平衡差族與完備差族的存在性.pdf

1、在數(shù)字通信領域，如全球定位系統(tǒng)、碼分多址通信系統(tǒng)(CDMA)、雷達系統(tǒng)及序列密碼學中，具有最優(yōu)的2級、3級自相關性的二元序列有著重要的應用.差族、平衡差族、完備差族與這種二元序列有著非常密切的關系. 1939年，R.C.Bose[1]提出(υ，κ，λ)-差族(簡記為(υ，κ，λ)-DF的概念，并用它來構造(υ，κ，λ，)-平衡不完全區(qū)組設設計(υ，κ，λ)-BIBD.1999年，M.Buratti[2]提出了平衡(υ，κ，λ)-

2、差族(Balanced Difference Families)的概念. 設(G，＋)是υ階的Abel群，h為正整數(shù)，K為正整數(shù)集，B={Bi:1≤I≤h}是G的一些Ki元子集構成的子集族，Bi={bi1，bi2...biki}，Ki∈K，1≤I≤h.對任意B∈G，記△B={a-b：a，b∈B，a≠b}，△B=U1_≤I≤h△Bi.若△B=λ(G\{0})，則稱B為G的一個(υ，κ，λ)-差族，記為(υ，κ，λ)-DF，Bi稱為

3、基區(qū)組，Ki為Bi組的長度.若B中不同長度區(qū)組的個數(shù)都相等，則稱B為G的一個平衡(υ，κ，λ)-DF. 引理1.2.2[2]設u=18t+1為質數(shù)冪，3e是整除t的最最高次冪.在Fv中,若3e+1不等于3，則存在平衡(υ[3，4],1)-DF. 易如平衡(u{3，4},λ)-DF存在的必要條件如下： (1)當λ三1，5，7，11，13，17(mod 18)時,v三1(mod 18)，v≥19; (2)當λ三2

4、，4，8，10，14，16(mod 18)時,v三1(mod 9)，v≥10; (3)當λ三3，15(mod 18)時，v三1(mod 6)，v≥7; (4)當λ三6，12(mod 18)時，v三1(mod 3)，v≥4; (5)當λ三9(mod 18)時，v三1(mod 2)，V≥4; (6)當λ三0(mod 18)時，v≥4. 本文利用乘法特征的Weil定理得到λ=1，3時平衡(v，{3，4}，λ)-

5、DF存在的一個下界，并對該下界以下的質數(shù)冪構造出具體的平衡(v{3，4}，λ)-DF.最終得到如下定理： 定理1.4.1 當v是質數(shù)冪時，平衡(v，{3，4}，λ)-DF存在的必要條件也是充分的本文的另一項工作是研究完備差族的存在性.R.J.R Abdl[3],R.Mathonn[4]和A.Rosa[5]等人用完備差族來解決循不斯坦納2-設計、光正交碼和和圖論當中的某些問題. 最近，G.Ge，A.C. H. Ling和Y

6、.Miao[6]在研究雷達陣列構造時對完備差族的概念進行了推廣，并給出由推廣了的完備(υ，κ，1)-DF到PCPM(Properly Centered PermutationMatrice)的構造，部分解決了山Z.Zhang和C.Tu[7]提出的關于PCPM的構造的公開性問題，從而成功運用完備差族來構造了雷達陣列. 設Iv={0，1，...，v-1}，h為正整數(shù)，F(xiàn)={B1，B2...，Bh)是Iv的一些Ki元子集構成的子集族，

7、其中Bi={bi1，bi2，..，biki}，K={K1，K2，.. .，Kh)若△+F={biv-bim: 1≤ I≤h，1≤m

8、組的長度都為W，則記作完備(v，{W,S*1，s*2，s*3，...，s*t}，1)-DF，其中W,S1...St為兩兩不同的正整數(shù). 對于完備(u，K，1)-DF的存在性，當K={K}時，R.Mathon等人已得到部分結果.但對于｜K｜>1時的完備(v，K，1)-DF，已知結果較少.本文對其存在性進行了研究.首先利用Langford序列給出一類完備差族的遞推構造，并討論了完備(v，K，1)-DF不存在原情況，接著給出K={3，

9、s*}及K={3，s*1，s*2}時的存在性結果.最后文章進一步對K={k}的情況進行了討論，并給出了新的遞推構造方法及相關結果. 以下為本文主要結果： 定理1.4.2設存在完備(u，K，1)-DF.如果u，m滿足如下條件，則存在完備(6m+v，Ku{3}，1)-DF. (1)m≥v; (2)當v三1(mod 4)時,m三0，1(mod 4);當u三3(mod 4)時,m三0，3(mod 4). 定理

10、1.4.3如果下述條件之一滿足： (1)當s三1(mod 8)時,v-r三13，19(mod 24); (2)當s三3(mod 8)時,v-r三7，13(mod 24); (3)當s三5(mod 8)時,v-r三1，7(mod 24); (4)當s三7(mod 8)時,v-r三1，19(mod 24); 其中r=s(s-1)，那么不存在完備(v，{3，s*},1)-DF. 定理1.4.4如果min

11、{k：k∈K}≥6，則不存在完備(u，K，1)-DF. 定理1.4.5對于以下的K和V，每一條件對于完備(v，K,1)-DF的存在性都是充分必要的(1)K={3，4*}，v三1(mod 6)，v≥9； (2)K={3，5*}，v三9，15(mod 24)，v≥ 33； (3)K={3，6*}，v三1(mod 6)，v≥43； (4)K={3，7*}，v三1，7(mod 24)，v ≥73. 定理1.4.