應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析習(xí)題解答主成分分析

1、主成分分析 主成分分析6.1 試述主成分分析的基本思想。答：我們處理的問題多是多指標(biāo)變量問題，由于多個(gè)變量之間往往存在著一定程度的相關(guān)性，人們希望能通過線性組合的方式從這些指標(biāo)中盡可能快的提取信息。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)組合不能提取止。這就是主成分分析的基本思想。6.2 主成分分析的作用體現(xiàn)在何處？答：一般說來，在主成分分析適用的場(chǎng)合，用較少的主成分就可以得到較多的信息量。以各個(gè)主成分為分量，就得到一個(gè)更低維的隨機(jī)向量；主成分分析的作用就是在降低

2、數(shù)據(jù)“維數(shù)”6.3 簡(jiǎn)述主成分分析中累積貢獻(xiàn)率的具體含義。答：主成分分析把 個(gè)原始變量 的總方差 分解成了 個(gè)相互獨(dú)立的變 p1 2 , , , p X X X ? ( ) tr Σ p量 個(gè)主成分的，忽略一些帶有較小方差的主成分將不會(huì)給總方差帶來太大的影響。這里 p我們 個(gè)主成分，則稱為主成分 的累計(jì)貢獻(xiàn)率，累計(jì)貢 ( ) m p ?1 1p mm k kk k? ? ?? ?? ? ? 1, , m Y Y ?獻(xiàn)率表明 綜合 的能

3、力。通常取 ，使得累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到一個(gè)較高 1, , m Y Y ? 1 2 , , , p X X X ? m的百分?jǐn)?shù)（如 85％以上） 。答：這個(gè)說法是正確的。即原變量方差之和等于新的變量的方差之和6.5 試述根據(jù)協(xié)差陣進(jìn)行主成分分析和根據(jù)相關(guān)陣進(jìn)行主成分分析的區(qū)別。答：從相關(guān)陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的。從協(xié)方差矩陣𝚺出發(fā)的，其結(jié)果受變量單位的影響。主成分傾向于多歸納方差大的變量的信息，對(duì)于

4、方差小的變量就可能體現(xiàn)得不夠，也存在“大數(shù)吃小數(shù)”的問題。實(shí)際表明，這種差異有時(shí)很大。我6.6 已知 X=( )’的協(xié)差陣為 試進(jìn)行主成分分析。 X1,X2,X311 3/2 3/23/2 21/4 5 3/43/2 5 3/4 31/4解： =0 |Σ ? λE| =|11 ? λ 3/2 3/23/2214 ? λ 5 3/43/2 5 3/4314 ? λ|計(jì)算得 ? 64(λ ? 4)(λ ? 8)(λ ? 12) = 0

5、∴ λ1 = 12, λ2 = 8, λ3 = 4∴ D(Y1) = λ1 = 12, D(Y2) = λ2 = 8, D(𝐘3) = λ3 = 4當(dāng) 時(shí)， λ1 = 12=|(p ? 1)ρσ2 + σ2 ? λρσ2 ? ρσ20σ2(1 ? ρ) ? λ ? ρσ2?? ??0 ?0σ2(1 ? ρ) ? λ|∵ 0 0為

6、最大特征根 ∴ λ1 = [(p ? 1)ρ + 1] σ2當(dāng) 時(shí)， λ1 = [(p ? 1)ρ + 1] σ2= |Σ ? λ1E| (σ2ρ(1 ? p) ρσ2 ? ρσ2ρσ2σ2ρ(1 ? p) ? σ2ρ(1 ? p)?? ??ρσ2 ρσ2 ?σ2ρ(1 ? p) )?(ρ(1 ? ρ) ρ ?ρ0 ρ(1 ? ρ) ? ρ?? ??

7、ρ ρ ?ρ(1 ? ρ))?(0 ρ ?00 ? ρρ ? 0?? ??0 0 ? ? ρρ)?(0 1 ? 00 0 ? 0? ? ? ?0 0 ? 0)α1 = (1,1,1,?)'𝐓𝟏 =(1p,1p,?1p)'所以，Y1 =1ρp ∑i = 1xi6.8 利用主成分分析法，綜合評(píng)價(jià)六個(gè)工業(yè)行業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)。單位：（億元）行業(yè)名稱 資

8、產(chǎn)總計(jì)固定資產(chǎn)凈值平均余額產(chǎn)品銷售收入利潤(rùn)總額煤炭開采和選業(yè) 6917.2 3032.7 683.3 61.6石油和天然氣開采業(yè) 5675.9 3926.2 717.5 33877黑色金屬礦采選業(yè) 768.1 221.2 96.5 13.8有色金屬礦采選業(yè) 622.4 248 116.4 21.6非金屬礦采選業(yè) 699.9 291.5 84.9 6.2其它采礦業(yè) 1.6 0.5 0.3 0解:令資產(chǎn)總計(jì)為 X1，固定資產(chǎn)凈值平均余額為

9、X2，產(chǎn)品銷售收入為 X3，利潤(rùn)總額為 X4，用 SPSS 對(duì)這六個(gè)行業(yè)進(jìn)行主成分分析的方法如下：1. 在 SPSS 窗口中選擇 Analyze→Data Reduction→Factor 菜單項(xiàng)，調(diào)出因子分析主界面，并將變量 移入 Variables 框中，其他均保持系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊 OK 1 5 X X ?按鈕，執(zhí)行因子分析過程（關(guān)于因子分子在 SPSS 中實(shí)現(xiàn)的詳細(xì)過程，參見 7.7） 。得到如表 6.1 所示的特征根和方差貢獻(xiàn)