應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析答案詳解匯總

1、應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析,,第二章部分習(xí)題解答,2,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-1設(shè)3維隨機(jī)向量X～N3(μ,2I3)，已知? 2?,? 2?.,?10.5? d ? ? 1? 0,? 0.5?,,?? 0.5,? ? ? 0?, A ? ?0.5,? 0?,????,??,試求Y=AX+d的分布.解:利用性質(zhì)2,即得二維隨機(jī)向量Y~N2(?y,?y), 其,中：,,,3,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-2

2、設(shè)X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中,1 ?.,2 ? 1,, ? ? ?,?2 ???,1,? ?,? ?,?,? ??,?,? ?,?,（1）試證明X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立.（2）試求X1 +X2 和X1 -X2的分布.解: (1) 記Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)?X,Y2＝ X1 -X2＝ (1,-1)?X ，利用性質(zhì)2可知Y1 , Y2 為正態(tài)隨機(jī)變量。又,Cov(Y ,

3、Y ) ? ?1 1??,? ??1? ? 1? ? ?,? 0,??1?,11,??1?,2,12,??,???,?,?,?,故X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立.,,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),4,或者記,CX,???1 ?1?? X,X????? ?,? X? X,X? X?1,?Y2 ?,Y??,Y,1 ?2 ?,2 ??11 ??,?,?,?,? ?,12,1,則Y ~

4、 N2 (C?, C?C?),?,2(1? ? ) ?,?,??,??,2(1? ? )00,? ?,???,?1? ?? ?1??1 ?1?,??,?,?,1? ? 1? ?11,? ?,???,? ?1 ??1 ?1?,2 ? 1? ??11 ?,???,?1 ?1?,?11 ?,因ΣY? C?C? ? ?,2,2,由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互獨(dú)立.,第二章多元正態(tài)分布及參

5、數(shù)的估計(jì)(2) 因,5,??,02(1? ? ) ??,? 2(1? ? )0??,??,?? ?1 ? ?2 ?,??? ?,2 ??,?, ?,?,?,? ~ N,? X1 ? X 2 ?,?,?,?,X? X,Y ?,12,2,12,X? X~ N (?? ?,2? 2 (1? ? )).12,~ N (?? ?,2? 2 (1? ? ));12,2,1,2,1,? X? X,第二章

6、多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-3設(shè)X(1)和X(2) 均為p維隨機(jī)向量,已知,? ??,2,?, ?,? ~ N?,?1 ??,???2,1,(2),?? ? (1) ???,2 p,(2),? X (1) ?,???,???,?? ?,X? ?,? X,其中μ(i) (i＝1，2)為p維向量,Σi (i＝1，2)為p階矩陣，(1) 試證明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互獨(dú)立.(2) 試求X(1

7、) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.解 :(1) 令,? ? CX?,? I p? I p ?? X,?? X,II p,? X? X,X,Y ? ? X,p,(1) ?,??,?,?,? ?,?,??,(2) ?,?,(1) ?,(2),(2),(1),,6,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),7,Y ~ N2 p (C?, C?C?),則,?,2(?1 ? ?2 ) ?,?,?,?,?,2(?1 ?

8、 ?2 )O,?,?p ?,?,?? ??? I,1 ??O,?1 ? ?2 ?? I p,I pI,??? ?,?1,? ??1 ? ?2,?p ?,?,??? I,1 ??p,?2 ?? I pI pI,???,p ??2,?? ?1,因D(Y ) ? CD( X )C? ? ? I,?,? I pI pI,2,2,p,p,由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互獨(dú)

9、立.,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)(2) 因,8,O2(? ?? ) ??,?,?,?,?,?,?,?,??,?,2(? ?? )O,?,?,?,(1) ?(2),???,?~N,?X? X~ Np (???,2(?1 ??2));X? X,2(?1 ??2)).,?,Y???,?,X?X,X?X,,,12,12,(2),(1),2p,(2),(1),(2),(1),?,?,~ Np (???,

