(q,K,λ,t,Q)—準(zhǔn)差族的組合構(gòu)造.pdf

1、J.A.Davis于1992年引入了(q，k，λ，t)-準(zhǔn)差集(簡記為(q，k，λ，t)-ADS)的概念，其中q，k，λ，t均為正整數(shù).作為(q，k，λ，t)-準(zhǔn)差集的推廣，丁存生等又提出了(q，k，λ，t)-準(zhǔn)差族(簡記為(q，k，λ，t)-ADF)的概念，并利用有限域給出了一些準(zhǔn)差族的構(gòu)造以及存在性判定定理.循環(huán)(q，k，λ，t)-ADF的特征序列和位移可構(gòu)成一類具有最優(yōu)自正交性的二元序列，在通訊和流密碼方面有著廣泛應(yīng)用，因此，研究

2、(q，k，λ，t)-ADF有著重要的意義.為了推廣到更一般的情形，本文將(q，k，λ，t)-ADF中的k推廣到正整數(shù)集合K={k1，k2,...，Kr}，其中Q=(q1，q2,...，qr)，為相應(yīng)區(qū)組的比例序列.
　　設(shè)G是q階Abel群，K={k1，k2，...，Kr}為正整數(shù)集合，Q=(q1，q2,…，qr)為有理數(shù)組，其元素和為1，令F={B1，B2，...，Bs}是G的s個(gè)子集組成的集合，滿足|Bj|∈K，1≤j≤s，且

3、F中長度為ki的區(qū)組所占的比例為qi，1≤i≤r.定義△B={a-b:a，b∈Bj，a≠b}，1≤j≤s，△F=∪1≤j≤s△Bj.如果G中t個(gè)非零元在△F中恰好出現(xiàn)λ次，其余q-1-t個(gè)非零元在△F中恰好出現(xiàn)λ+1次，則稱F為G上的(q，K，λ，t，Q)-準(zhǔn)差族(AlmostDifferenceFamily)，記為(q，K，λ，t，Q)-ADF.若G為q階循環(huán)群，則稱F為循環(huán)（q，K，λ，t，Q）-準(zhǔn)差族(CyclicAlmostDi

4、fferenceFamily).
　　若Q=（a1/b，a2/b，...，ar/b）且gcd(a1，a2,...，ar)=1，則稱Q是標(biāo)準(zhǔn)的.顯然，r∑i=1ai=b.如果Q=(1/r，1/r，...，1/r)，則稱(q，K，λ，t，Q)-ADF是平衡的，簡記為平衡(q，K，λ，t)-ADF.本文給出了(q，K，λ，t，Q)-ADF存在的以下必要條件.
　　定理1.1設(shè)Q=（a1/b，a2/b，...，ar/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，則

5、(q，K，λ，t，Q)-ADF存在的必要條件是（λ+1）(q-1)≡t(modw)，其中w=r∑i=1aiki(ki-1).
　　設(shè)q為質(zhì)數(shù)冪，F(xiàn)q為q階有限域，B是Fq中k元集合，則一定存在(B)(∈)Fq使得△B=(B)∪(-1)(B).如果B是Fq的子集組成的集合，則記(B):=∪B∈B(B).(B)的概念將要在下面用到.
　　設(shè)q=ef+1是質(zhì)數(shù)，ω是Fq中本原元，令He={ωie:0≤i≤f-1}是Fq中指數(shù)為e的

6、乘法子群，令Cej=ωjHe為乘法陪集，其中0≤j≤e-1.
　　本文給出(q,K,λ,t,Q)-ADF的以下構(gòu)造.
　　定理1.2令K={k1，k2，...，Kr}，且Q=（a1/b，a2/b，...，ar/b）是標(biāo)準(zhǔn)的，假設(shè)q≡1(mod2e)為奇質(zhì)數(shù)，B是Fq中b個(gè)集合，其長度大小取自集合K，且大小為ki的區(qū)組個(gè)數(shù)為ai，1≤i≤r.令λ=(「)∑aiki(ki-1)/2e」且2s=(「)∑aiki(ki-1)-2λe

7、」，假設(shè)(B)在Fq中的s個(gè)e次分圓類中覆蓋了恰好λ+1個(gè)元素（重復(fù)元素按重復(fù)次數(shù)計(jì)算），且在其余e-s個(gè)分圓類中覆蓋了恰好λ個(gè)元素.則存在循環(huán)(q，K，λ，t，Q)-ADF，其中t=(q-1)(e-s)/e.
　　利用定理1.2及計(jì)算機(jī)搜索，本文得到以下結(jié)果.
　　定理1.3若q≡1(mod4)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，4}，4，（q-1）/2）-ADF.
　　定理1.4若q≡1(mod8)為奇質(zhì)數(shù)

8、，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，4}，2,3(q-1)/4)-ADF.
　　定理1.5若q≡1(mod10)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，4}，1，(q-1)/5)-ADF.
　　定理1.6若q≡1(mod12)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡（q，{3，4}，1，(q-1)/2)-ADF.
　　定理1.7若q≡1(mod4)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，5}，6，(q-1)/2)-AD

9、F.
　　定理1.8若q≡1(mod6)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，5}，4，2(q-1)/3)-ADF.
　　定理1.9若q≡1(mod8)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，5}，3，3(q-1)/4)-ADF.
　　定理1.10若q≡1(mod10)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，5}，2，2(q-1)/5)-ADF.
　　定理1.11若q≡1(mod4)為奇質(zhì)數(shù)，則存在

10、Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，4，5}，9，(q-1)/2)-ADF.
　　定理1.12若q≡1(mod6)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)平衡(q，{3，4，5}，6，2(q-1)/3)-ADF.
　　定理1.13若q≡1(mod10)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)（q，{3，4}，2,3(q-1)/5，（2/3，1/3）)-ADF.
　　定理1.14若q≡1(mod14)為奇質(zhì)數(shù)，則存在Fq上的循環(huán)(q，{3，4}，1,2

11、(q-1)/7，（2/3，1/3))-ADF.
　　本文共分為六章，第一章主要介紹與本文有關(guān)的概念和本文的主要結(jié)果，并給出了(q，K，λ，t，Q)-準(zhǔn)差族存在的必要條件及其構(gòu)造方法;第二章討論了K={3，4}時(shí)循環(huán)平衡準(zhǔn)差族的存在性;第三章討論了K={3，5}時(shí)循環(huán)平衡準(zhǔn)差族的存在性;第四章討論了K={3，4，5}時(shí)循環(huán)平衡準(zhǔn)差族的存在性;第五章討論了K={3，4}，Q=(2/3，1/3)時(shí)循環(huán)準(zhǔn)差族的存在性;第六章為小結(jié)及可進(jìn)一