小波與偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用研究.pdf

1、小波分析是二十世紀九十年代出現(xiàn)的一門新的數(shù)學方法，由于它具有時一頻局部化特點和多尺度特性，在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。小波分析已成為新的靜態(tài)圖像壓縮標準JPEG2000的核心技術(shù)。近年來，圖像處理和分析中另一個最新的進展是偏微分方程圖像處理理論。本論文主要圍繞小波分析與偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用來進行研究。主要做了以下幾個方面的工作： 1．討論了小波閾值與尺度空間的關(guān)系：一方面，可以用小波閾值建立新的尺度空間；另一方面，可以

2、在尺度空間的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出新的閾值函數(shù)。提出一種基于Besov權(quán)的平移不變小波閾值函數(shù)。仿真實驗的結(jié)果表明了新閾值函數(shù)的有效性。 2．針對Perona-Malik各向異性擴散方程不能保留邊緣細節(jié)的缺點，從小波和形態(tài)學的角度對擴散方程的擴散系數(shù)進行修改，分別得到兩個新的各向異性擴散方程：基于非線性小波閾值和基于形態(tài)學算子的各向異性擴散方程。新的各向異性擴散方程在計算擴散系數(shù)時，不僅考慮了圖像的梯度，而且考慮了二階導(dǎo)數(shù)，并分別在作用非

3、線性小波閾值和形態(tài)學閉開算子后的圖像上估計各階導(dǎo)數(shù)。這樣，這兩種新算子不但能夠有效地去除噪聲，還能保持圖像中的尖峰和窄邊緣，從而更好地保持邊緣位置。實驗結(jié)果表明用這兩種新算子處理后的圖像具有較高的清晰度和對比度。 3．提出了兩種新的圖像邊緣檢測算法。一是基于小波耦合閾值的邊緣檢測算法。Canny邊緣檢測中使用高斯濾波平滑圖像，由于高斯濾波使圖像出現(xiàn)邊緣過度平滑及邊緣移位現(xiàn)象，提出用平移不變小波非線性耦合閾值來代替Canny邊緣檢

4、測中的高斯平滑，得到基于小波耦合閾值的邊緣檢測算法；另外是小波尺度空間中的邊緣檢測算法。從尺度空間的觀點看，Canny邊緣檢測方法的多尺度形式等價于在一個線性高斯尺度空間中進行Canny最優(yōu)算子的邊緣檢測。用非線性的小波尺度空間代替高斯尺度空間做邊緣檢測能夠獲得更好的邊緣檢測結(jié)果，即小波尺度空間中的邊緣檢測算法。實驗仿真表明新算法具有更好的邊緣檢測性能。 4．提出了三種新的圖像分解算法。一是基于修正小波閾值的圖像分解算法。用具有

5、更高正則性的修正小波閾值(分段n次多項式小波閾值和指數(shù)閾值)做圖像分解，得到圖像分解的變分泛函的近似最小值，其中n可以取任意正數(shù)。隨著n的增大，圖像分解的變分問題的近似最小值越逼近精確最小值。這樣，得到了圖像分解和修正小波閾值之間的聯(lián)系。實驗結(jié)果表明用修正小波閾值分解圖像的有效性；另外是基于變分和小波變換的圖像分解算法，該算法把圖像分解成兩部分u+v，其中u在B<'1><,1>(L<,1>)空間表示圖像的幾何特征，v用對偶空間B<'-1

6、><,∞>(L<,∞>)刻畫。這樣可以將求解圖像分解的泛函最小值問題轉(zhuǎn)化到小波域中求解。在小波域中利用Aujol的求解泛函最小值的方法得到圖像分解部分的小波序列，重構(gòu)該序列的極限即可得到圖像的分解部分。實驗結(jié)果表明該圖像分解算法的有效性；最后是Besov空間中的圖像分解算法。Daubechies和Teschke首先提出了圖像分解和小波軟閾值之間的聯(lián)系。他們引入一類特殊的變分泛函，把圖像分解成結(jié)構(gòu)和紋理兩部分，其中結(jié)構(gòu)部分u是用B<'1>

7、<,1>(L<,1>)空間來刻畫。我們對他們的方法做了推廣，對變分泛函中的結(jié)構(gòu)部分u增加了一個，l<'p>懲罰項，即用更一般的Besov空間B<'β><'p>(L<,p>)空間代替B<'1><,1>(L<,1>)空間來刻畫圖像的結(jié)構(gòu)部分，得到了圖像分解和小波閾值之間的聯(lián)系。 5．提出了兩種新的圖像放大算法。一是基于變分和小波變換的圖像放大算法。用Besov范數(shù)刻畫圖像的正則性構(gòu)造了一個變分泛函，然后通過最小化該變分泛函得到放大圖

8、像。根據(jù)Besov范數(shù)與小波系數(shù)范數(shù)之間的等價關(guān)系，可以將該泛函的最小化問題轉(zhuǎn)化到小波域中用迭代的方法求解，并證明了迭代方法的收斂性；另一個是基于曲線曲面演化的圖像放大算法。用Snake的內(nèi)部能量作為圖像水平線的先驗?zāi)Ｐ停涮荻认陆盗魇且粋€關(guān)于圖像水平線的演化方程。由這個演化方程，利用曲面演化和其水平線演化之間的關(guān)系，得到關(guān)于圖像曲面的演化方程。將這個曲線曲面演化方程用于圖像放大得到一種新的圖像放大算法。實驗表明了這兩種新的放大算法的有