立體幾何中的向量方法

1、立體幾何中的向量方法 立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離 求空間角和距離1． 空間向量與空間角的關系(1)設異面直線 l1，l2 的方向向量分別為 m1，m2，則 l1 與 l2 所成的角θ滿足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設直線 l 的方向向量和平面α的法向量分別為 m，n，則直線 l 與平面α所成角θ滿足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如圖①，AB、CD 是二面角α—l

2、—β的兩個面內(nèi)與棱 l 垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈 ， 〉 ． AB →CD →2°如圖②③，n1，n2 分別是二面角α—l—β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉 ．2． 點面距的求法如圖，設 AB 為平面α的一條斜線段，n 為平面α的法向量，則 B到平面α的距離 d＝ .|AB →·n||n|1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”

3、或“×”)( )A．4 B．2 C．3 D．1答案 B解析 P 點到平面 OAB 的距離為d＝ ＝ ＝2，故選 B.|OP →·n||n||－2－6＋2|94． 若平面α的一個法向量為 n＝(4,1,1)，直線 l 的一個方向向量為 a＝(－2，－3,3)，則 l 與α所成角的正弦值為_________．答案 4 1133解析 ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝ ＝3 ， 16＋1＋1 2

4、|a|＝ ＝ ， 4＋9＋9 22∴cos〈n，a〉＝ ＝ ＝－ .n·a|n|·|a|－83 2 × 224 1133又 l 與α所成角記為θ，即 sin θ＝|cos〈n，a〉|＝ .4 11335． P 是二面角α－AB－β棱上的一點，分別在平面α、β上引射線 PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為________．答案 90&