三類函數(shù)的積分表示、性質(zhì)及其應(yīng)用.pdf

1、基于算術(shù)平均、指數(shù)平均及對數(shù)平均均被證明是Bernstein函數(shù)的研究現(xiàn)狀，本文運(yùn)用了不同的方法首先證明了幾何平均和調(diào)和平均均為Bernstein函數(shù)，并通過重要的復(fù)變函數(shù)工具-Cauchy積分公式建立了它們的積分表示，進(jìn)而得到了一種證明著名的算術(shù)幾何平均(AG平均)不等式的新方法。然后，本文對所研究的幾何平均的性質(zhì)進(jìn)行推廣，從而得到了多元幾何平均也為Bernstein函數(shù)的結(jié)論，同樣建立其積分表示并得到多元AG平均不等式的證明。更進(jìn)一

2、步，本文也研究了加權(quán)幾何平均的相關(guān)性質(zhì)，證明其為Bernstein函數(shù)并建立其積分表示，從而得到對數(shù)平均的一個新的積分表達(dá)式以及算術(shù)平均與對數(shù)平均的關(guān)系式。
　　 同時，本文也引入了一個與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的Stieltjes函數(shù)，通過建立其積分表達(dá)式證明了它是一個Stieltjes函數(shù)，然后運(yùn)用其積分表達(dá)式得到了第二類Bernoulli數(shù)的顯式計(jì)算式并證明了由第二類Bernoulli數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列是完全單調(diào)的。這為我們計(jì)算第二類Be