10、(2),(1),(2),(1),(2),(1),(2),(1),所以,注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)2-11已知X=(X1,X2)′的密度函數(shù)為,??,?,??,?,(2x? x? 2x x? 22x?14x? 65),exp?,f (x1 , x2 ) ?,12,1 2?,121212,22,,試求X的均值和協(xié)方差陣. 解一:求邊緣分布及Co

11、v(X1,X2)=σ12,9,?,f (x ) ??,? 1 (2 x2 ?22 x ?65) ?,??,? 1 ( x2 ?2 x x ?14 x ),?,??,f (x1 , x2 )dx2 ?,2,2,2,11,21 22,11,1 e 2?,dx,e,2,?( x2 ?2 x2 ( x1 ?7)?( x1 ?7))( x1 ?7)e2dx? e 2,22,11,2,?11,2,?

12、(2 x?22 x ?65),2,1,1 2?,??,?,?,e,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),,,,,,,?,???,??,? 1 ( x ? x ?7)2,? 1 ( x2 ?8 x ?16),?,?,2,2,2,21,11,1 2?,2?,2? 1 e,dx,e,?,? 1 (2 x2 ?22 x ?65? x2 ?14 x ?49) ?? 1 ( x ? x ?7)2,?,2,2

13、,2,21,1111,1 e,edx,,,,2,,,,,,,? 1 e? 2 ( x1 ?4)2?類似地有,10,1,? X1~ N (4,1).1,2,? 1 e? 4 ( x2 ?3),f (x1 , x2 )dx1 ? ?,f2 (x2 ) ?,2?2,??,??? X 2~ N (3,2).,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì)?12 ? Cov( X1 , X 2 ) ? E[( X

14、1 ? E( X1 ))( X 2 ? E( X 2 )],? E[( X1 ? 4)( X 2 ? 3)]? ??(x1 ? 4)(x2 ? 3) f (x1 , x2 )dx1dx2,?u2 ? x2 ? 3,?,?,u? x? 4,令,11,,)]du1du2,212,22,1,? ??u1u2,exp[?(2u? u? 2u u,2,1 1,2?,,,,,,,,1,2 ??,? 1 (u

15、 ?u )2?,2,2,2,1,21,2,?? u1 ? ?,2?,1 u e,??,,,,,,,,? 1 2??,dudu,u e,?,? ?,???,1,2 ??,? 1 (u ?u )2?,2,du2 ? u1,? 1 (u ?u )2,2,21,u12,1,21,21,2,(u? u )e,2????,1,? 1 2?,dudu,e,u e,?,? ?,?,??,?

16、 ?,?,??,,,,,du1 ? ?1,1 2?,?2,2,1,u 2,1,? ?,?,?,??,ue,,,,0,,,,,,,2?,11,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),12,所以,12 ? ? ?,?,? 1?1?,D( X ) ? ?,??,E( X ) ? ? 3? ? ?,,??,? 4?,且f (x , x) ? 1 exp[? 1 (x ? ?)???1 (x ? ?)],2,2?,12,故X

17、=(X1,X2)′為二元正態(tài)分布.,13,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),解二:比較系數(shù)法,設(shè),,,,??,?,??,?,? ? ) ?? (x ? ? ) ],? ? ?(x ? ? )(x,[? (x ? ? )? 2,2? ? (1? ? ),exp ?,2?? ?1? ?2,?,?,exp ?(2x?? 2x x ? 22x ?14x ? 65)?,?,?,?,?,f (x , x )

18、 ?,1,1,2,1 12?,22,2,212,12112,22,1,21,222,12,12,21 212,2x2,1,12,,,,?,??,?? 2? ? 2 ? 2?? ??,?12,?,?? 2 ? 1,?,?,?? ??1? 2 ? 1,?? ?1? ? 2? 1,? ?? ? ?? 2??1? 2 ?1?2 ? 65,? 2? ?? 2??1? 2 ?1

19、 ? ?14,? ?22,?? 2,22,21,22,2,21,12122,1,2,2,12,比較上下式相應(yīng)的系數(shù),可得:,,,,,,,??,?,?,??,1? ? ?1/2,?? 1,?2,2,,,,,,,?2?1 ? 2?2 ? 14,?,?,4?? 2?? 22,12,?2,??,??1 ? 4,? 3,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),14,D( X ) ? ?12 ? ? ?,?

