－x2＋3x＋5＝0有兩個不相等的實數(shù)根。,(1) －x2＋3x＋5＝0,1(2)解：2x(x－2)＝－3可化為2x2－4x＋3＝0，令f(x

9、)= 2x2－4x＋3 , 作出函數(shù)f(x)的圖象,如下：,,,它與x軸沒有交點，所以方程2x(x－2)＝－3無實數(shù)根。,(2) 2x(x－2)＝－3,1(3)解：x2 ＝4x－4可化為x2－4x＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出函數(shù)f(x)的圖象，如下：,,,它與x軸只有一個交點，所以方程x2 ＝4x－4有兩個相等的實數(shù)根。,(3) x2 ＝4x－4,1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化為2x2 ＋2x

10、－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5 , 作出函數(shù)f(x)的圖象，如下：,,,它與x軸有兩個交點，所以方程5x2 +2x＝3x2 +5有兩個不相等的實數(shù)根。,(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5,2(1)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,,因為f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)= －x3－3x+5在區(qū)間(1, 1.5)上有零點。又因為f(x)是(－∞,＋∞）上的減函數(shù)，所以在區(qū)間

11、(1, 1.5)上有且只有一個零點。,2(1) f(x)= －x3－3x+5,,2(2)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,,,因為f(3)＝－30,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在區(qū)間(3,4)上有零點。又因為f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間(3,4)上有且只有一個零點。,2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3,2(3)解：作出函數(shù)的圖

12、象，如下：,,因為f(0)≈－3.630,所以f(x)= ex－1+4x－4在區(qū)間(0,1)上有零點。又因為f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，＋∞）上的增函數(shù)，所以在區(qū)間(0,1)上有且只有一個零點。,2(3) f(x)=ex－1+4x－4,,2(4)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,,因為f(－4)＝－40, f(－2)＝－20,所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在區(qū)間(－4,－3 )、 (