關(guān)于2k+p和k2n+1形式的整數(shù)問題研究.pdf

1、本文主要研究2k+p形式的整數(shù)，k2n+1形式的整數(shù)，以及它們相關(guān)的若干問題，主要結(jié)果如下．
　　 1．在1849年，de Polignac提出猜想：每一個大于3的奇數(shù)都可以表示為一個奇素數(shù)與2的方冪的和，在1934年，Romanoff證明了在正奇整數(shù)集合中能夠表示為2k+p形式的整數(shù)占有正的比例，其中k為正整數(shù)，p為奇素數(shù)，另一方面，在1950年，van der Corput證明了在正奇整數(shù)集合中不能夠表示為2k+p形式的整數(shù)

2、也占有正的比例，其中k為正整數(shù)，p為奇素數(shù)．Erdos引進(jìn)了同余覆蓋系的概念，并且運用同余覆蓋系方法證明了：存在一個正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)，其中每一項都不能表示為2k+p形式，其中k為正整數(shù)，p為奇素數(shù)．在2004年，Chen和Sun證明了在正整數(shù)集合中能夠表示為2k+p形式的整數(shù)占有的比例大于0.0868，其中k為正整數(shù)，p為奇素數(shù)，最近0.0868已經(jīng)被Lü改進(jìn)為0.09322，被Habsieger和Roblot改進(jìn)為0.0933

3、，被Pintz改進(jìn)為0.09368.
　　 在本文中，我們考慮了下面的問題，
　　 問題1．如何確定所有的由正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)，其中有正的比例可以表示為2k+p形式？
　　 問題2．如果一個正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)中能夠表示為2k+p形式的整數(shù)密度為0，那么這個算術(shù)級數(shù)是否一定可以通過2k+p由一個同余覆蓋系產(chǎn)生？
　　 在本文中，我們解決了問題1和問題2．證明了如下幾個結(jié)果：
　　 對于給

4、定的一個整數(shù)集合A，設(shè)B是A中所有的能夠表示為2k+p形式的整數(shù)的集合，我們稱B為A的Polignac-Romanoff-Corput-Erdos子集，并且記B=PRCE(A). PRCE(A)的上漸近密度和下漸近密度分別被稱為A的上PRCE漸近密度和下PRCE漸近密度，給定正整數(shù)m．設(shè)m=2rm'，2|m'，并且e(m)是2(modm')的階數(shù)，即e(m)是使得2l=1(mod m')成立的最小的正整數(shù)l．
　　 定理，設(shè)m，

5、u是整數(shù)，并且2|u和m>0，2|m.
　　 （a)如果存在整數(shù)l滿足1≤l≤e(m)和(u-2l,m)=1，那么算術(shù)級數(shù){u+mk}<'∞><,k=1>的下PRCE漸近密度至少為0.0851/(e(m)φ(m))；
　　 （b)如果不存在整數(shù)l滿足1≤l≤e(m)和(u-2l,m)=1，那么算術(shù)級數(shù){u+mk}<'∞><,k=1>的PRCE密度為0．
　　 推論1．一個正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)的下PRCE密度為

6、0當(dāng)且僅當(dāng)這個算術(shù)級數(shù)能夠通過2k+p由一個同余覆蓋系產(chǎn)生，
　　 推論2．如果一個正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù){u+mk}<'∞><,k=1>的上PRCE密度不為0，那么算術(shù)級數(shù){u+mk}<'∞><,k=1>的下PRCE漸近密度至少為0.0851/(e(m)φ(m)).
　　 2．最近，Yong-Gao Chen[On integers of the forms k±2n and k2n±1，J．Number Theor

7、y，125(2007)14-25.]提出了下面的兩個猜想：(1)能夠表為2n-p形式的正整數(shù)在正奇整數(shù)的全體中有正的下漸近密度，其中n為正整數(shù)，p為奇素數(shù)；(2)能夠表為p-2n形式的正整數(shù)在正奇整數(shù)集合中有正的下漸近密度，其中n為正整數(shù)，p為奇素數(shù).
　　 在本文中，我們證明了這兩個猜想正確，證明了以下幾個結(jié)論：
　　 定理1．能夠表為2n-p形式的正整數(shù)在正整數(shù)的全體中占有的比例大于0.0283，其中n為正整數(shù)，p為

8、奇素數(shù)，
　　 定理2．能夠表為p-2n形式的正整數(shù)在正整數(shù)的全體中占有的比例大于0.0283，其中n為正整數(shù)，p為奇素數(shù)，
　　 定理3．設(shè)x充分大，則在不超過x的正整數(shù)的全體中恰有一種方法被表為2n-p形式的正整數(shù)占有的比例大于9.63·10-4，其中p為奇素數(shù)，且正整數(shù)n適合1.4427logx≤n≤1.4437logx．
　　 定理4．設(shè)x充分大，則在不超過x的正整數(shù)的全體中恰有一種方法被表為p-2n形式

9、的正整數(shù)占有的比例大于9.63·10-4，其中p為奇素數(shù)，且正整數(shù)n適合1.4427logx≤n≤1.4437logx．
　　 3．在1960年，Sierpinski證明了存在無窮多個正奇數(shù)k，使得k2n+1對于所有的正整數(shù)n都是合數(shù)，在1979年，Erdos和Odlyzko證明了存在正整數(shù)n，使得k2n+1為素數(shù)的正奇數(shù)k在正整數(shù)集合中有正的下漸近密度．Erdos和Odlyzko也提出了下面的問題：所有不能表示為(p-1)2-

10、n形式的正奇整數(shù)k，是否一定可以通過k2n+1由一個同余覆蓋系產(chǎn)生？
　　 在本文中，對于算術(shù)級數(shù)的情況，我們給出了肯定的答案，我們考慮了下面的問題，
　　 問題1．如何確定所有的由正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)，其中有正的比例可以表示為(p-1)2-n形式？
　　 問題2．如果一個正奇數(shù)組成的無窮算術(shù)級數(shù)中能夠表示為(p-1)2-n形式的整數(shù)密度為0，那么這個算術(shù)級數(shù)是否一定可以通過k2n+1由一個同余覆蓋系產(chǎn)生？<

11、br>　　 在本文中，我們完全解決了上面的兩個問題，我們得到了下面的主要結(jié)論.
　　 給定一個正整數(shù)m．設(shè)m=2rm'，2|m'．用e(m)表示2(mod m')的階數(shù)，即e(m)是使得2l≡1(mod m')成立的最小的正整數(shù)l．
　　 定理，設(shè)m，S是正整數(shù)，2|s，2|m
　　 （a)如果存在整數(shù)n0滿足1≤n0≤e(m)和(2n0s+1，m)=1，那么在算術(shù)級數(shù){s+mk}<'∞><,k=1>中能夠表示