20、,? 1?1?,??,E( X ) ? ? 3? ? ?,,??解三:兩次配方法,? 4?,故X=(X1,X2)′為二元正態(tài)隨機(jī)向量.且,2,2,2,1,2,2,112,2,?2 ????2 ??1?,12,1,y1?11x,???2 ??,21?? x1,212,22,12,1,(1)第一次配方:2x2 ?2x x? x2 ?(x ? x )2 ? x2112212

21、1,,2x?2x x? x,則,0?x,? y ??1,令y ?,1? ? BB?,,1010,1??1,1? ? ?1,11,,而?2,11x,因2x?2x x? x?(x , x ),? y? y,x,x ? x,?,?,???,??????,?,?,?,?????,????,????,?,?,?,?x2 ? y1 ? y2,?,?,x? y,12,(2)第二次配方.由

22、于,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),15,2x2 ? x2 ? 2x x? 22x?14x? 65121212? y2 ? y2 ? 22 y?14( y? y) ? 6512212? y2 ?14 y? 49 ? y2 ? 8 y?161122? ( y? 7)2 ? ( y? 4)212,? 1[( y?7)2 ?( y?4)2 ],2,? 1 (2 x

23、2 ? x2 ?2 x x ?22 x ?14 x ?65) ? x2 ? y1 ? y2,2,12,12,121 212,2?,1 e,1 e 2?,?,? x ? y,?,即,? g( y1 , y2 )設(shè)函數(shù) g( y1 , y2 )是隨機(jī)向量Y的密度函數(shù).,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),16,(4) 由于,? CY,? 1 ?1??Y2 ?,Y,? X 2 ?,X,X,????,?,

24、?? 01 ??,?,?,?,? ?,1,1,故,?,??12 ?,? 01 ?I? 01 ? ? ? 1?1?,????,? 1 ?1?2 ? 1 ?1?,?,??????,? 3?,? 01 ?? 7 ? ? ? 4?,,? 1 ?1?? 4?,??,2?? 3???12 ??,?1??,X? CY ~ N??,?? 4?? 1,?, ?,?,??12 ?,?1?,?,?,D( X )

25、 ? ? 1,? 3?,E( X ) ? ? 4?,?,2 ??,I?,?,???,Y ? ? Y1 ? ~ N?? 7 ?,,??,?Y?,?2 ?,2,4,(3) 隨機(jī)向量,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-12設(shè)X1 ~N(0,1),令,?X1 ,,?,?,? X, 當(dāng)-1 ? X? 1 ,其它.,X?,1,1,2,(1)證明X2 ~N(0,1);(2)證明(X1 , X2 ) 不是二元正態(tài)分布

26、.證明(1):任給x,當(dāng)x≤-1時(shí)P{X 2? x} ? P{X1? x} ? ?(x),當(dāng)x≥1時(shí),,?? 1} ?P {? 1 ?? X 1? 1} ?P {1 ?X 1?x}?x} ?? ( x ),?P { X 2?P { X 1?P { X 1,?? 1} ?P {? 1 ?X 2? 1} ?P {1 ?X 2?x},P { X?x},2,,17,第二章多元正態(tài)分布

27、及參數(shù)的估計(jì),18,?? 1} ?P {? x?X 1? 1}?? 1} ?P {? 1 ?X 1?x}?x} ?? ( x ),?P { X 1?P { X 1?P { X 1,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),P { X 2?x} ?P { X 2?? 1} ?P {? 1 ?X 2?x},?X 2~ N (0,1).(2) 考慮隨機(jī)變量Y= X1-X2 ,顯然有,?0,?,?X?

