帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動規(guī)律的研究

1、帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動規(guī)律的研究吳 珊 姜付錦（ 武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 ４ ３ ０ ０ ３ ０ ）（ 收稿日期： ２ ０ １ ４ － ０ ２ － １ ７ ）摘 要： 先通過牛頓運(yùn)動第二定律推出帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的微分方程組， 再利用數(shù)學(xué)軟件 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ解出方程組的解析解， 對解析解的進(jìn) 一 步 分 析 證 明 帶 電 粒 子 在 運(yùn) 動 過 程 中 加 速 度 大 小 不 變， 最

2、 后 通 過Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ對解析解進(jìn)行數(shù)值模擬， 得到了帶電粒子在復(fù)合場中的５種常見的運(yùn)動軌跡．關(guān)鍵詞： 帶電粒子 勻強(qiáng)電場 勻強(qiáng)磁場 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ運(yùn)動軌跡帶電粒子在正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡是一條擺線 ［ １ ～１ １ ］， 若電場方向和磁場方向之間的夾角是一個任意角， 則帶電粒子的運(yùn)動軌跡相對較復(fù)雜， 文獻(xiàn)［ １ ２ ］ 從運(yùn)動的合成與分解的角度給出了帶電粒子運(yùn)動的位移與速度的表達(dá)式， 但是沒有給出不同情況

3、下的運(yùn)動軌跡．本文通過牛頓運(yùn)動第二定律推出帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的微分方程組， 再利用數(shù)學(xué)軟件 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ解出方程組的解析解， 對解析解的進(jìn)一步分析證明帶電粒子在運(yùn)動過程中加速度大小不變， 最后通過 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ對解析解進(jìn)行數(shù)值模擬， 得到了帶電粒子在復(fù)合場中的５種常見的運(yùn)動軌跡．１建立運(yùn)動模型如圖１所示空間存在勻強(qiáng)電場 Ｅ 和勻強(qiáng)磁場Ｂ（ 忽略重力影響） ， 以磁場Ｂ 方向?yàn)椋?軸正方向， 豎直向上為ｚ 軸正

4、方向， 水平向右為ｙ 軸正方向建立坐標(biāo)系Ｏ － ｘ ｙ ｚ． 設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為ｍ， 電荷量為＋ｑ， 電場Ｅ 和磁場Ｂ 之間的夾角為θ， 帶電粒子以某一初速度由原點(diǎn)進(jìn)入此空間， 粒子初速度在ｘ， ｙ， ｚ軸的分量分別為ｖ ０ ｘ， ｖ ０ ｙ， ｖ ０ ｚ．圖１建立運(yùn)動模型２動力學(xué)微分方程組由牛頓運(yùn)動第二定律可列出帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動微分方程組如下ｍ ｄ ２ｘｄ ｔ２ ＝Ｅ ｑ ｃ ｏ ｓ θｍ ｄ ２ｙｄ ｔ２ ＝Ｅ ｑ ｓ ｉ

5、ｎ θ＋Ｂ ｑｄ ｚｄ ｔｍ ｄ ２ ｚｄ ｔ２ ＝－Ｂ ｑｄ ｙｄ ｔ烅烄烆ｘ（ ０ ） ＝０ ， ｘ· （ ０ ） ＝ ｖ ０ ｘｙ（ ０ ） ＝０ ， ｙ· （ ０ ） ＝ ｖ ０ ｙｚ（ ０ ） ＝０ ， ｚ· （ ０ ） ＝ ｖ ０ ｚ烅烄烆３利用 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ求微分方程的解Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ是一款專門用于字符運(yùn)算和數(shù)值模擬的數(shù)學(xué)軟件， 把以上微分方程和初始值輸入后得到微分方程的解如圖２所示

6、．— ８ ０ １ —２ ０ １ ４年第９期 物理通報 物理問題研究若θ＝０ ， 則帶電粒子的運(yùn)動軌跡是一條螺距逐漸增大的螺旋線， 如圖５所示 ．圖５軌跡是螺旋線若θ＝π６， ｖ ０ ｙ ＝ ０ ， ｖ ０ ｚ ＝－Ｅ ｓ ｉ ｎ θＢ， 則帶電粒子的運(yùn)動軌跡是一條拋物線， 如圖６所示．圖６軌跡是拋物線若θ＝π８， ｖ ０ ｘ ＝ ｖ ０ ｚ ＝ ０ ， ｖ ０ ｙ ＝ＥＢ， 則帶電

7、粒子的運(yùn)動軌跡在ｙ Ｏ ｚ 平面內(nèi)是一條擺線， 在ｘ 軸方向上做勻變速直線運(yùn)動， 如圖７所示．圖７軌跡是擺經(jīng)運(yùn)動與勻變速直線運(yùn)動的合成５結(jié)語通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)， 帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動軌跡與帶電粒子的初始狀態(tài)有關(guān)． 雖然不同狀態(tài)下的運(yùn)動軌跡不同， 但它們都是加速度大小不變的運(yùn)動． 若帶電粒子帶受到重力作用，則只需將電場力和重力合成一個力， 再用上面的方法便可以研究帶電粒子的運(yùn)動規(guī)律， 限于篇幅這里不再討論．參 考 文 獻(xiàn)

8、１張九鑄． 帶電粒子在正交電場和磁場中軌跡的形成及曲率半徑． 大學(xué)物理， ２ ０ １ １ ， ３ ０ （ ５ ） ： ３ ５～３ ８２胡建新． 帶 電 粒 子 在 正 交 恒 定 電 磁 場 中 運(yùn) 動 狀 態(tài) 的 分析． 大學(xué)物理， ２ ０ ０ ４ ， ２ ３ （ ４ ） ： ９～１ １３魏國柱， 石曉玲， 杜安． 帶電粒子在相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻右磁場中的運(yùn)動軌跡． 大學(xué)物理， ２ ０ ０ ８ ， ２ ７ （ ６ ） ： １ ５～１

9、 ７４趙燦東． 擺 線 性 質(zhì) 的 物 理 分 析 方 法． 大 學(xué) 物 理， ２ ０ １ ０ ，２ ９ （ ２ ） ： １ ２～１ ３５張?。?由一道高考題引出的思考． 物理通報， ２ ０ １ ２ （ １ ３ ） ：８ ５～８ ７６張會 麗． 一 道 “ 復(fù) 合 場”試 題 的 三 種 解 法． 物 理 通 報，２ ０ １ ２ （ ６ ） ： ６ ２～６ ３７曾湘 詠． 關(guān) 于 速 度 選 擇 器 的 兩 個 “ 定 論 ” ． 物

10、理 通 報，２ ０ １ ２ （ ７ ） ： １ ０ ７～１ ０ ９８王文濤． 運(yùn)用 Ｍ ａ ｐ ｌ ｅ研究帶電粒子在正交勻強(qiáng)電磁場中的運(yùn)動． 物理通報， ２ ０ １ ３ （ ３ ） ： ６ ５～６ ７９曾湘詠． ２ ０ １ １年高考福建理綜卷第２ ２題賞析與拓展． 物理通報， ２ ０ １ ２ （ １ ） ： ９ ６～９ ９１ ０魏強(qiáng)． 再談帶 電 微 粒 在 復(fù) 合 場 中 的 運(yùn) 動 問 題． 物 理 通報， ２ ０ １ ２ （ ５