考研數(shù)學公式定理背誦手冊數(shù)學二高等數(shù)學

1、 84考研數(shù)學公式定理背誦手冊（數(shù)學二） 考研數(shù)學公式定理背誦手冊（數(shù)學二） 第一部分 第一部分 高等數(shù)學 高等數(shù)學 一、函數(shù)、極限與連續(xù) 一、函數(shù)、極限與連續(xù) 1．基本初等函數(shù) ．基本初等函數(shù) 基本初等函數(shù)共有以下六個，其性質和圖形必須牢記． （1）常數(shù)函數(shù)： ( ) y x c = ． （2）冪函數(shù)： ( a y x a = 為常數(shù)) ． （3）指數(shù)函數(shù)： ( x y a a = 是常數(shù)且 0, 1) a a > ≠ ．

2、（4）對數(shù)函數(shù)： log ( a y x a = 是常數(shù)且 0, 1) a a > ≠ ，定義域(0, ) +∞ ，它是指數(shù)函數(shù)x y a = 的反函數(shù)． （5）三角函數(shù)： 正弦函數(shù) sin ( ) y x x = ?∞ < < +∞ ． 余弦函數(shù) cos ( ) y x x = ?∞ < < +∞ ． 正切函數(shù) tan y x = ， | , (2 1) , 2 D x x R x n n Z π ? ?

3、 = ∈ ≠ + ∈ ? ? ? ? ． 余切函數(shù) cot y x = ， { } | , , D x x R x n n Z π = ∈ ≠ ∈ ． 正割函數(shù) 1 sec cos y x x = = ， | , (2 1) , 2 D x x R x n n Z π ? ? = ∈ ≠ + ∈ ? ? ? ? ． 余割函數(shù) 1 csc sin y x x = = ， { } | , , D x x R x n n Z π = ∈ ≠

4、∈ ． （6）反三角函數(shù)： 反正弦函數(shù) arcsin y x = ， [ 1,1] x∈ ? ，值域 , 2 2π π ? ? ? ? ? ? ? ． 反余弦函數(shù) arccos y x = ， [ 1,1] x∈ ? ，值域[0, ] π ． 反正切函數(shù) arctan y x = ， ( , ) x∈ ?∞ +∞ ，值域 , 2 2π π ? ? ? ? ? ? ? ． 867．反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性 ．反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性 定理

5、 定理 4 如果函數(shù) ( ) y f x = 在區(qū)間 x I 上單調增加（或單調減少）且連續(xù)，那么它的反函數(shù) ( ) x y ? = 也在對應的區(qū)間 { | ( ), } y x I y y f x x I = = ∈ 上單調增加（或單調減少）且連續(xù)． 定理 定理 5 設函數(shù) ( ) u x ? = 當 0 x x → 時的極限存在且等于a ，即0 lim ( ) x x x a ?→ = ，而函數(shù) ( ) y f u = 在點

6、 u a = 連續(xù)，則復合函數(shù) [ ( )] y f x ? = 當 0 x x → 時的極限也存在且等于( ) f a ，即0 lim [ ( )] ( ) x x f x f a ?→ = ． 定理 定理 6 設函數(shù) ( ) u x ? = 在點 0 x x = 處連續(xù)，且 0 0 ( ) x u ? = ，而函數(shù) ( ) y f u = 在點0 u u = 連續(xù)，那么復合函數(shù) [ ( )] y f x ? = 在點 0 x x

7、 = 也是連續(xù)的． 8．初等函數(shù)的連續(xù)性 ．初等函數(shù)的連續(xù)性 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的． 9．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 ．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 定理 定理 1（最大值和最小值定理） （最大值和最小值定理） 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值． 定理 定理 2（有界性定理） （有界性定理） 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界． 定理 定理 3（零點定理） （零點定理） 設函數(shù) ( ) f x 在

8、閉區(qū)間[ , ] a b 上連續(xù)，且 ( ) f a 與 ( ) f b 異號（即( ) ( ) 0 f a f b ? < ，則在開區(qū)間 ( , ) a b 內(nèi)至少有函數(shù) ( ) f x 的一個零點，即至少有一個( ) a b η η < < 使 ( ) 0 f η = ． 定理 定理 4（介值定理） （介值定理） 設函數(shù) ( ) f x 在閉區(qū)間[ , ] a b 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 ( )

9、 f a A = 及 ( ) f b B = ，則對于 A 與 B 之間的任意一個數(shù) c ，在開區(qū)間( , ) a b 內(nèi)至少有一點η ，使得 ( ) ( ) f c a b η ε = < < ． 推論 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值 m 之間的任何值． 因此當 1 a ≠ ，b e = 時， 1 x = 是 ( ) f x 的可去間斷點． 綜合 （1） 與 （2） 知： 當 0 a = ，