28、 X,, 當(dāng)-1 ? X? 1其它,Y ? X1 ? X 2?,1,1,1,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),19,? P{X1? 1} ? P{X1 ? ?1}? 2?(?1) ? 0.3174 ? 0若(X1 , X2 ) 是二元正態(tài)分布,則由性質(zhì)4可知, 它的任意線性組合必為一元正態(tài). 但Y= X1-X2 不是正態(tài)分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正態(tài)分布.,( X1~ N (0,1)),P{Y ?

29、0} ? P{X1? 1或X1 ? ?1},第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),2-17,設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函數(shù)記為,f(x;μ,Σ).(1)任給a＞0,試證明概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一個(gè)橢球面.,(2) 當(dāng)p=2且 ? ? ?? ? 1 ?,(ρ>0)時(shí)，,??,2 ? 1 ? ?,概率密度等高面就是平面上的一個(gè)橢圓，試求該橢圓 的方程式，長軸和短軸.,,證明(1):任給a＞0,記a,

30、20,? (2? ) p / 2 | ? |1/ 2 ,當(dāng)0 ? a ? 1 時(shí),,0f (x; ?, ?) ? a ? (x ? ?)???1 (x ? ?) ? b2,0,a,] ? ?2 ln[aa0 ] ? 0,,其中b2? ?2 ln[a(2? ) p / 2 | ? |,1/ 2,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),?的譜譜分解,則有,l (i ? 1,2,?, p),,的特征向量記特,因? ? 0, ?的特征值

31、記為?1 ? ?2 ? ? ? ?p? 0, ?i 對對-1,i,ii,p?,i?1,i,l l,?,??,?1,1?,令yi? (x ? ?)?li (i ? 1,2,?, p),,則概率密度等高面為,,1 l l?(x ? ?) ? b2,21,i?1,(x ? ?)???1 (x ? ?) ? (x ? ?)?,? ?ii,p,i,1 y2? b2,i?1?i,i,p,?,?,(見附錄§5 P

32、390),第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),1 ? 2 ??? p ? 1,? b2? b2?b2,y2,12p,y2y2,?,故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一個(gè)橢球面.,(2)當(dāng)p=2且,?(ρ>0)時(shí),,? ? 1 ?,?,?,2 ?,? ? ?,1 ?,| ? |? ? 4 (1? ? 2 ).,,,? (? 2 ? ? ? ? 2 ? )(? 2 ? ? ? ? 2 ? ) ?

33、0,22,? (? 2 ? ?)2 ? ? 4 ? 2,由 | ? ? ?I|? ?,? ???? 2 ?? 2 ? ?,2,2,p,可得Σ的特征值,?? ? 2 (1? ? ), ?? ? 2 (1? ?).12,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),,,,,,,,,,,,,λi (i=1,2)對應(yīng)的特征向量為l1,?,1 ?2 ?,?,1 ??,??,??,?,? ?,?,??,? 1

34、?,2 ?,1 ??,2 ?,??,? ?,?,2,l1,由(1)可得橢圓方程為,1 ? 2 ? 1,? 2 (1? ? )b2? 2 (1? ? )b2,y2,y2,,,,1? ? 2 a],,其中b2? ?2 ln[a(2? )| ? |1/ 2 ] ? ?2 ln[2?? 2,,,,,,,長軸半徑為 d1 ? b?短軸半徑為d2? b?,23,1? ?, 方向沿著l1方向(b>0);1? ?

35、,方向沿著l2方向.,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),,2-19為了了解某種橡膠的性能，今抽了十個(gè)樣品， 每個(gè)測量了三項(xiàng)指標(biāo)： 硬度、變形和彈性，其數(shù)據(jù)見 表。試計(jì)算樣本均值，樣本離差陣，樣本協(xié)差陣和樣 本相關(guān)陣.解：,,24,第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計(jì),,25,應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析,,第三章習(xí)題解答,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),3-1 設(shè)X～Nn(μ,σ2In), A為對稱冪等 陣,且rk(A)=r(r≤n),證明,

36、,,證明因A為對稱冪等陣，而對稱冪等陣的 特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正 交陣Γ(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使,,2,,,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,,,3,,,其中非中心參數(shù)為,,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),4,且,,3-2 設(shè)X～Nn(μ,σ2In), A，B為n階對稱陣. 若AB＝0 ,證明X′AX與X′BX相互獨(dú)立.證明的思路：記rk(A)=r. 因A為n階對稱陣,存在正交陣Γ,使得Γ

37、′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，則Y～Nn(Γ′μ,σ2In),r,5,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),? ? X ?AX? ( ΓY )?AΓΓ ? Y ?Γ ?AΓΓ ? ??iYii?1,2,又因?yàn)閄′BX=Y′?！銪Γ Y= Y′HY其中H=Γ′BΓ 。如果能夠證明X′BX 可表示為Yr+1，…,Yn的函數(shù)，即H只是右 下子塊為非0的矩陣。則X′AX 與X′BX相互獨(dú)立。,6,第三章

38、多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),證明 記rk(A)=r. 若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是X′AX與X′BX獨(dú)立；若r=0時(shí),則A＝0,則兩個(gè)二次型也是獨(dú)立的. 以下設(shè)0＜r＜n.因A為n階對稱陣,存在正交陣Γ,使得,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,7,其中λi≠0為A的特征值(i=1,…,r).于是,,,令,r,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,由AB＝O可得DrH11＝O， DrH12＝O. 因Dr為滿

39、秩陣,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r).由于H為對稱陣，所以H21＝O(n-r)×r.于是,8,由于Y1，…,Yr ,Yr+1 ,…,Yn相互獨(dú)立，故X′AX與X′BX相互獨(dú)立.,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,令Y＝Γ′X，則Y～ Nn(?！洇?σ2In), 且r? ? X ?AX? ( ΓY )?AΓΓ ? Y ?Γ ?AΓΓ ? ??iYi,i?1,2,? Y?,? ?

40、 X ?BX? Y ?Γ ?BΓΓ ? Y ?HY ? (Yr ?1 ,?,Yn )H 22 ???,??,?Yr ?1 ?,n,,H ? Γ ?BΓ ?,9,,設(shè)X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B為p階對稱陣,,試證明(X-μ)′A(X-μ)與(X-μ)′B(X-μ)相互獨(dú)立?ΣAΣBΣ＝0p×p.,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-3,,,,),10,? 1(記 ?2,?1,? ?? 2 ?,1

41、?,??,??,?,,,,,,由“1.結(jié)論6”知ξ與η相互獨(dú)立?1111CD ? O ?? ? 2 A? 2?? 2 B? 2? O?? ?A?B? ? O,11,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-4試證明Wishart分布的性質(zhì)(4)和T2分布的性質(zhì)(5). 性質(zhì)4 分塊Wishart矩陣的分布:設(shè)X(α) ～ Np(0,Σ)(α,＝1,…,n)相互獨(dú)立，其中,又已知隨機(jī)矩陣n,則,?22 ?? p ?

42、r,???r,?,???21,? ?,12,11,~ W(n, ?),?2122 ?,W12 ?,? ?W11,?? ?1,(? )(? ),W? p ? r,?W,X ?,W ?,r,X,p,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,12,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),13,證明: 設(shè),X? ?x?? ? X (1) | X (2) ?,則,n?rn?( p?r ) ?,??,?,n? p,ij,~ N(0,

43、?22 ),,~ Nr (0, ?11 ),,,則,(2)(? )p?r,(1)(? ),(? )(2)(? ),(1) ?,(? ),r p ? r,?,?,??,?,?,?,X?,X,X,X X,記,,,X (2)?X (1)X (2)?X (2)WW,X (1)?X (2)??,W ? X ?X? ? X (1)?X (1),???2122 ?,12,11,?,?,? ? ?,?,WW,W1

44、1 ? X (1)?X (1),W22? X (2)?X (2),即,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),14,)X~ W(n, ?22 ).,( X,W? X (2) X (2) ?,n?(? ?1,(2)?(2)(? ),? ),22,p?r,?,當(dāng)Σ12 =O 時(shí),對α＝1,2,…,n,獨(dú)立.故有W11與W22相互獨(dú)立.,(2相),互,(? ),(1)(? ),與X,X,)X~ W (n, ?);,

45、( X,W? X (1) X (1) ?,? ?1,11,(1)?(1)(? ),(? ),11,n?,?,r,由定義3.1.4可知,性質(zhì)5 在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計(jì)量保持不 變.證明:設(shè)X(α) (α＝1,…,n) 是來自p元總體 Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本, X和Ax分別表示正態(tài)總體X 的樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)1有,,,~T2 ( p , n ? 1).,15,?n ( n ? 1)( X?? )

46、 ? A ? 1 ( X?? ),2x,T,x,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),令,Y(i)? CX(i)? d(i ? 1,..., n),其中C是p?p非退化常數(shù)矩陣，d是p?1常向量。,則,(i ? 1,2,..., n),Y(i )~ Np (C? ? d , C?C?),16,22,x,y,T? T,,,,,,,? n ( n ? 1)( X? ? ) A ?1 ( X? ? ) ? T 2x x,?

47、n ( n ? 1)( X? ? )?C ?[CAC ?]?1 C ( X? ? ),?n ( n ? 1)( Y? ?)? A ? 1 (Y? ?),T 2,x,yyy,y,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,Y? CX ? d ,,,,,,i?1n? C[?( X (i ) ? X )( X (i ) ? X )?]C? ? CAxC?,nAy? ?(Y(i ) ? Y )(Y(i ) ? Y

48、)?,i?1,所以,記?y? C? ? d,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-5,對單個(gè)p維正態(tài)總體Np(μ,Σ)均值向量的檢驗(yàn)問題，,試用似然比原理導(dǎo)出檢驗(yàn)H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比,統(tǒng)計(jì)量及分布.,解:總體X～Np(μ,Σ0)(Σ0＞0),設(shè)X(α)(α=1,…,n) (n＞p)為來自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計(jì)量為,,? ? max L(?0 , ?0 )max L(?, ?0 ),? ??0,?,?,?,

49、? ?)?,?,?2 ? ?1,分子 ? 1 exp?? 1,( X? ?)???1 ( X00,| 2??0 |,?,n,n / 2,0,(? ),(? ),? ?)? ?]?,?,?,?,? 1 exp?? 1 tr[??1,( X? ?)( X,| 2??0 |,n?? ?1,n / 2,0,(? ),0,(? ),0,2,,P66當(dāng)Σ=Σ0已知μ的檢驗(yàn),17,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)

50、,????,?,分子 ? 1 exp?? 1 tr[??1 A ],| 2??,2,|n / 2,00,0,,分母 ? L( X , ?0 ) ? max L(?, ?0 ),?,,,?,?,? X )?,?,?2 ? ?1,? 1 exp?? 1,( X? X )???1 ( X,| 2??|,?(? ),n,n / 2,(? ),0,0,,,? X )? ?]?,18,?,?,?,? 1 exp??

51、1 tr[??1,( X? X )( X,| 2??|,0?(? ),? ?1,n,n / 2,(? ),0,2,??,?,??,? 1 exp?? 1 tr[??1 A ],| 2??,2,|n / 2,0,0,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,? ? max L(?0 , ?0 )max L(?, ?0 ),? ??0,?,????,?,? exp?tr[ 1 ??1 A] ? tr[ 1 ??1 A ],2,2,

52、000,,,? exp?tr[ 1 ??1 A] ? tr[ 1 ??1 ( A ? n( X ? ?)( X ? ?)? ?]?,?,?,?,22,0000,,,? exp?? n tr[( X ? ?)???1 ( X ? ?)]0?,?,?,?,?,2,00,,,????,19,? exp?? n ( X ? ?)???1 ( X ? ?)?,2,000,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,)

53、 ?( X ? ?0 ),( X ? ?,n2,ln ? ? ?,?1,0,0,?,,,) ?( X ? ?0 ) ? ?,? n( X ? ?,2 ln ?,def,?1,0,0,?,,,,,n ( X ? ?)~N(0, ?),20,X~N(?, 1 ?),,0p 0,H 0下,p0 0,H 0下,n,所以由§3“一﹑2.的結(jié)論1”可知? ? ?2 ln ? ~ ? 2 ( p).,因,

54、第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),3-6(均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)) 設(shè)總體,X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α),(α＝1,…,n)(n＞p)為,,來自p維正態(tài)總體X的樣本，記μ＝(μ1,…,μp)′.C 為k×p常數(shù)(k<p),rank(C)=k,r為已知k維向量.試給出 檢驗(yàn)H0:Cμ＝r的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及分布.解：令 Y(? )? CX (? ) (? ? 1,2,?, n)則Y(α)(α＝1,…,n)

55、 為來自k維正態(tài)總體Y 的樣本，且,21,? C?C?.,Y(? )~ Nk (C?, CΣC?);記?y? C?, ? y,22,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)檢驗(yàn) H0 : C? ? r ?? H0 : ? y? r,這是單個(gè)k維正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)問 題.利用§3.2當(dāng)Σy = CΣC′未知時(shí)均值向 量的檢驗(yàn)給出的結(jié)論,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:H 0下,~F (k, n ? k ),(n ?1)k,F ? n

56、 ? k T 2,,,,,?A? (Y ? r).,? (n ?1)n(CX ? r)??CAC???1 (CX ? r).,其中T? (n ?1)n(Y ? r),?1,2,y,?,,,A ? ?( X (i ) ? X )( X (i ) ? X )?.i?1,n,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),3-7設(shè)總體X～Np(μ，Σ) (Σ＞0), X(α) (α＝1,…,n)(n＞p)為來自p 維正態(tài)總體X的樣本，樣本均值

57、為X，樣本離差陣為A.記μ＝ (μ1,…,μp)′.為檢驗(yàn)H0:μ1=μ2=…=μp ,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一對不 相等.令,,,?1?1?,?10?0 ?0?1?0 ?????00?,C ? ?1,?1,( p?1)? p,??,?,?,,則上面的假設(shè)等價(jià)于H0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠ 0p-1試求檢驗(yàn)H0 的似然比統(tǒng)計(jì)量和分布.解： H0 : ?1 ? ?2 ? ? ? ?

58、 p ,,23,H1 : ?1 , ?2 ,?, ? p,至少有一對不相等.,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),利用3-6的結(jié)果知，檢驗(yàn)H0的似然比統(tǒng)計(jì)量及分 布為：,??H0: C? ? 0, H1 : C? ? 0,,H 0下2,T~F ( p ?1, n ? p ?1),,n ? ( p ?1) (n ?1)( p ?1),F ?,其中,,,下),24,~ T(n ?1, p ?1).(H(注意:3-6中的k在這

59、里為p-1),T 2? (n ?1)n(CX )?[CAC?]?1 CX,0,2,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-8假定人體尺寸有這樣的一般規(guī)律:身高(X1),胸圍(X2)和上半臂圍(X3)的平均尺寸比例是6∶4∶1.假設(shè)X (α)(α＝1,…,n)為來自總體X=(X1,X2,X3)′的隨機(jī)樣本.并 設(shè)X～N3(μ,Σ)，試?yán)帽?.5中男嬰這一組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)三 個(gè)尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律(寫出假設(shè)H0,并導(dǎo)出檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

60、).解：檢驗(yàn)三個(gè)尺寸(變量)是否符合這一規(guī)律的問題 可提成假設(shè)檢驗(yàn)問題.因?yàn)?1 : ?2: ?3? 6 : 4 :1 ?? C? ? 0,其中 C ? ? 1 0 ? 6?,,,? 0 1 ? 4?,2?3,??,,,,? 4 ??0.,? ? 1 ? 6 ? 3?0,?1,? 16? 24,?, 且1,33,? ?,?,?,?,,注意:,25,?,2,3,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),檢驗(yàn)的假

61、設(shè)H0為 H0 : C? ? 0, H1 : C? ? 0,利用3-6的結(jié)論，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：H 0下,??,? 10 ? 6?? 01 ? 4?,0? 或? ? 2 ? 30?,?,C,?,? ? 2 ? 3,或C,~F (2, n ? 2),2(n ?1),F ? n ? 2 T 2,,,T 2? (n ?1)n(CX )?[ XAC?]?1 CX .由男嬰測量數(shù)據(jù)(p=3,n=6)計(jì)算可得T2

62、=47.1434, F=18.8574, p值=0.009195<α=0.05,故否定H0,即認(rèn)為這組數(shù)據(jù)與人類的一般規(guī)律不一致.,26,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-9,對單個(gè)p維正態(tài)總體Np(μ,Σ)協(xié)差陣的檢驗(yàn),問題，試用似然比原理導(dǎo)出檢驗(yàn)H0:Σ=Σ0的似然 比統(tǒng)計(jì)量及分布.解:總體X～Np(μ,Σ),設(shè)X(α)(α=1,…,n)為 來自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計(jì)量為,,? ? max L(?, ?)

63、max L(?, ?),?? ,?,0,,,,,?,27,?,? X )?,?,?2 ? ?1,L( X , ?) ? 1 exp?? 1,( X? X )???1 ( X,| 2??0 |,分子當(dāng)?? ? X達(dá)最大,且最大值n,?(? ),n / 2,(? ),0,0,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,? X )? ?]?,?,?,?,? 1 exp?? 1 tr[??1,( X? X )( X,|

64、2??0 |,n0?(? )? ?1,n / 2,(? ),2,,,????,etr?? 1 ??1 A ?,?? (2? )2| ?,?|2,n,np,0,0,2,,分母 ? L( X , 1 A) ? max L(?, ?),? ,?,n,,,,,n2,28,np ? n ? 2,2?,n| A |2 ? (2? ),? 2,| A |,? 2?e ?,np,np,? e ?,n,?,?,? ?,?,第

65、三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,? ? max L(?, ?)max L(?, ?),? ,??1,0,?,,,,n2,29,?1 0,?1,0,2,n2,? n ? 2,0,?|2,0,A |,| ?,12,etr?,| A |,? 2,1,etr?,| ?,np,np,n,?A,? n ?,e,? e ?,A,??,?,??,?,??,?,?,?,??,??,?,??,?,?,由定理3.2.

66、1,,當(dāng)n充分大時(shí),有,.,? p( p ?1)2,? 2 ln ? ~ ?,2,?,?,?,??,30,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,3-10,對兩個(gè)p維正態(tài)總體Np(μ(1),Σ)和Np (μ(2),Σ)均,值向量的檢驗(yàn)問題，試用似然比原理導(dǎo)出檢驗(yàn)H0：μ(1)=μ(2)的似然比統(tǒng)計(jì)量及分布.,,L(? (1) , ? (2) , ?),max? (1) ,? ( 2 ) ,??0,? ? max L(?, ?)

67、? ,??0,解:設(shè),(α＝1,…,ni)為來自總體X～Np(μ(i),Σ)的,隨機(jī)樣本(i=1,2),且相互獨(dú)立,Σ>0未知.檢驗(yàn)H0似然比統(tǒng) 計(jì)量為,,,n ? n1 ? n2,(i),(i )(? ),ni?(i )(i )(? ),? ?1,(i ? 1,2),)?,( X? X)( X,X,Ai ?,記,,,X (i ) ,,(i ? 1,2), 記X? 1,? 1,2,i?1 ? ?1,(?

68、),? ?1,X (i ),(? ),X (i ),n ??,n?,ni,ni,i,其中,(i)(? ),X,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),,,,,2 ?,| T |,? e ?,?,,,i?1i?1其中 A=A1+A2稱為組內(nèi)離差陣.B稱為組間離差陣.分子當(dāng)?? ? X , ?? ? T? A ? B 達(dá)最大,且最大值為,nn,n2,np ? n ? 2,L（X， ) ? (2? )n,np,T,( X (i